1、微分方程 与差分方程yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第九章 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动
2、后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶显式显式微分方程)一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.
3、分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束,00ts200ddtts引例24.022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0A
4、xt00ddttx的特解.解解:22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得:,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求曲线所满足的微分方程.PQxyox解解:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,第二节 目录 上页 下页 返回 结束
5、 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可可分离变量方程分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22 第九章 xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解隐式通解,或通积分或通积分.同样,当
6、F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束.dd的通解求方程xyxy机动 目录 上页 下页 返回 结束.dd的通解求方程yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束.)0,0,()(的通解求方程NPkNdtPNkPdP机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 0d)1(d2yxxyx解解:1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 可分离变量微分方程续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件).0teMMM0Mto已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,m
8、gvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.机动 目录 上页 下页 返回 结束.dd的通解求方程yxexy机动 目录 上页 下页 返回 结束)1(sin2yxy解解:令,1yxu则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10:求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束)sin()sin()2(yxyxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:1.微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是
9、通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、齐次方程一、齐次方程 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程 第九章 形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 令,xyu,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxu解法解法:机动 目录 上页 下页 返回 结束.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得故原方程的
10、通解为xCxysin(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxuyCxyx)(说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.机动 目录 上页 下页 返回 结束 22xxyydxdy解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx可得 OMA=OAM=解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线)(xfy 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角xyco
11、txyy22yxOMTMAPy取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OMOPAP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:xyy22yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性,不妨设 y 0,21ddyxyxyx,vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy,xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h,hdC82)(222CxCy
12、2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd代入通解表达式得)0,(2CoyxA机动 目录 上页 下页 返回 结束(h,k 为待 111ddcybxacybxaxy)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha,解出 h,k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入将kyYhxX求出其解后,即得原方 程的解.,.211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令,ybxa
13、vxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0(b机动 目录 上页 下页 返回 结束 64ddyxyxxy52xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第九章 一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量
14、xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)()()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束.)1(12dd2
15、5xxyxy解解:故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束)0(0)(3ydyyxydx解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解.解解:注意 x,y 同号,d2d,0 xxxx时当yyQ1)(故方程可0d2d3yyxyyxx所求通解为)0(CCeyyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxyn解法解法:伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解:1)ln(22xaCxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5:判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)
16、1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(机动 目录 上页 下页 返回 结束 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录
17、上页 下页 返回 结束 第九章),(yxfy 几种高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程)()(xfyn),(yyfy 三、三、型的微分方程型的微分方程 第九章)()(xfyn令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,)(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束.cos2xeyx 求解解解:12cosCxdxeyx 12sin2
18、1Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC机动 目录 上页 下页 返回 结束),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设,)(xpy,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解:133xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束.xxexyy 求解解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddy
