1、第八章第八章 常微分方程常微分方程 第一节第一节 常微分方程的基本概念与常微分方程的基本概念与 分离变量法分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程 一、一、微分方程的基本概念微分方程的基本概念 二、二、分离变量法分离变量法 第一节第一节 常微分方程的基本概念与常微分方程的基本概念与分离变量法分离变量法第一节第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数阶数定义为该微分方程的阶数 微分方程：含
2、有未知函数的导数（或微分）的方程称为微微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这分方程特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为时的微分方程就称为 常微分方程常微分方程 线性微分方程线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程在线性导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为称这样的微分方程为常系数线性微
3、分方程常系数线性微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念如果将函数如果将函数y)(xy代入微分方代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解解 初初始始条条件件：用用未未知知函函数数及及其其各各阶阶导导数数在在某某个个特特定定点点的的值值作作为为确确定定通通解解中中任任意意常常数数的的条条件件，称称为为初初始始条条件件 一一阶阶常常微微方方程程的的初初始始条条件件为为00)(yxy,其其中中 0 x，0y是是两两个个已已知知数数.二二阶阶微微分分方方程程的的初初始始条条件件为为0000(),().y xyyxy
4、微分方程的解微分方程的解：微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数如果解中包含任意常数，且独立的任意常含有任意常数如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程常微分方程的通解的通解，不含有任意常数的解，称为，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解微分方程的特解 例例 1 1 验证函数验证函数xxCCy221ee(12,C C为任意常数为任意常数)为二阶微分方程为二阶微分方程023 yyy的通解，并求的通解，并求该该方程满方程满足初始条件足初始条件1)
5、0(,0)0(yy的特解的特解 所所以以，函函数数y 1C ex+2Cx2e是是所所给给微微分分方方程程的的解解又又因因为为，这这个个解解中中有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数，与与方方程程的的阶阶数数相相同同，所所以以它它是是所所给给微微分分方方程程的的通通解解 xxCCy221ee,212e2e,xxyCC212e4e,xxyCC将将yyy,代入方程代入方程023 yyy左端，得左端，得 )ee(2)e2e(3e4e221221221xxxxxxCCCCCC 0e)264(e)23(2222111xxCCCCCC,由由初初始始条条件件0)0(y，我我们们得得021CC，由由初初始始条
6、条件件1)0(y，得得.1221 CC所所以以12C，11C于于是是，满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解为为xxy2ee 设设函函数数)(),(21xyxy是是定定义义在在区区间间(,)a b内内的的函函数数，若若存存在在两两个个不不全全为为零零的的数数21,kk，使使得得对对于于(,)a b内内的的任任一一 x恒恒有有 成成立立，则则称称函函数数21,yy在在(,)a b内内线线性性相相关关，否否则则称称为为线线性性无无关关 02211ykyk定义定义1 1（线性相关，线性无关线性相关，线性无关）21,yy线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件件是是21yy在在(,)a b区区
