1、12021/2/22第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵是线性代数的一个主要研究对象，矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。的一些基本规则与技巧。22021/2/223.23.2 线性方程组解的判定线性方程组解的判定3.13.1 矩阵的秩矩阵的秩3.33.3 分块矩
2、阵的初等变换及其应用分块矩阵的初等变换及其应用(*)3.43.4 应用举例应用举例32021/2/22第一节第一节矩阵的秩矩阵的秩定义定义1：在：在mn阶矩阵阶矩阵A中，任取中，任取k行与行与l列列(km，l n)，位，位于这些行列交叉点处的于这些行列交叉点处的kl个元素按照原来相对顺序所构个元素按照原来相对顺序所构成的矩阵称为矩阵成的矩阵称为矩阵A的的kl 子矩阵子矩阵，当，当k和和l相等时相等时,此子矩阵此子矩阵为为k阶方阵阶方阵，其行列式称为，其行列式称为矩阵矩阵A的一个的一个k阶子式。阶子式。321987654321A中取中取1，2，3行和行和1，2，4列交叉处的元构成的三阶子式为：列
3、交叉处的元构成的三阶子式为：31986542142021/2/22 mn阶矩阵A中的k阶子式共有 个。定义定义2:如果在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式阶子式D，且所有r1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于0。knkmCC 由定义可得：由定义可得：（1）若矩阵）若矩阵A有一个有一个r阶子式阶子式不等于零不等于零，则，则R(A)r（2）若矩阵）若矩阵A的的所有所有r+1阶子式阶子式全为零全为零，则，则R(A)r (3)对任意对任意mn矩阵矩阵A,必有必有R
4、(A)=R(AT)（4）矩阵）矩阵A的的秩秩既不会超过它的既不会超过它的行数，行数，又不会超过它的又不会超过它的 列数，即列数，即R(Amn)min m,n (5)若矩阵若矩阵B是矩阵是矩阵A的子矩阵的子矩阵,则则R(B)R(A)（6）对）对n阶方阵阶方阵A=(aij),若若 aij0，则，则R(A)=n，称称A为为 满秩矩阵满秩矩阵(可逆矩阵可逆矩阵)，若，若 aij=0,则则R(A)n,称称A为为降降 秩矩阵秩矩阵(不可逆矩阵不可逆矩阵)。52021/2/22由行列式性质可知，在 A中当所有r1阶子式阶子式全等于零时，所有高于r1阶的子式也全等于零，因此 A的秩秩 R(A)就是就是 A中不
5、等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数(根据按行、按列展开即可证明）行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：初等变换不改变矩阵的秩。证明：证明：设 R(A)=r，且 A的某个r 阶子式 Dr 0.而所有的 r+1阶子式Dr+1=0,若A经过一次行的初等变换变为B 1、则B的子式与A的相应子式或相等或只差一个符号，故有R(A)=R(B);2、矩阵B的子式或者是A的相应子式的k倍，或是相等，固有R(A)=R(B);ijirrr kA BA B当或时62021/2/22其中其中M1就是矩阵就是矩阵A的一个的一个r+1阶子式
6、，故阶子式，故M1=0，M2是矩是矩阵阵A的一个含第的一个含第j行元的行元的r+1阶子式经与若干行对换后得到阶子式经与若干行对换后得到的行列式，故的行列式，故M2=0，所以，所以Dr+1=0.无论是以上何种情形，矩阵无论是以上何种情形，矩阵B的的r+1阶子式都等于阶子式都等于0，所，所以有以有R(B)r=R(A)72021/2/22 以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有R(B)R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那么同样有R(B)R(A).所以有 R(A)R(B).经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。推论推论:设设A是任一是任一mn矩阵矩阵
7、,P,Q分别是分别是m阶阶,n阶可逆阶可逆(满满 秩秩)矩阵矩阵,则必有则必有 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)上面的定理给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。82021/2/22 以上证明了A经过一次行初等变换变为 B时，有R(B)R(A).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那么同样有R(B)R(A).所以有 R(A)R(B).经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。92021/2/222 1 8
