1、13.4 线性非齐次常系数方程 线性非齐次常系数方程的线性非齐次常系数方程的待定系数法待定系数法.在第在第2 2节给出的节给出的常数变易法常数变易法比较繁琐，比较繁琐，本节将给出比较简单的解法本节将给出比较简单的解法.2考虑常系数非齐次线性方程考虑常系数非齐次线性方程 111()nnnnnd xdxL xaa xf tdtdt(3.4.1)(3.4.1)当当 是一些特殊函数，是一些特殊函数，()f t如如指数函数，正余弦指数函数，正余弦函数，函数，及及多项式多项式时，时，通常利用通常利用待定系数法待定系数法来求解。来求解。3一、非齐次项一、非齐次项是多项式是多项式（3.4.2）.1022nnt
2、btbbqxdtdxpdtxdxL当当 时时,零不是方程的特征根零不是方程的特征根.0q 可取特解可取特解形式为形式为01()nntBBB t（3.4.3）其中其中 是待定常数是待定常数.01,nB BB比较方程比较方程 nntbtbbtL10)(同次幂的系数同次幂的系数解出解出01,nB BB401()()nntt BBB t.1022nntbtbbqxdtdxpdtxdxL.1022nntbtbbdtxd当当 时时,零零为方程的单特征根为方程的单特征根，令，令 0,0pq当当 时时,0,0pq零零为方程的二重特征根为方程的二重特征根，直接积分得方程的特解直接积分得方程的特解).()(102
3、nntBtBBtt5综合情况综合情况,我们得到特解形式我们得到特解形式:,0,0),(,0,0),(,0,)(1021010pqtBtBBtpqtBtBBtqtBtBBtnnnnnn通过比较系数法来确定待定常数通过比较系数法来确定待定常数nBBB,10.1022nntbtbbqxdtdxpdtxdxL6例例1 求方程求方程 的一个特解的一个特解.22282txdtdxdtxd解解:对应的齐次方程的对应的齐次方程的特征根特征根为为零不是特征根零不是特征根,因此因此,设方程特解的形式为设方程特解的形式为.1,221将将 代入方程得代入方程得)(t.82)(22222212012ttBtBBBBB比
4、较上式两端的系数比较上式两端的系数,可得可得.2,4,4012BBB因此因此,原方程的一个特解为原方程的一个特解为.442)(2ttt.)(2210tBtBBt7例例2 求方程求方程 的通解的通解.3224tdtdxdtxd解解:对应的齐次方程的特征根为对应的齐次方程的特征根为.1,021齐次方程通解为齐次方程通解为:.)(21tecctx.4)(3ttf因为因为零是特征方程的单根零是特征方程的单根,将将 代入方程得代入方程得:)(t.24,12,4,10123BBBB原方程的特解为原方程的特解为:).24124()(23ttttt原方程的通解为原方程的通解为:).24124()(2321tt
5、ttecctxt),()(332210tBtBtBBtt故特解形式为故特解形式为8二、非齐次项二、非齐次项是多项式与指数函数之积是多项式与指数函数之积.)(1022tnnetbtbbqxdtdxpdtxdxL做变换做变换则方程变为则方程变为:),()(tyetxt.)()2(10222nntbtbbyqpdtdypdtyd,02,0),(,02,0),(,0,)(2102210210pqptBtBBtpqptBtBBtqptBtBBtnnnnnn9(1)当当 不是特征根不是特征根时时,方程的特解形式为方程的特解形式为.)()(10tnnetBtBBt(2)当当 是单特征根是单特征根时时,方程的
6、特解形式为方程的特解形式为.)()(10tnnetBtBBtt(3)当当 是二重特征根是二重特征根时时,方程的特解形式为方程的特解形式为.)()(102tnnetBtBBtt.)(1022tnnetbtbbqxdtdxpdtxdxL对应的齐次方程的特征方程对应的齐次方程的特征方程.02qp10例例3 求方程求方程 的一个特解的一个特解.解解:对应的齐次方程的特征根为对应的齐次方程的特征根为二重根二重根因此因此,该方程特解的形式为该方程特解的形式为.112将将 代入方程代入方程,)(t可得可得.0,0,121012BBBtetxdtdxdtxd2222.)()(22102tetBtBBtt因此因
7、此,原方程的一个特解为原方程的一个特解为.121)(4tett 11例例4 求求 的特解的特解.tettxdtdxdtxd22722)1(44解解:做变换做变换则原方程变为则原方程变为),()(2tyetxt27221ttdtyd对上面方程积分得到一个特解对上面方程积分得到一个特解,29283221)(2732tttty因此因此,原方程的特解为原方程的特解为.29283221)(27322tttett12例例7 求方程求方程2225356texdtdxdtxdt的通解的通解.这里的特征方程这里的特征方程0562有两个解有两个解.5,121对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:.521tte
8、cecx再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解.因为方程的右端由两项组成因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加根据解的叠加原理原理,可先分别求下面两个方程的特解可先分别求下面两个方程的特解.解解:先求对应齐次方程的先求对应齐次方程的的通解的通解.05622xdtdxdtxd13texdtdxdtxd35622222556txdtdxdtxd这两个特解之和为原方程的一个特解这两个特解之和为原方程的一个特解.tAtet)(1对于第一个方程对于第一个方程,设特解设特解代入第一个方程得代入第一个方程得:.43A22102)(tBtBBt对第二个方程对第二个方程,设特解设特解代入第二个方程得代
9、入第二个方程得:.1,512,2562210BBB原方程的通解为原方程的通解为.2562512432521ttteececxttt.5,12114三、非齐次项三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数为多项式与指数函数，正余弦函数之积之积当当 不是不是对应齐次方程对应齐次方程的的特征根特征根时时,取取 .i0k 当当 是是对应齐次方程对应齐次方程 i的的特征根特征根时时,取取 .1k 方程的特解方程的特解 形式为形式为 ()ttnmettBttAqxxpxxLsin)(cos)()1,0(,sin)(cos)()(kettQttPtttllk,maxnml 15例例5 5 求求 的通解的通解.
10、2(cos7sin)txxxett解：先求对应齐次方程解：先求对应齐次方程 的通解的通解 20 xxx特征方程特征方程 220的根为的根为 121,2 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为 212ttxc ec e再求非齐次方程的一个通解，再求非齐次方程的一个通解，16不是特征根不是特征根，故，故 ()(cossin)tte AtBt代入原方程得到代入原方程得到(3)cos(3)sincos7sinBAtBAttt得得 A=2，B=1，故原方程的特解为，故原方程的特解为 ()(2cossin)ttett于是通解为于是通解为 221(2cossin)tttxettc ec e1ii 2(co
11、s7sin)txxxett17例例6 求方程求方程txdtxdsin222的通解的通解.解解:先求对应齐次方程的先求对应齐次方程的022 xdtxd的通解的通解.这里的特征方程这里的特征方程012有两个解有两个解i12对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:.sincos21tctcx再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解.ii是特征根是特征根,故原方程特解的形式为故原方程特解的形式为)sincos()(tBtAtt18代入原方程得代入原方程得.sin2sin2cos2ttAtB比较方程两边的系数得比较方程两边的系数得:.0,1BA故原方程的特解为故原方程的特解为:.cos)(ttt因而原方程的通解为因而原方程的通解为:.cossincos21tttctcx例例6 求方程求方程txdtxdsin222的通解的通解.方程特解的形式为方程特解的形式为)sincos()(tBtAtt19作业作业:P149 2，3，6，7，8(1)，9,10