7、间间内内恒恒为为常常数数 若若21yy不不恒恒为为常常数数，则则21,yy线线性性无无关关 当当 1y与与 2y线线性性无无关关，函函数数 2211yCyCy中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数 1C和和2C 定义定义 2 2 形如形如 )()(ddygxfxy的方程，称为可分离的方程，称为可分离变量变量的方程的方程.可可分分离离变变量量方方程程的的特特点点：等等式式右右边边可可以以分分解解成成两两个个函函数数之之积积，其其中中一一个个只只是是 x的的函函数数，另另一一个个只只是是 y的的函函数数 二、分离变量法二、分离变量法（1 1）分分离离变变量量：将将该该方方程程化化为为等等
8、式式一一边边只只含含变变量量 y ，而而另另一一边边只只含含变变量量 x的的形形式式，即即 xxfygyd)()(d其其中中0)(yg 例例2 2 求0 xyy的通解 解解 方程变形为方程变形为 xyxydd,分分离离变变量量得得 xxyydd 0y,两边积分得两边积分得 xxyydd,求积分得求积分得 1221|lnCxy,所以所以 21122121eee|xCCxy,即即 22111122e ee(e)xxCCyCC ,方方程程通通解解为为221exCy（C为为任任意意常常数数）.例例 3 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离
9、开塔顶成正比，降落伞离开塔顶)0(t时的速度为零求降落时的速度为零求降落伞下落速度与时间伞下落速度与时间 t的函数关系的函数关系.解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为)(tv时伞所受空气阻力为时伞所受空气阻力为 kv（负号表示阻力与运动方向相反，（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）另外，为常数）另外，伞在下降过程中还受重力伞在下降过程中还受重力mgP 作用，故由牛顿第二定律作用，故由牛顿第二定律得得kvmgtvmdd且有初始条件：且有初始条件：0|0tv于是，所给问题归于是，所给问题归结为求解初值问题结为求解初值问题 0d,d|0,tvmmgkvtvkv R mg P 对对上上述述方
10、方程程分分离离变变量量得得 mtkvmgvdd,两边积分两边积分得得 mtkvmgvdd，可得可得 1|ln1Cmtkvmgk ，整理得整理得 1e1ekCtmkkCCkmgv .由初始条件得由初始条件得00emgCk，即，即kmgC，故所求特解为，故所求特解为 )e1(tmkkmgv .由由此此可可见见，随随着着 t的的增增大大，速速度度 v逐逐渐渐变变大大且且趋趋于于常常数数 kmg，但但不不会会超超过过kmg，这这说说明明跳跳伞伞后后，开开始始阶阶段段是是加加速速运运动动，以以后后逐逐渐渐趋趋于于匀匀速速运运动动 1.1.微分方程通解中的任意常数微分方程通解中的任意常数 C最终可表示为最
11、终可表示为2sin,e1CC(12,C C为任意实数为任意实数)，3lnC3(C为实数，为实数，03C)等形式吗？等形式吗？2.2.微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率点处切线斜率相同相同)思考题思考题 第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程 二、二、可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 第
12、二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 定义定义 形如形如)()(ddxQyxPxy 的方程的方程,称为一阶线性称为一阶线性方程方程,其中其中)(),(xQxP为已知函数为已知函数.当当0)(xQ时时,有有0)(ddyxPxy 称称其其为为齐齐次次线线性性方方程程；当当0)(xQ时时,称称)()(ddxQyxPxy为为非非齐齐次次线线性性方方程程.一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程（1 1）先先求求齐齐次次线线性性方方程程的的解解 分分离离变变量量得得 d()dyP xxy,两两边边积积分分得得 1ln|()dyP xxC,即即 xxPCyde)(.（2 2）常常数数变变易易法法求
