1、实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（二）（二）1 1、要组织一场篮球联赛、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式赛制为单循环形式,即每即每两队之间都赛一场两队之间都赛一场,计划安排计划安排1515场比赛场比赛,应邀请多应邀请多少个球队参加比赛少个球队参加比赛?2.2.参加一次聚会的每两人都握了一次手参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共所有人共握手握手1010次次,有多少人参加聚会有多少人参加聚会?与小组成员间互赠贺卡有区别吗？与小组成员间互赠贺卡有区别吗？复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型对于这些步骤，应通过解各种类型的问
2、题，才能深刻体会与真正掌握列方程的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。解应用题。上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平平均均增长增长(下降下降)率问题率问题”，现在，我们，现在，我们要学习解决要学习解决“面积、体积问题面积、体积问题。实际问题与一元二次方程（二）实际问题与一元二次方程（二）面积、体积问题面积、体积问题一、复习引入一、复习引入 1 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形的面积公式是什么呢？2 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？3 3
3、梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？4 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？5 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？6 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？（二）几何问题（二）几何问题 方法提示：方法提示：1)1)主要集中在几何图形的主要集中在几何图形的面积面积问题问题,这类这类问题的问题的面积公式面积公式是等量关系；是等量关系；如果图形不规则应如果图形不规则应割割或或补补成规则图成规则图形形,找出各部分面积之间的关系找出各部分面积之间的关系,再运用规则再运用规则 图形的面积公式列出方程图形的面积公式列出方程;2)2)与直角三角形有关的问题：直角与
4、直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是 这类问题的等量关系，即用勾股这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程。定理列方程。巩固练习：巩固练习：如图，一块长方形铁板，长是宽的如图，一块长方形铁板，长是宽的2 2倍，倍，如果在如果在4 4个角上截去边长为个角上截去边长为5cm5cm的小正方形，的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是盒子的容积是3000cm3000cm，求铁板的长和宽。，求铁板的长和宽。练习：（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图（练习：（探究性题）一块矩形耕
5、地大小尺寸如图（1 1）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2 2条条和和4 4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为耕地面积为9600 9600 ，那么水渠应挖多宽？，那么水渠应挖多宽？2m16264（2）分析：这类问题的特分析：这类问题的特点是，挖渠所占面积点是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠只与挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为渠道的位置无关，为了研究问题方便可分了研究问题方便可分别把东西和南北方向别把东西和南北方向的渠道移动到一起的渠道移动到一起（最
6、好靠一边），如（最好靠一边），如图（图（2）所示。那么）所示。那么剩余可耕的长方形土剩余可耕的长方形土地的长为（地的长为（162-2x)m,宽为（宽为（64-4x)m解：设水渠的宽为解：设水渠的宽为xm,列方程得：列方程得：（1622x）（）（64-4x)=9600，解得，解得 =1，=96（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为1m.1x2x16264（1）要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬
7、所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中央的矩形两边之比也为央的矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:8.143275422339272927 x4.143214222337212721 x 要
8、设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为
9、9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意得依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1.1.学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米的长方形空地上计划新建一块长米的长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米米的长方形花圃的长方形花圃.（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积使它的面积比学校计划新建的
10、长方形花圃的面积多多1 1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案案.（2 2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加况下，长方形花圃的面积能否增加2 2平方米？如果平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由说明理由.解解:(1)方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;719方案方案2：长为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2 2）在长方形
11、花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加圃面积不能增加2 2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为1616米米.设长方形花圃设长方形花圃的长为的长为x x米，则宽为（米，则宽为（16-16-x x）米）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，046514)16(422acb此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加增加2 2平方米平方米1 1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的的矩形矩形,若
12、能够若能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明请说明理由理由.解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,)220(x30)220(xx即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此题无解此题无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.例例2 2：某校为了美化校园：某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请
13、全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),),根据根据两种设计方案各列出方程两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽求图中道路的宽分别是多少分别是多少?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540540米米2 2.(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积
14、为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是3220(3220)540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所
15、以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100(米米2)草坪面积草坪面积=32 20 100=540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx(2)解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程
16、容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六
17、块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为米道路的宽为米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，0
18、1233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例例3.(2019年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度利用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，米，面积为面积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则B
19、CBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.1.如图，用长为如图，用长为18m18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.
20、要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m81m2 2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18(xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9 9米的正方形米的正方形.921xx 例例4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m，断面为，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上上口宽比渠深多口宽比渠深多2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m3，需要多，需要
21、多少天才能把这条渠道挖完？少天才能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2，渠底为渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建，那么，根据梯形的面积公式便可建模模解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m依题意，得：依题意，得：6.1)4.02(21xxx整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m（天）25
22、487501.6(2)答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和和1.2m；需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【则每个小长方形的面积为【】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22.在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5400cm2，设金色纸边
23、的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是【满足的方程是【】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2的小的小正方形，用计算器求得正方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效数字）个有效数字）【】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaABC 6 6如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长墙，另外
24、三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为为35m35m，所围的面积为，所围的面积为150m150m2 2，则此长方形鸡，则此长方形鸡场的长、宽分别为场的长、宽分别为_ 5 5如图如图的矩形包书纸示意图中，虚线是的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度去的宽度封面封底（第27题）26 cm18.5 cm图2图1（1 1）如图）如图，数学课本长为，数学课本长为26 cm26 cm，宽为，宽为18.5 cm18.5 cm，厚为，厚为1 cm1 cm小明用一张小明用一张1
25、260 cm21260 cm2的的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图矩形纸方法包好了这本书，展开后如图所所示，求折叠进去的宽度；示，求折叠进去的宽度；（2 2）现有一本长为）现有一本长为19 cm19 cm，宽为，宽为16 cm16 cm，厚为，厚为6 cm6 cm的字典你能用一张的字典你能用一张41 cm41 cm26 cm26 cm的矩形纸，按的矩形纸，按图图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于宽度不小于3 cm3 cm吗？请说明理由吗？请说明理由封面封底（第27题）26 cm18.5 cm图2图1这里要特别注意这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答小结小结