8、3 723 0 75A32 5 8 01 0 3 2 01.AA设，求矩阵 的秩，并求 的一个最高阶的非例零子式。102021/2/22334512345125 ()3 3 C C4 1040,40 (,)2 17235(,),()332 01 00RRAAAAAa a a a a Ba a a B B B由于，可知 的最高阶的非零子式为阶，而的三阶子式共有个要从个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的，但考察的行梯矩阵，记：则由矩阵知，故中必有三阶非零子式。中的三阶子式42 1 7 32 0140 1 0 0A只有 个显然，所以该子式便是的最高阶的一个非零子式。112021/2/22122021
9、/2/2211 1 231 2()25 33.6aRabbAA设，已知，求、例的值.132021/2/22 矩阵秩的性质:(1)0 R(Amn)minm,n;(2)R(A)=R(AT);(3)设设k是不为零的数是不为零的数,则则R(kA)=R(A);(4)若矩阵若矩阵P,Q可逆可逆,则则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);(5)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B);(6)R(A+B)R(A)+R(B);(7)设设A,B分别是分别是mn矩阵与矩阵与ns矩阵矩阵,则则 R(AB)minR(A),R(B);(8)设设A,B分别是分别是mn矩阵与矩阵与ns矩阵矩阵,则则 R(AB)
10、R(A)+R(B)-n;(9)设设A,B分别是分别是mn矩阵与矩阵与ns矩阵矩阵,且且AB=0,则则 R(A)+R(B)n;142021/2/22(5)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B);证明:因为A或B的最高阶非零子式总是矩阵(A,B)的非零子式,所以 maxR(A),R(B)R(A,B)设R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩阵P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分别是矩阵AT与BT的行最简形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行数为r,R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行数为s,于是)()()
11、()00()(),(),(212121BRARsrUURUUPPRBARBARBARTTT152021/2/22(6)R(A+B)R(A)+R(B);证明:将矩阵A,B按列分块为A=(1,2,n),B=(1,2,n),从而)()0,(),()(,0),(0)0,(ARARABARABREBEABAEBEAsnsn所以是可逆矩阵且),(),(),(),(2121,1212211BABBAnnniccnnnini 即矩阵(A+B,B)与矩阵(A,B)等价.由定理得R(A+B,B)=R(A,B),因此 R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)R(A)+R(B);(7)设设A,B分别是分别是mn矩阵
12、与矩阵与ns矩阵矩阵,则则R(AB)minR(A),R(B);证明:因为由性质(2)及上式又可得,)(),(min)()()()()()(BRARABRBRBRABRABRABRTTTT故162021/2/22QEPBr000nBRARABRnrARPRrnPRPRPRPPRAPRAR)()()()()()()()()(),()()(112121故即(8)设设A,B分别是分别是mn矩阵与矩阵与ns矩阵矩阵,则则R(AB)R(A)+R(B)-n;证明:设R(B)=r,由第一章定理可知,存在m阶可逆矩阵P和s阶可逆矩阵Q,使得由性质1,4,5有记AP=(P1,P2),其中P1为mr矩阵,它是矩阵(
13、AP)的前r列,P2为m(n-r)矩阵,它是矩阵(AP)的后(n-r)列,则)()0,()0,()()0,(000),(000111121PRPRQPRABRQPQEPPQEAPABrr因而该不等式称为西尔维斯特西尔维斯特不等式172021/2/22第二节第二节线性方程组解的判定线性方程组解的判定问题问题1:1:线性方程组有解的充要条件线性方程组有解的充要条件问题问题2 2：如何求解？（无穷解，唯一解以及无解）：如何求解？（无穷解，唯一解以及无解）设有线性方程组：设有线性方程组：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111它的系数矩阵记