13、求非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解 令令()d()eP xxyC x为为非非齐齐次次线线性性方方程程的的解解,代代入入得得 )(e)(d)(xQxCxxP，即即xxPxQxCd)(e)()(.两两边边积积分分得得 CxxQxCxxde)()(d)p(.一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的解解法法 p()d_ p()d ()ed e.xxxxyQ xxC 上上式式称称为为一一阶阶线线性性非非齐齐次次程程的的通通解解公公式式.上上述述求求解解方方法法称称为为常常数数变变易易法法,用用常常数数变变易易法法求求一一阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解的的步步骤骤为为：（1 1）先先求求
14、出出非非齐齐次次线线性性方方程程所所对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解 .（2 2）根根据据所所求求出出的的齐齐次次方方程程的的通通解解设设出出非非齐齐次次线线性性方方程程的的解解(将将所所求求出出的的齐齐次次方方程程的的通通解解中中的的任任意意常常数数 C 改改为为待待定定函函数数)(xC即即可可).（3 3）将将所所设设解解代代入入非非齐齐次次线线性性方方程程,解解出出)(xC,并并写写出出非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解.两两边边积积分分得得 Cxylnlnln ,即即 Cxylnln 将通解中的任意常数将通解中的任意常数 C换成待定函数换成待定函数)(xC,即令即令xxC
15、y)(为方程（为方程（1 1）的通解）的通解,将其代入方程将其代入方程(1)(1)得得()lnxC xx.于是于是 xxxCln1)(,所所以以 CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(,将将所所求求的的)(xC的的代代入入式式(3 3),得得原原方方程程的的通通解解为为 2(ln)2xyxCx.1 1.)()(xfyn型型的的微微分分方方程程 方程解法：通过方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解次积分就可得到方程的通解.例例 3 3 求求方方程程xycos)3(的的通通解解 .解解 因因为为xycos)3(,所所以以 1sindcosCxxxy,211cosd)(sinCx
16、CxxCxy,2121231(cos)dsin.2yxC xCxxC xC xC 二、可降阶的高阶微分方程二、可降阶的高阶微分方程 2 2.),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 .方程的特点：方程右端不显含未知函数方程的特点：方程右端不显含未知函数 y.方程的解法：令方程的解法：令)(xpy,则则)(xpy 代入方程得代入方程得)(,()(xpxfxp.这这是是一一个个关关于于自自变变量量 x 和和未未知知函函数数)(xp的的一一阶阶微微分分方方程程,若若可可以以求求出出其其通通解解),(1Cx,则则),(1Cxy再再积积分分一一次次就就能能得得原原方方程程的的通通解解.例例 4 4 求求
17、方方程程2)(12yyyx 的的通通解解.解解 因因为为方方程程2)(12yyyx 不不显显含含未未知知函函数数 y,所所以以令令)(xpy,则则)()(xpxy，将将其其代代入入所所给给方方程程,得得 212pppx,分分离离变变量量得得 xxpppdd212,两两边边积积分分12lnln)1ln(Cxp，得得xCp121.即即 11xCp ,也也即即 11xCy.所以所以 132211212(1)d(1)3yC xxC xCC 为所为所求方程的通解求方程的通解.方程的解法：求解这类方程可令方程的解法：求解这类方程可令)(ypy 则则 pypxyyypxyydddddddd)(,于是于是,方
18、程方程),(yyfy 可化为可化为 ),(pyfyppdd.这这是是关关于于y和和p的的一一阶阶微微分分方方程程,如如能能求求出出其其解解),(1Cyp,则则可可由由),(1Cyxydd求求出出原原方方程程的的解解.3 3.),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 方方程程的的特特点点：右右端端不不显显含含自自变变量量x.思考题思考题 1.1.是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常任意常数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？2.2.可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？
