1、一一 曲线的参数方程曲线的参数方程第二讲 参数方程 如图，一架救援飞机在离灾地面如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以高处以100 m/s的速度作水平直线的速度作水平直线飞行飞行.为使投放的救援物资准确落于灾为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面区指定的底面(不计空气阻力不计空气阻力)，飞行员，飞行员应如何确定投放时机呢？应如何确定投放时机呢？问题探究问题探究Av=100m/s 如图，一架救援飞机在离灾地面如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以高处以100 m/s的速度作水平直线的速度作水平直线飞行飞行.为使投放的救援物资准确落于灾为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面区指定的底面
2、(不计空气阻力不计空气阻力)，飞行员，飞行员应如何确定投放时机呢？应如何确定投放时机呢？问题探究问题探究xyOAv=100m/s-500 如图，一架救援飞机在离灾地面如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以高处以100 m/s的速度作水平直线的速度作水平直线飞行飞行.为使投放的救援物资准确落于灾为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面区指定的底面(不计空气阻力不计空气阻力)，飞行员，飞行员应如何确定投放时机呢？应如何确定投放时机呢？问题探究问题探究MxyOAv=100m/s-5001.参数方程的概念参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
3、坐标果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个都是某个变数变数t的函数的函数 ),(),(tgytfx1.参数方程的概念参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个都是某个变数变数t的函数的函数 ),(),(tgytfx 并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程的每一个允许值，由方程组所确定的点组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数联系变数x，y的变数的变数t叫做参变数，简称叫做参变数，简称参数参数.相对于参数方程而言
4、，直接给出点相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程的坐标间关系的方程叫做普通方程.参数是联系变数参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.练习：指出下列参数方程中的参数练习：指出下列参数方程中的参数1(1)1 2xtyt，；sincos(2)1 sin2.xy，cos(3)sinxryrcos(4)sinxrtyrt例例1.的位置关系；的位置关系；与曲线与曲线，判断点判断点CMM)4,5()1,0()1(21.),6()2(3的值的值上，求上
5、，求在曲线在曲线已知点已知点aCaM)(123 2为为参参数数的的参参数数方方程程是是已已知知曲曲线线ttytxC cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。2、参数方程和普通方程的互化、参数方程和普通方程的互化将曲线的参数方程化为普通方程，有利将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一
6、般地，可以通过消方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数果知道变数x,y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，的关系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系出另一个变数与参数的关系那么那么 就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。tfx tgy tgytfx例例2 2、把下列参数方程化为普通方程，、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数（2）把 平方后减去得到
7、因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解：因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（，）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端端点点）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx 24sin2cossinx2,2x2,2xyx 21.将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（X2或
8、或x-2）步骤：步骤：（1）消参；）消参；（2）求定义域。）求定义域。练一练2.求参数方程求参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示表示 （）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（211，）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，21）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42s
9、in(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故应选（B）说明说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例例3 3 (1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。解解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （为参数）1499cos22y?3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭
10、圆方程，得x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，从而后满足该方程，从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程.2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在在y=xy=x2 2中，中，xRxR,y0,y0，分析分析:发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在
11、在A A、B B、C C中，中，x,y的范围都的范围都而在中，且以练一练普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结 圆周运动是生活中常见的圆周运动是生活中常见的.当物体绕当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点那么，怎样刻画运动中点的位置呢？的位置呢？3.圆的参数方程概念圆的参数方程概念 圆周运动是生活中常见的圆周运动是生活中常见的.当物体绕当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点那么，怎样刻画运动
12、中点的位置呢？的位置呢？xyo M0Mr3.圆的参数方程概念圆的参数方程概念 如果在时刻如果在时刻t，点，点M转过的角度是转过的角度是，坐标是坐标是M(x,y)，那么，那么 t.设设|OM|r，那么由三角函数定义有那么由三角函数定义有,sin,cosrytrxt 即即)(sincos为参数为参数ttrytrx xyo M0Mr讲授新课讲授新课)(sincos为参数为参数ttrytrx 这就是圆心在原点这就是圆心在原点O，半径为，半径为r的圆的圆的参数方程的参数方程.其中参数其中参数t有明确的物理意义有明确的物理意义(质点质点作匀速圆周运动的时刻作匀速圆周运动的时刻).讲授新课讲授新课xyo M
13、0Mr讲授新课讲授新课 考虑到考虑到 t，也可以取，也可以取 为参数，于为参数，于是有是有)(sincos为参数为参数 ryrxxyo M0Mr 这也是圆心在原点这也是圆心在原点O，半径为，半径为r的圆的参数的圆的参数方程方程.其中参数其中参数 的几何的几何意义是意义是OM0绕点绕点O旋转旋转到到OM的位置时，的位置时，OM0转过的角度转过的角度.圆心是圆心是(a,b(a,b),),半径是半径是r r的圆的参数方的圆的参数方程是什么呢？程是什么呢？cossinxarybr5-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP例例1 1、已知圆方程、已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2
14、x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，（x+1x+1）2 2+（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习练习.(1)(x1)2y24上的点可以表示为上的点可以表示为A.(1cos,sin)B.(1sin,cos)C.(12cos,2sin)D.(1 2cos,2sin)()练习练习.(1)(x1)2y24上的点可以表示为上的点可以表示为A.(1cos,sin)B.(1sin,cos)C.(12cos,2si
15、n)D.(1 2cos,2sin)()D练习练习.的圆心为的圆心为_，半径为，半径为_.)(sin2cos24)2(为参数为参数 yx练习练习.的圆心为的圆心为_，半径为，半径为_.(4,0)(sin2cos24)2(为参数为参数 yx练习练习.的圆心为的圆心为_，半径为，半径为_.(4,0)(sin2cos24)2(为参数为参数 yx2xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2si
16、nx=4cosy=4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例1.1.如图如图,已知点已知点P P是圆是圆x x2 2+y y2 2=16=16上的一个动点上的一个动点,点点A A是是x x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).(12,0).当点当点P P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PAPA中点中点M M的轨迹是什么的轨迹是什么?参数方程的应用参数方程的应用(1)(1)参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标
17、为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例1.1.如图如图,已知点已知点P P是圆是圆x x2 2+y y2 2=16=16上的一个动点上的一个动点,点点A A是是x x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).(12,0).当点当点P P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PAPA中点中点M M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例2.2.已知点已知点P P（x x，y y）是圆）是圆x x2 2+y+y2 2-6x-4y+12=0 -6x-4y+12=0 上动点，求（
18、上动点，求（1 1）x x2 2+y+y2 2 的最值，（的最值，（2 2）x+yx+y的最的最值，（值，（3 3）P P到直线到直线x+y-1=0 x+y-1=0的距离的距离d d的最值。的最值。解：圆解：圆x x2 2+y+y2 2-6x-4y+12=0-6x-4y+12=0即（即（x-3x-3）2 2+（y-2y-2）2 2=1=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），），（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).13 x2+y2 的
19、最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313（2）.参数法求最值参数法求最值(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大值为5+，最小值为，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ，。41222211.已知点已知点P(x，y)是圆是圆x2y22y上的动点上的动点.(1)求求2xy的取值范围；的取值范围；(2)若若xya0恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围巩固练习巩固练习 小结小结(1)圆圆x2y2r2的参数方程为的参数方程为);(.sin,cos为参数为参数 ryrx(2)圆圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为的参数方程为).(.sin,cos为参数为参数 rbyrax
