1、主讲人主讲人 张兰张兰专科组常见的微分方程模型专科组常见的微分方程模型：20032003年，年，C C题：题：SARSSARS的传播的传播常微分方程组或差分方程组20042004年，年，C C题：饮酒驾车题：饮酒驾车线性常微分方程组20112011年，年，C C题：企业退休职工养老金制度的改革题：企业退休职工养老金制度的改革常微分方程，阻滞增长模型 实际问题需寻求某个变量实际问题需寻求某个变量y 随另一变量随另一变量 t 的的变化规律变化规律：y=y(t).直接求直接求很困难很困难 建立关于未知变量、建立关于未知变量、未知变量的导数以及未知变量的导数以及自变量的方程自变量的方程 建立变量能满足
2、建立变量能满足的微分方程的微分方程？哪一类问题哪一类问题一、微分方程模型一、微分方程模型：在工程实际问题中在工程实际问题中 “改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关等关键词提示我们注意什么量在变化键词提示我们注意什么量在变化.关键词关键词“速率速率”,“增长增长”,“衰变衰变”,“边际边际的的”,常涉及到导数常涉及到导数.建立方法建立方法常用微分方程常用微分方程运用已知定律规律等运用已知定律规律等 运用微元法运用微元法模拟近似法模拟近似法机理分机理分析法析法2022-12-3二、建立微分方程模型的方法二、建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等
3、学科中的定理利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程模型。关系，来建立微分方程模型。如，根据放射性元素衰减规律：如，根据放射性元素衰减规律：放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比)()(tkxdttdx2022-12-3（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。函数及其导数应用规律。dxyx
4、fdy),(2022-12-3（3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。模拟某些实际现象。三、微分方程建模步骤三、微分方程建模步骤
5、1、翻译或转化：、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率速率”、增长增长”等等 2、建立瞬时表达式、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变根据自变量有微小改变t时，因变量的增量时，因变量的增量W，建立起在时段，建立起在时段t上的增量表达式，令上的增量表达式，令t 0，即得到，即得到 的表达式的表达式dtdw3、配备物理单位：、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4、确定条件：、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息
6、，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例案例1 物体冷却问题物体冷却问题 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该的房间内，该物体最初的温度是物体最初的温度是600c，3分钟以后降到分钟以后降到500c.想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时间？需要多少时间？10分分钟以后它的温度是多少？钟以后它的温度是多少？四、建模方法简单举例四、建模方法简单举例 牛顿冷却
7、（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化速率的变化速率正比于正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差.分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,保持为保持为m，采用牛顿冷却定律是一个，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似相当好的近似.建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，“T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差与
8、周围介质的温度差”翻译为翻译为成成正正比比与与mTdtdT 数学语言数学语言 .60)0(T),mT(kdtdT建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得一般解为求得一般解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得代入条件，求得c=42，,最后得最后得2116ln31 k T(t)=18+42 ,t 0.te2116ln31,0,tcemTkt或或结果结果：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟.案例案例2 除雪问题除雪问题 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续一场降雪开始于午前的某个
9、时刻，并持续到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和度量）和清扫面的宽度均不变。到下午清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街点他扫了两个街区，到下午区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从点他扫了一个街区。请问：雪是从什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪）落在已扫过的路面上的雪）11示示 意意 图图下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时S(t)：正午后t小时的铲雪位移下雪时间：午前x0
