1、上页下页结束返回首页 四、隐函数的导数四、隐函数的导数 对数求导法对数求导法 由参数方程所确定函数的导数由参数方程所确定函数的导数0 隐函数的导数隐函数的导数0 对数求导法由参数对数求导法由参数0 方程所确定函数的导数方程所确定函数的导数上页下页结束返回首页1、隐函数的导数、隐函数的导数 P102定义定义:.)(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函函数数该该区区间间内内确确定定了了一一个个隐隐在在那那么么就就说说方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相应应地地总总有有满满足足这这方方程程间间内内的的任任意意值值时时取取某某区区当当中中设设在在方方程程.)(形式称为显函数形式称为显函数x
2、fy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?0 yxeexy如如上页下页结束返回首页例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.上页下页结束返回首页2)2)设
3、设 y=y(x)由方程由方程 ey=xe f(y)确定确定,f(x)二阶可导二阶可导,f (x)1,求求 y.解解 方程两边对方程两边对x求导求导:ey y =e f(y)+x e f(y)f (y)y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1)()(1 yfxyyfxyfy 332)(1)()(1 yfxyfxyfx 上页下页结束返回首页3)函数函数y=y(x)由方程由方程0)sin(222 xyeyxx所确定所确定,yxyyxyyxeyx2)cos(2)cos(222222 求求y 解：解：02)22()cos(222yxyyeyyxyxx上页下页结束返回首页例
4、例2 2.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线切线方程的上点求过的方程为设曲线CCxyyxC解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.上页下页结束返回首页例例3 3.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x
5、)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代入代入.16110 yxy上页下页结束返回首页2、对数求导法、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu上页下页结束返回首页例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2
6、)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设上页下页结束返回首页例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上页下页结束返回首页一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(x
7、uxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 上页下页结束返回首页3、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 P107.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t上页下页结束返回首页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx且且都可导都可导再
8、设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx上页下页结束返回首页,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dtdxttdtddxyd )()(22上页下页结束返回首页例例6(1)6(1)解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 td
9、xdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即P360上页下页结束返回首页2)2)求对数螺线求对数螺线 e 在点在点)2/,(),(2/e处的切线的直角坐标方程。处的切线的直角坐标方程。.2/eyx解：解：sinsin,coscoseyex曲线在点曲线在点处的切线的斜率为处的切线的斜率为1sincoscossin2/)2/,(2/eeeeye因此，所求切线方程为因此，所求切线方程为),0(2 xey 即即)2/,(2/e点点的直角的直角 坐标为坐标为
10、)2/,(2/e),0(2/eP360上页下页结束返回首页例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt上页下页结束返回首页)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin000
11、0 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 上页下页结束返回首页例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan 22dxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tat
12、sin3sec4 22dxyd)tan(t注意：注意：上页下页结束返回首页小结小结,)()(中中在方程在方程 tytx隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;dtdxdtdydxdy 即即上页下页结束返回首页四、相关变化率.化率称为相关变化率化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变这样两个相互依赖的变相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化
13、率时如何求出另一个变化率?,)()(可导可导及及设设tyytxx ),(xfyyx 有有函函数数关关系系与与而而,dtdxgdtdy相关方程相关方程.,dtdydtdx求求已知已知上页下页结束返回首页?,m500.min/m140,m500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加时时当当气气球球高高度度为为其其速速率率为为上上升升处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员例例8 8解解则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线气气球球上上升升高高度度为为时时刻刻设设,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 min,
14、/140mdtdh 2sec,5002 时时当当mhmin)/(14.0raddtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米h（相关方程）（相关方程）上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页Z 思考思考设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？.,1sindxdyexxyx求求 上页下页结束返回首页解答解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 对数求导法。对数求导法。作业:P111:1-(2),2,3-(3)4-(1),5-(2),8-(2)(4)上页下页结束返回首页(sin)(1 cos)xa ttyat22233333cossinxatyatxya 上页下页结束返回首页2222(1 cos)xyaxa xyat上页下页结束返回首页aea上页下页结束返回首页渐伸线与渐屈线上页下页结束返回首页渐屈线上页下页结束返回首页
