1、定积分的背景定积分的背景面积面积与路程问题与路程问题高二数学高二数学 选修选修2-1 第四章第四章 定积分定积分2022-12-32022-12-31 1以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？2022-12-32022-12-32 2 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题决的问题.定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛定积分在科
2、学研究和实际生活中都有非常广泛的应用的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几本节我们将了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念概念.2022-12-32022-12-33 3xoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形称这样的平面图形为曲边梯形.)(xfy ab曲边梯形定义：曲边梯形定义：我们把由直线我们把由直线 x=ax=a，x=b(ab)x=b(ab)，y=0y=0和和曲线曲线y=f(x)y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形所围成的
3、图形叫作曲边梯形.探究点探究点1 1 曲边梯形的定义曲边梯形的定义2022-12-32022-12-34 4对曲边梯形概念的理解：对曲边梯形概念的理解：（1 1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形图形.（2 2）曲边梯形与）曲边梯形与“直边图形直边图形”的主要区别在于前者的主要区别在于前者有一边是曲线段而有一边是曲线段而“直边图形直边图形”的所有边都是直线的所有边都是直线段段.2022-12-32022-12-35 5探究点探究点2 2 估计曲边梯形的面积估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆我们曾经用正多边形逼近圆的方法的方法 (即即“以
4、直代曲以直代曲”的思想的思想)计算出了圆的面积，能否也用直计算出了圆的面积，能否也用直边形边形(如矩形如矩形)逼近曲边梯形的方逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？法求阴影部分的面积呢？2022-12-32022-12-36 6问题问题1 1 图中阴影部分是由抛物线图中阴影部分是由抛物线 ，直线，直线以及以及 x x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积的面积 S S.2xy 1xxoy12xy 2022-12-32022-12-37 7xoy1分析分析 首先，将区间首先，将区间00，1515等分，如图所示等分，如图所示.1S 图图 (1)(1)中
5、，所有小矩形的面积之和（记为中，所有小矩形的面积之和（记为S S1)显显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S S1为为S S的过剩的过剩估计值，有估计值，有44.02.0)18.06.04.02.0(222221S（1 1）2022-12-32022-12-38 8xoy1 图图 (2)(2)中，所有阴影小矩形的面积之和中，所有阴影小矩形的面积之和(记为记为s s1 1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s s1 1为为S S的不足的不足估计值，有估计值，有1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221s.（2
6、2）2022-12-32022-12-39 9xoy1思考：思考：我们可以用我们可以用S S1 1或或s s1 1近似表示近似表示S S，但是都存在，但是都存在误差，误差有多大呢？误差，误差有多大呢？提示：提示：二者之差为二者之差为S S1 1-s-s1 1=0.2=0.2如图如图(3)(3)中阴影所示，无论用中阴影所示，无论用S S1 1还是用还是用s s1 1来表示曲边来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过梯形的面积，误差都不会超过0.2.0.2.（3 3）2022-12-32022-12-31010 xoy1(4)为了减小误差，我们将区间为了减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则
7、所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为S S2 2-s-s2 2=0.1=0.1，此时，无论用，此时，无论用S S2 2还是用还是用s s2 2来表示来表示S S，误差都不超过，误差都不超过0.1.0.1.结论：结论：区间分得越细，误差越区间分得越细，误差越小小.当被分割成的小区间的长度当被分割成的小区间的长度趋于趋于0 0时，过剩估计值和不足估时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积计值都会趋于曲边梯形的面积.2022-12-3202
8、2-12-31111通过下面的演示我们如何做到使误差小于通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.0.01.输入数输入数字，点字，点击确定击确定.2022-12-32022-12-31212练一练：练一练：求曲线求曲线y=xy=x3 3与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间（把区间00，1 51 5等分来估计）等分来估计）2022-12-32022-12-31313解析解析 把区间把区间 00，11 5 5等分，以每一个小区间等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
9、左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值估计值 和过剩估计值和过剩估计值 ，如下：，如下：1s1S1s36.02.0)18.06.04.02.0(16.02.0)8.06.04.02.00(33333333331S1S1s估计误差不会超过估计误差不会超过 -=0.2-=0.22022-12-32022-12-31414探究点探究点3 3 估计变速运动的路程估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度已知匀速运动物体的速度v和运动的时间和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？匀速运动的物体走过的路程呢？问题