19、ppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分,得原方程的通解21),(dCxCyy机动 目录 上页 下页 返回 结束.02 yyy解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1|,1|,23332 xxyyyy求解解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:02 yey,00 xy10 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶微分方程的解法 降阶法)(.1)(xfyn逐次积分),(.2yxfy 令,)(xpy xpydd 则),(.3yyfy 令,)(ypy yppydd 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页
20、 下页 返回 结束 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程解的结构 一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 三、常数变易法三、常数变易法 第九章 )(11yCxP )(11yCxQ0)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机
21、动 目录 上页 下页 返回 结束 不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，例如，,sin,cos,122xx在(,)上都有0s
22、incos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点,321,kkk必需全为 0,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21,kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy(无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,则)(),(21
23、xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21,yy可微函数线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21xytan21y为任意常21,(CC机动 目录 上页 下页 返回 结束)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解.证证:将)(*)(
24、xyxYy代入方程左端,得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy)()(YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ复习 目录 上页 下页 返回 结束)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程xyy 有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解解:1312yyyy与是对应齐次方程的
25、解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCy xxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy 代入原方程确定).(xu)(xu机动 目录 上页 下页 返回 结束 对对二阶非齐次方程二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy 情形情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2x
26、v)(),(21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故,的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yyP10 目录 上页 下页 返回 结束 fyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyx
27、gyyCyCy于是得 说明说明:将的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一 个条件,方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目录 上页 下页 返回 结束 0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY
28、的通解.解解:将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组:021vevxx121xvevx,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx,目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第九章),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2
29、xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,(r 为待定常数),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121则微分机动 目录 上页 下页 返回 结束 042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解可以证明,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey)(1xuexr机动 目录 上页 下页 返回 结束 0
30、42qp时,特征方程有一对共轭复根irir21,xeyxcos1xeyxsin2因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解机动 目录 上页 下页 返回 结束 032 yyy求方程的通解.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts机动 目录 上页 下页 返回 结束 0134 yy
31、y求方程的通解.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型)()(xPexfmx 第九章)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xQex)()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx型)()(xPexfmx 为
32、实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中 为待定多项式,)(xQ)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程,得)(xQ(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对
33、方程,)2,1,0()(*kexQxyxmk)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexyyy265 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbx
34、y210)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xe
35、eyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 差分方程的一般概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 xxxxyyyy12)()()(112xxxxyyyyxy设函数 记为 ,当 取遍非负整数x,即:,210 xyyyy则差 称为函数 的差分差分,记为又有又有:xyxxyy1)(xfy xyxxxyyy1xy称为函数 的 二阶差分二阶差分.时,函数值可以排成一个数列:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxyyy122)(),(3423xxxxyyyyxxxxzyzy
36、)(.2 如三阶差分,四阶差分由定义可知差分具有如下性质:xxyccy)(.1机动 目录 上页 下页 返回 结束)(),(),(23222xxx求差分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1),1()2)(1()0()(xnxxxxxn设机动 目录 上页 下页 返回 结束 求:)(nx0),(21nxxxxyyyyxG差分方程不同形式之间可以互相转化0),(21nxxxxyyyyxF的符号的方程称为差分方程差分方程.例如:都是差分方程差分方程.定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(2xnxxxyyyyxHxxxyyy2122132xxxxyy