14、作A=(aij)mn，增广矩阵记作（A:b),设R(A)=r,由前面的知识可知，rR()r+1,且且总可经过初等行变换化为最简梯矩阵00000000000000000100100011122121111rrrnrrnrnrddbbdbbdbbA初等行变换182021/2/22于是线性方程组可以化为：1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxbxbxdxbxbxdxbxbxnndxdxdx2211由上述方程组可知：1、当dr+10即R(A)R()时,原方程组无解；2、当dr+10即R(A)R()时,原方程组有解。（1）若r=n，则方程组的解为 （2）若rn，则方程组
15、变为：nrnrrrrrnnrrnnrrxbxbdxxbxbdxxbxbdx11211222111111这说明，任意给定xr+1,xn,就唯一地确定一组x1,x2,xr的值，也就是给出了方程组的一组解。这样的一组表达式，通常称为方程组的一般解或通解一般解或通解，而xr+1,xn称为自由变量自由变量。192021/2/22定理定理3：n元线性方程组有解的情况如下元线性方程组有解的情况如下：（1）有解的充分必要条件是）有解的充分必要条件是R(A)=R().(2)有唯一解的充要条件是有唯一解的充要条件是R(A)=R()=n.(3)有无穷多解的充要条件是有无穷多解的充要条件是R(A)=R()n定理定理4
16、：n元奇次线性方程组元奇次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充要条件是它的系数矩阵有非零解的充要条件是它的系数矩阵A的秩的秩R(A)n.202021/2/22推论：推论：n n个方程的个方程的n n元奇次线性方程组元奇次线性方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充要条件是它的系数行列式有非零解的充要条件是它的系数行列式 A=0212021/2/22在解线性方程组时，对于齐次线性方程组，只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵，便能写出该方程组的通解
17、；对于非齐次线性方程组，只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵，便能根据定理3判断该方程组是否有解；在有解的前提下，再把增广矩阵进一步化为行最简矩阵，便能求出它的解。求解方程组的一般步骤：求解方程组的一般步骤：222021/2/22232021/2/22134234 3 1 4 211212212123431425203 4203,5523234242 133001 xxxxxxxcxcxccxxxccccxxxcxc 即得同解方程组令，则有：12 ()cc，为任意常数242021/2/22252021/2/221 234123 1|0 7210 3.3tttt ABABOABOBOAx0AA方阵，为
18、三阶非零矩阵，且，求由且知齐次线性方程组有非零解，故方程组的的例系数行列式，而设解：262021/2/22272021/2/221341342323314211221123124()()2422 3113,221113130010001RRxxxxxxxxxxxc xcxccxcccxccx AB因，所以行最简矩阵对应的方程为：，即令，即得：282021/2/22123123123(2)2212(5)4224(5)1,.a xxxxa xxxxa xaa 设 问 为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求例其通解5292021/2/22302021/2/22第四节第四节应用
19、举例应用举例312021/2/22习题课习题课一、需要掌握的基本知识点一、需要掌握的基本知识点(1)(1)矩阵的概念以及运算（矩阵的概念以及运算（矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘）矩阵乘法不满足交换律，也不满足消去律。矩阵乘法不满足交换律，也不满足消去律。(2)(2)矩阵的转置（对称矩阵与反对称矩阵）矩阵的转置（对称矩阵与反对称矩阵）(AB)(AB)T=B=BTA AT(3)(3)方阵的行列式方阵的行列式T(1)|(2)|(3)|(4)|nAAAAABA BABBA(4)(4)逆矩阵的定义及性质逆矩阵的定义及性质 方阵方阵A A可逆可逆A A 0;R(A)=n;AB=E0;R(A)=n;AB=E或
20、或BA=EBA=E A A可以表示为初等矩阵的乘积可以表示为初等矩阵的乘积 A A等价于单位矩阵等价于单位矩阵322021/2/22一、需要掌握的基本知识点一、需要掌握的基本知识点(5)(5)伴随矩阵伴随矩阵及其性质及其性质(6)(6)分块矩阵（分块对角矩阵）分块矩阵（分块对角矩阵）(7)(7)初等矩阵初等矩阵 *11*11*11*)*(1)(00AkkAAAAAAAAAAAAAAAEAAAAAnn），则（若，则若332021/2/22一、需要掌握的基本知识点一、需要掌握的基本知识点(8)(8)线性方程组的解的判定（非齐次线性方程组与齐线性方程组的解的判定（非齐次线性方程组与齐 次线性方程组次线性方程组).).342021/2/22 结结 语语352021/2/22