10、问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度后停下，在这一过程中，汽车的速度 v（单位：（单位：m/s)是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s.)50(2510)(2ttttv2022-12-32022-12-31515分析：分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v v(0)=25(0)=25m/sm/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求
11、出汽车的滑行距离：这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s s=25=255=125(m)5=125(m)但显然，这样的误差太大了但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离来估计滑行距离.首先，将滑行的时间首先，将滑行的时间5s5s平均分成平均分成5 5份份.我们分别用我们分别用v v(0),(0),v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4)(4)近似替代汽近似替代汽车在车在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的
12、平均速度，求出滑行距离度，求出滑行距离s s1 1：2022-12-32022-12-31616)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs由于由于v v是下降的，所以显然是下降的，所以显然s s1 1大于大于s,s,我们称它为汽我们称它为汽车在车在5 s5 s内滑行距离的过剩估计值内滑行距离的过剩估计值.用用v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4),(4),v v(5)(5)分别近似替代汽车分别近似替代汽车在在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出汽车在度，求出汽车在5s5s
13、内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs1s2022-12-32022-12-31717不论用过剩估计值不论用过剩估计值s s1 1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：1s)(2511mss要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.10.1？2022-12-32022-12-31818为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小
14、，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小速度误差就越小.比如，将滑行时间比如，将滑行时间5s5s平均分成平均分成1010份份.用类似的方法得到汽车在用类似的方法得到汽车在5s5s内滑行距离的过剩估内滑行距离的过剩估计值计值s s2 2：)(125.485.0)5.4()4()1()5.0()0(2mvvvvvs2022-12-32022-12-31919结论结论 滑行时间等分得越细，误差越小滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于被等分后的小时间间隔的长度趋于0 0时，过剩估计值时，过剩估计值和
15、不足估计值就趋于汽车滑行的路程和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss汽车在汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：2s无论用无论用s s2 2还是还是 表示汽车的滑行距离表示汽车的滑行距离s s，误差都不超过，误差都不超过2s2022-12-32022-12-32020抽象概括抽象概括 前面，我们通过前面，我们通过“以直代曲以直代曲”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步
16、骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求路程逼近所求路程所分区间长度所分区间长度趋于趋于 0 估计值趋于所求值估计值趋于所求值 2022-12-32022-12-32121变式练习变式练习 汽车作变速直线运动，在时刻汽车作变速直线运动，在时刻t t的速度为的速度为v(t)=-tv(t)=-t2 2+2,+2,（单位：（单位：km/h),km/h),那么它在那么它在0t1(0t1(单单位：位：h)h)这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s是多少？（将行驶是多少？（将行驶的时间的时间1h1h平均分成平均分成1010份）份）2022-12-32022-12-322
17、22解析解析 分别用分别用v(0)v(0)，v(0.1)v(0.1)，v(0.2)v(0.2)，v(0.9)v(0.9)近似替代汽车在近似替代汽车在0 00.1h0.1h，0.10.10.2h0.2h，0.80.80.9h0.9h，0.90.91h1h的平均速度，求出汽车的平均速度，求出汽车在在1h1h时行驶的路程的过剩估计值时行驶的路程的过剩估计值1S1S=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.10.1=1.715(km).=1.715(km).2022-12-32022-12-32323分别用分别用v(0.1)v(0.1)
18、，v(0.2)v(0.2)，v(0.3)v(0.3)，v(1)v(1)近似替代近似替代汽车在汽车在0 00.1h0.1h，0.10.10.2h0.2h，0.8 0.80.9h,0.90.9h,0.91h1h的平均速度，求出汽车在的平均速度，求出汽车在1h1h时行驶的路程的不足时行驶的路程的不足估计值估计值1s=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.10.1=1.615(km)=1.615(km)1s无论用无论用 还是还是 估计汽车行驶的路程估计汽车行驶的路程s,s,估计误差都不估计误差都不会超过会超过1.715-1.615=0.11.715-1.615=0.1（kmkm）1S1s2022-12-32022-12-324241.1.曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求值逼近所求值2.2.求面积和路程问题的步骤：求面积和路程问题的步骤：我们把由直线我们把由直线 x=ax=a，x=b(a b)x=b(a b)，y=0y=0和曲和曲线线 y=f(x)y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形.回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？2022-12-32022-12-32525