37、y 是一个二阶差分方程,可以化为将原方程左边写成:xxyy22xxxyy322xxxxxyyyyy2)()(112则可以化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxyyy32122)215()1(215xx如果一个函数 代入差分方程后,方程两边把函数 代入设有差分方程则有则有:左边21xxyy)(xfy Axyx215等于 右边右边.恒等,则称此函数为差分方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xAyx2可以验证是常数,也是差分方程的解初始条件,通解和特解结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 一阶常系数线性差分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章)2(01xx
38、ayy形如 是常数,其中 为已知函数,为未知函数)1()(1xfayyxx)(xf0)(xf0),(1axfayyxxxy时称为非齐次方程,否则称为齐次的.的方程称为一阶常系数线性差分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xAY0)()(11xxxxyyayy01xxayy是方程 的解 容易验证:设 和 都是方程 的解,则即即:)(1xfayyxxxxxyAYyxyxxxyyYxy也是方程 的解1.通解和特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 01xxayy非齐次方程的通解:01ayy 0yayxx设 已知,容易验证:1.迭代法:0212yaayy0y机动 目录 上页 下页 返回 结束
39、01xxayy01xxa0 a01xxayy设 是方程的一个特解 是特征方程,是特征根2.一般解法:axxY机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxAaY xxaY 是一个特解 是通解)1(120 xxxaaacyay第一种第一种 1.迭代法:cxf)(1a1a根据右边的函数形式分几种情况机动 目录 上页 下页 返回 结束 特解:则方程变为:cayyxx11aacyx1cxyx方程通解为 设特解形式为时取 特解为 1sAcxyx0ssxkxy 1a时取 ,特解为 2.一般解法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxAaacy1非齐次方程的通解:求差分方程231xxyy的通解机动 目录 上页
40、下页 返回 结束 1sxxxAababcyab 第二种第二种 设特解:)1,(,)(bccbxfxab xsxbkxy 通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 时取 ,特解为 xxbabcy0s时,取通解为xxxAacxby1方程变为:xxxcbayy1求差分方程xxxyy25211的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 1s1a第三种第三种 设特解:ncxxf)(1a)(10nnsxxBxBBxy比较两端的系数可以求出解机动 目录 上页 下页 返回 结束 时取 ,0s时,取这时方程变为:nxxcxayy1求差分方程2132xyyxx的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 求差分方程21
41、2xyyxx的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 二阶常系数线性差分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章)2(012xxxbyayy形如 是常数,其中 为已知函数,为未知函数)1()(12xfbyayyxxx)(xf0)(xf0,),(12baxfbyayyxxxxy时称为非齐次方程,否则称为齐次的.的方程称为二阶常系数线性差分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy是非齐次方程的特解 即即:xxxyyyxy是齐次方程的通解1.通解和特解:与一阶方程类似机动 目录 上页 下页 返回 结束 非齐次方程的通解:可以得到特征方程
42、 下面根据特征根的类型来求方程的通解:设 为齐次方程 的特解 02ba)0(,xxY机动 目录 上页 下页 返回 结束 012xxxbyayy212211,AAAAyxxx21,齐次方程具有如下通解形式 是任意常数1.方程有两个不同的实根:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2121,2)(AAaxAAyxx221a齐次方程具有如下通解形式 是任意常数2.方程有两个相同的实根:机动 目录 上页 下页 返回 结束 21,2121,),sincos(AAxAxAryxx齐次方程具有如下通解形式 是任意常数3.方程有两个不同的复根:机动 目录 上页 下页 返回 结束)sin(cos),sin(cos
43、21irirsxkxy 第一种第一种 设特解形式为:cxf)(根据右边的函数形式分几种情况机动 目录 上页 下页 返回 结束 则方程变为:cbyayyxxx122,01ababacyx1acxyx2设特解形式为时取 特解为 1s2s0ssxkxy 01ba时取 ,特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,01aba时取 ,方程特解为:221cxyx,2cyx)2(21cxyx于是,xxxxyyyy2122实际上,这时方程左边变为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxyx方程的特解为:求差分方程12212xxxyyy的通解及机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,010yy的特解1s1
44、2xxqaqcxy02,02aqbaqq第二种第二种 设特解:)1,(,)(qccqxfx02baqqxsxqkxy 特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 时取 ,特解为 xxqbaqqcy20s时,取时取 特解为aqqcxyxx412方程变为:xxxxcqbyayy1202,02aqbaqq2s第三种第三种 设特解:ncxxf)()(10nnsxxBxBBxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 这时方程变为:nxxxcxbyayy122,01aba时取1s2s0s01ba时取 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,01aba时取 ,2nxcxy)2()2)(1(1nxxnny)1()
45、(211,nxnxxnyxy于是,xxxxyyyy2122实际上,这时方程左边变为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 这时可以把 化为:nx)(nx求差分方程xyyyxxx4512的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 求差分方程xyyyxxx4312的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 例例 1:求微分方程23dyxyxydx的通解.0132xyeyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyxyx22机动 目录 上页 下页 返回 结束 221yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束)
46、lnln(yxyyyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0d)1ln(dln22xxyyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 例例7:求微分方程的通解:xyyyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8:求微分方程的通解:)1ln(lnxxayxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束)ln(2ddxyyxy例例9:求微分方程的解求微分方程的解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10:求微分方程的解求微分方程的解0dd33yxyxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11:求
47、微分方程的解求微分方程的解0dd)3(24xyxyxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12:求24dyyxdxyx的通解.例例13:求方程26dyyx ydxx的通解.结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 例例 1:解方程解解21ln0,xxyyx 满足初始条件111,2xxyy 的特解.例例 2:解方程 212().xyxy22()()1yy(0)0,0)1,(0)0yyy例例 3:求微分方程适合条件的特解.例例4.求方程210001()()()xyxyyy满足，的特解.满足，的特解.例例5.求方程2xyy的通解.例例 6:求方程067 yyy结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 0034005xxyyyyy 的特解.例例7:求方程例例 8:解方程2844xyyy 23xyyye例例9.求微分方程积分曲线中在原点处与直线 y=x 相切的积分曲线.例例 10:解方程 22ln.yyyyy解 由于22()(ln),yyyyyyy例例 11:求函数的差分xyayxxx2sin,例例 12:求差分方程的通解12421xxyyxx例例 13:求差分方程的通解)3,6(94731012yyyyyxxx结 束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章