19、各自的求解方法怎样？求解方法怎样？第三节 二阶常系数线性微分方程 一、一、二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质 二、二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 三、三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法方法 第三节 二阶常系数线性微分方程 定义定义 1 1 形如形如 0 qyypy 的方程（其中的方程（其中qp,为常数）为常数）,称为二阶常系数齐次线性称为二阶常系数齐次线性微分方程微分方程.定理定理 1 1（齐次线性方程解的叠加原理）（齐次线性方程解的叠加原理）若若21,yy是是齐次线性方程的两个
20、解齐次线性方程的两个解,则则2211yCyCy也是的解也是的解,且当且当1y与与2y线性无关时线性无关时,2211yCyCy就是方程的通就是方程的通解解.一、二阶常系数线性微分方程解的性质一、二阶常系数线性微分方程解的性质)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC )()(22221111qyypyCqyypyC 00021CC 所所以以2211yCyCy是是方方程程0 qyypy的的解解.由于由于1y与与2y线性无关线性无关,所以所以,任意常数任意常数 1C和和 2C是两个是两个独立的任意常数独立的任意常数,即解即解 2211yCyCy中所含独立的任意中所含独立的任意常
21、数的个数与方程的阶数相同常数的个数与方程的阶数相同,则它是方程的通解则它是方程的通解,证毕证毕.证证 将将2211yCyCy直接代入方程直接代入方程的左端的左端,得得 称称 0 qyypy 为为方方程程所所对对应应的的齐齐次次方方程程.定理定理 2 2（非齐次线性方程解的结构）若（非齐次线性方程解的结构）若py为非齐次为非齐次线性方程的某个特解线性方程的某个特解,cy为齐次线性方程的通解为齐次线性方程的通解,则则 pcyyy为非齐次线性方程之通解为非齐次线性方程之通解.定义定义 2 2 形如形如 )(xfqyypy 的方程的方程 （其中（其中q,p为常数）为常数）,称为二阶常系数非齐次称为二阶
22、常系数非齐次线性微分方程线性微分方程.又又因因为为cy中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数,所所以以 pcyyy中中也也含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数,故故pcyyy为为方方程程的的通通解解.这这就就是是说说,pcyyy确确为为方方程程的的解解.)()()(cpcpcpyyqyypyy )()cccpppqyypyqyypy （)(0)(xfxf 证证 将将pcyyy代代入入方方程程的的左左端端有有 由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程方程的通解的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即只须求出它的两个线性无关的特解即
23、可可.令令y=rxe为为方方程程的的解解,并并代代入入方方程程得得 0eee2rxrxrxqprr 因为因为erx0,所以有所以有 02qprr 该方程称为微分方程的特征方程该方程称为微分方程的特征方程,称方程的根为称方程的根为特征根特征根.二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法(1)(1)当特征方程当特征方程有两个不同的实根有两个不同的实根 1r和和 2r时时,则方程则方程有两个线性无关的解有两个线性无关的解 11=er xyx,22=er xyx此此时时,方程有通解方程有通解 1212eer xr xyCC.(2)(2)当特征方程有两个相同的实根时
24、当特征方程有两个相同的实根时,即即rrr21,方程方程只有一个解只有一个解 1=erxyx,这时直接验这时直接验证可知证可知 2=erxyx是方程是方程的另一个解的另一个解,且且 1y与与 2y线线性无关性无关,所以所以,此时有通解此时有通解 rxrxrxxCCxCCyeee)(2121.（3 3）当特征方程有一对共轭复根时）当特征方程有一对共轭复根时,即即ir（其中（其中,均为实常数且均为实常数且0）,此时方程此时方程有两个线性无关的解有两个线性无关的解(i)1=exy和和(i)2=exyx,故方故方程的通解为程的通解为 )i()i(eexxxxBAy)ee(ei-ixxxBA sinico