10、已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 翻译为翻译为t到到t+t时刻：时刻：（1）铲雪容量：）铲雪容量：b*t（2）忽略）忽略t下雪量，雪量减少容量：下雪量，雪量减少容量：Sxta)(0（3）微分表达式：）微分表达式：S*)xt(*at*b0 （4）模型：）模型：0 xtabdtdscxtabtS)ln()(0建立模型建立模型 3)4ln()4(2)2ln()2(0ln)0(000cxkScxkScxkS解解：150 x求解模型求解模型练习1 溶液混合问题：溶液混合问题：设有一容器将有某种浓度的溶液以流量设有一容器将有某种浓度的溶液以流量 注入浓注入浓度为度为 的同样的溶液，假定溶液
11、被立即搅匀，并的同样的溶液，假定溶液被立即搅匀，并 以以 的流量流出，试建立容器中浓度与时间关系的的流量流出，试建立容器中浓度与时间关系的模型。模型。1v1c2v 许多研究对象在数量上常常表现出某种许多研究对象在数量上常常表现出某种不变不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用利用变量间的平衡与增长变量间的平衡与增长特性特性,可分析和建可分析和建立有关变量间的相互关系立有关变量间的相互关系.案例案例3 3 对某地区时刻对某地区时刻 t 的人口总数的人口总数P(t)，除考虑个，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与
12、迁出的影响的影响.四四、微分建模典型举例、微分建模典型举例 在很短的时间段在很短的时间段t 内内，关于关于P(t)变化的一个变化的一个最简单的模型是：最简单的模型是：t时间内的人口增长量时间内的人口增长量=t内出生人口数内出生人口数t内死亡人口数内死亡人口数+t内迁入人口数内迁入人口数t内迁出人口数内迁出人口数 t时间内的净改变量时间内的净改变量=t时间内输入量时间内输入量t时间内输出量时间内输出量 般化般化更一更一基本模型基本模型 不同的输入、输出情况对应不同的差分或不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程微分方程.输入量输入量 含系统外部输入及系统内部产生的量；含系统外部输入及系统内部
13、产生的量；输出量输出量 含流出系统及在系统内部消亡的量含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立 案例案例5 5 战斗模型战斗模型 两方军队交战两方军队交战,希望为希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：达到如下目的：1.1.预测哪一方将获胜？预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？士兵才能赢
14、得这场战斗？设设 x(t)t 时刻时刻X方存活的士兵数方存活的士兵数；y(t)t 时刻时刻Y方存活的士兵数方存活的士兵数；假设：假设：1 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗战斗，x(t)与与y(t)都是连续变量都是连续变量.建立模型建立模型 2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队方军队 a 名士兵名士兵；3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队方军队 b 名士兵名士兵；t 时间内时间内X军队减少的士兵数军队减少的士兵数=t 时间内时间内Y军队消灭对方的士兵数军队消灭对方的士
15、兵数平衡式平衡式 即有即有 x=ayt,同理同理 y=bxt,令令t 0,得到微分方程组：得到微分方程组：)0a(,aydtdx )0(,bbxdtdy 例例5.1.4(独家广告模型独家广告模型)广告是调整商品销广告是调整商品销售的强有力的手段售的强有力的手段,广告与销售量之间有什广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？广告的效果广告的效果,可做如下的条件假设：可做如下的条件假设：*1.商品的销售速度会因广告而增商品的销售速度会因广告而增大大,当商品在市场上趋于饱和时，销当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；售速度将趋于
16、一个极限值；分析分析*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；商品销售速度的增高而降低；*3.选择如下广告策略，选择如下广告策略，t时刻的广告时刻的广告费用为：费用为：.,0;0,)(ttAtA记记 S(t)t 时刻商品的销售速度；时刻商品的销售速度；M 销售饱和水平，即销售速度的上限；销售饱和水平，即销售速度的上限；（0）衰减因子，广告作用随时间的衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度推移而自然衰减的速度.分析分析建立模型建立模型直接建立微分方程直接建立微分方程)()(1)(tSMtStpAdtdS 称称 p 为响应系数为响应系数，表征表征A(t)对对 S(t)的影响力的影响力.模型分析模型分析：是否与前三条假设相符？是否与前三条假设相符？改写模型改写模型)()()(tStSMMtApdtdS )()()(tStSMMtApdtdS 假设假设1*市场市场“余余额额”假设假设2*销售速度因广告作用增大销售速度因广告作用增大,同时同时又受市场余额的限制又受市场余额的限制.