25、sei,还还可可得得到到实实数数形形式式 的的 通通 解解 )sincos(e21xCxCyx.其其 中中)(,21BACBAC（读读者者自自证证）.通通常常情情况况下下,要要求求写写出出实实数数形形式式的的解解.利用利用欧拉欧拉公式公式 根根据据如如上上讨讨论论,求求二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解的的步步骤骤为为：第一步第一步,写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程02qprr；第二步第二步,求出特征根求出特征根；第三步第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解程的通解.特征方程的解 通解形式 两个不等实根
26、21rr 1212eer xr xyCC 两个相等实根 rrr21 12erxyCC x 一对共轭复根 ir xCxCyxsincose21 例例 1 1 求方程求方程065 yyy的通解的通解.解解 方方程程065 yyy的的特特征征方方程程为为 0652 rr,其其特特征征根根为为 3,221rr,所以所以 213221(CCCCyxx，ee为任意常数）为所给为任意常数）为所给微分方程的通解微分方程的通解.例例 2 2 求求方方程程02 yyy的的通通解解 .解解 方方程程的的02 yyy的的特特征征方方程程为为 0122 rr,其特征根其特征根121rrr（二重特征根）（二重特征根）,故
27、所求通解为故所求通解为 xxCCye)(21.例例 3 3 求方程求方程032 yyy满足初始条件满足初始条件1)0(,1)0(yy的特解的特解 .解解 032 yyy的特征方程为的特征方程为0322 rr,所以所以,特征根特征根2i1,2i121rr.所以所以,所给微分方程的通解所给微分方程的通解为为 )2sin2cos(21xCxCyxe,由初始条件由初始条件1)0(y,得得11C，又因为，又因为 2ecos2esin2e(cos22sin2)xxxyxCxxx 2e(sin22cos2)xCxx,由由1)0(y得得2211C,从而得从而得22C.由非齐次线性方程解的结构定理可知由非齐次线
28、性方程解的结构定理可知,求非齐次方程求非齐次方程的通解的通解,可先求出其对应的齐次方程的通解可先求出其对应的齐次方程的通解,再设法再设法求出非齐次线性方程的某个特解求出非齐次线性方程的某个特解,二者之和就是方程二者之和就是方程之通解之通解.二阶二阶常常系数非齐次线性微分方程系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy 特解确定特解确定 1.1.若若xmxPxfe)()(，其中，其中 为常数为常数,mP为为 x 的的 m 次多次多项式项式,即即011)(axaxaxPmmmmm ,则方程为则方程为 xmxPqyypye)(设设方方程程有有形形如如xpxQye)(的的解解,其其中中)(xQ是是一一个个
29、待待定定多多项项式式.三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法方法为使为使 xpxQye)(满足方程满足方程,将将xpxQye)(代入方代入方 程程,整理得整理得 )()()()2()(2xPxQqpxQpxQm(上上式式右右端端是是一一个个m次次多多项项式式,所所以以,左左端端也也应应该该是是m次次多多项项式式,由由于于多多项项式式每每求求一一次次导导数数,就就要要降降低低一一次次次次数数,故故有有三三种种情情形形：(1)(1)当 时当 时02qp,即即 不 是 特 征 方 程不 是 特 征 方 程02qp的根时的根时,式左边式左边)(xQ与与 m次
30、多项式次多项式)(xPm的次数相同的次数相同,所以所以,Q)(x为一个为一个 m次待定多项次待定多项式式,可设可设 110)(mmxbxbxQ)(1xQbxbmmm 其中其中mbbb,10 为为1m个待定系数个待定系数,将式代入式将式代入式,比比较等式两边同次幂的系数较等式两边同次幂的系数,就可得到就可得到mbbb,10 为未知为未知数 的数 的1m个 线 性 方 程 的 联 立 方 程 组个 线 性 方 程 的 联 立 方 程 组,从 而 求 出从 而 求 出mbbb,10 ,即确定即确定 )(xQ于是可得方程的一个特解为于是可得方程的一个特解为py=xxQe)(.(2)(2)当当02qp,
31、但但02 p时时,即即 为特征方程为特征方程02qp的单根的单根,那么式成为那么式成为)(2(xPQp)Qm,由此可见由此可见,Q与与)(xPm同次幂同次幂,故应设故应设 ()()mQ xxQx,(3)(3)当当02qp且且02 p时时,即即 是特征方是特征方程程 02qprr的 特 征 重 根 时的 特 征 重 根 时,式式 变 为变 为)()(xPxQm,此时应设此时应设 )()(2xQxxQm.将它代入方程将它代入方程,便可确定便可确定)(xQm的系数的系数,即可得即可得方程方程的一个特解为的一个特解为 xmpxQxye)(2.其中其中)(xQm为为m次待定多项式次待定多项式,同样将它代
32、入式同样将它代入式即可即可求得求得)(xQm的的1m个系数个系数,从而得到方程的一个特从而得到方程的一个特解解.综综上上所所述述,我我们们有有如如下下结结论论：二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程 xmxPqyypye)(具具有有特特解解形形如如 xmkpxQxye)(其中其中)(xQm为为m次多项式次多项式,它的它的1m个系数可由式个系数可由式中中的的)(xQxQ(x)mk代入式代入式而得而得,式式中的中的k确定如下：确定如下：0,1,2不是特征根,不是特征根,是特征单根,是特征单根,，是特征重根.，是特征重根.k 2.2.xxPxfaxmcos)()(e或或xxPxfa
33、xmsin)()(e,其中其中,为实数为实数,)(xPm为为 m次多项式次多项式 此时方程此时方程变为变为 xxPqyypyaxmcos)(e 或或 xxPqyypyaxmsin)(e 此时此时,我们可先令我们可先令i仍用仍用 1 1 中所述方法确中所述方法确定方程定方程 xmxPpyyqy e)(的解的解,则式的解可写成则式的解可写成21iyyy的形式的形式,且可证且可证:y的实部的实部 1y即为方程的解即为方程的解;y的虚部的虚部 2y即为方程即为方程的解的解.例例 1 1 求求方方程程xxyyy2332e 的的一一个个特特解解.解解 由于方程由于方程xxyyy2332e 的非齐次项（也叫
34、自的非齐次项（也叫自由项）由项）xxxf23)(e中的中的2不是特征方程不是特征方程0322 rr的根的根,故可令故可令 xpBAxy2)(e 将将BAxx)(Q代入式代入式(6)(6)（不是将（不是将 py直接代入原方程）直接代入原方程）xBAxA3)(344()24(,即有 xBAAx3323,比较系数得比较系数得 03233BAA，解之得，解之得 32,1BA,例例 2 2 求求方方程程xyy 的的一一个个特特解解.解解 因为方程因为方程xyy 的自由项的自由项xxxf0)(e中的中的0恰是特征方程恰是特征方程02rr的一个根的一个根,故可设一故可设一个特解为个特解为 BxAxxBAxy
35、xp20)(e,直接将直接将py代入所给方程代入所给方程,得得 xBAxA)2(2,即即 xBAAx22,比比较较系系数数得得 21,20,AAB 解解之之得得 1,21BA.因此因此,xxyp221为所求方程的特解为所求方程的特解.例例 3 3 求方程求方程xyyy396e 的通解的通解.解解 方方程程xyyy396e (1)(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为 096 yyy (2)(2)特特征征方方程程为为 0962 rr，特特征征根根为为 321rrr,故齐次方程（故齐次方程（2 2）的通解为）的通解为 xcxCCy321e)(,又因为非齐次方程（又因为非齐次方程（1 1）的自由
36、项）的自由项xxf3)(e中中的的3恰是二重特征根恰是二重特征根,故可令故可令xpAxy32e为方程为方程（1 1）的一个特解）的一个特解,将将2)(AxxQ代入式代入式,得得 12A,即即 21A.于是于是xpxy3221e为方程（为方程（1 1）的一个特解）的一个特解.因因此此,xxpcxxCCyyy3232121)(ee为所给方程之通为所给方程之通解解.例例 4 4 求求方方程程xyyyxcos23 e的的一一个个特特解解.解解 由于方程由于方程 xyyyxcos23 e (1)(1)的自由项的自由项xxfxcos)(e为为x)1(ie的实部的实部,所以先解如所以先解如下辅助方程的下辅助方程的xyyy)1(23ie (2)(2)因为因为i 1不是特征方程不是特征方程0232 rr的根的根,所所以可设以可设xAy)1(ie为式（为式（2 2）的一个解）的一个解,将将AxQ)(代入代入式式得得 12)1(3)1(2Aii，即即 1)1(Ai,也即也即 11 i1ii 1222A,因此因此,它的实部它的实部xxyxsin21cos21*1e就是所给方程就是所给方程的一个特解的一个特解.思考题思考题 1.1.齐次线性常微分方程有何共性？齐次线性常微分方程有何共性？2 2写出以写出以0526235rrrr为特征方程的常微分为特征方程的常微分方程方程.
