1、授课时间：授课时间：2012016 6年年7 7月月第第1讲讲 含绝对值的方程含绝对值的方程从数轴上看，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离的点离开原点的距离但除零以外，任何一个但除零以外，任何一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值绝对值都是表示两个不同数的绝对值即即一个一个数与它相反数的绝对值是一样的数与它相反数的绝对值是一样的由于这个性由于这个性质，所以含有绝对值的方程的求解过程又出现质，所以含有绝对值的方程的求解过程又出现了一些新特点本讲主要介绍方程中含有绝对了一些新特点本讲主要介绍方程中含有绝对值的处理方法值的处理方法一个实数一个实数a
2、a的绝对值记作的绝对值记作a a，指的是，指的是由由a a所唯一确定的非负实数：所唯一确定的非负实数：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算通常的方法是分别按照法进行统一的代数运算通常的方法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算算，即含有绝对值的方程的求解，常用，即含有绝对值的方程的求解，常用分类讨论分类讨论法法在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间
3、应该间应该不重、不漏不重、不漏下面结合例题予以分析下面结合例题予以分析例例1 已知：有理数已知：有理数x、y、z满足满足xy0,并且并且丨丨x丨丨=3，丨，丨y丨丨=2，丨，丨z+1丨丨=2，求，求x+y+z的值。的值。分析：分析：本题本题x，y，z,的符号难以确定，但三者的的符号难以确定，但三者的符号密切联系，可围绕其中一个进行分类讨论。符号密切联系，可围绕其中一个进行分类讨论。解：由丨解：由丨z+1z+1丨丨=2=2，得，得z+1=z+1=2 2，所以，所以z=1z=1或或z=-3z=-3 由由xy0 xy0yz0知，知，y y，z z同号；同号；又丨又丨x x丨丨=3=3，丨，丨y y丨
4、丨=2=2，故，故当当z=1z=1时，时，x=-3,y=2x=-3,y=2，此时，此时x+y+z=-3+2+1=0 x+y+z=-3+2+1=0当当z=-3z=-3时，时，x=3,y=-2x=3,y=-2。此时。此时x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+zx+y+z的值为的值为0 0或或-2.-2.1 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x-5x-5+2x=-5+2x=-5；(2)(2)3x-13x-1=丨丨2x+12x+1丨；丨；练习一：练习一：x=-10 x=0或或x=2例例2 2：解方程解方程x-2x-2+2x+12x+1=7=7分析：
5、分析：解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用值符号，这可用“零点分段法零点分段法”，即令即令x-2=0,2x+1=0 x-2=0,2x+1=0，分别得到，分别得到x=2,x=x=2,x=用用2 2，将数轴分成三段：将数轴分成三段：x2x2，x x2 2，x x ，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。21212121解解:说明：说明：若在若在x x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去不属于此范围内，则这样的解不是方程的解
6、，应舍去（1 1）当）当x x 时，原方程化为时，原方程化为 -(x-2)-(2x+1)=7 -(x-2)-(2x+1)=7，解得：解得：x=-2,x=-2,在所给的范围在所给的范围x x 之内，之内，x=-2x=-2是方程是方程的解；的解；2121（2 2）当）当 x x2 2时，原方程化为时，原方程化为 -(x-2)+(2x+1)=7 -(x-2)+(2x+1)=7，解得：解得：x=4,x=4,它不在所给的范围它不在所给的范围 x x2 2之内，之内，所以所以x=4x=4不是方程的解，应舍去；不是方程的解，应舍去；2121(3)(3)当当x22时，原方程化为时，原方程化为 (x-2)+(2
7、-2)+(2x+1)=7+1)=7，解得：解得：x=,=,所以在所给的范围所以在所给的范围x22之内，之内，x=是方程的解；是方程的解；3838综上所述，原方程的解为综上所述，原方程的解为x=x=或或x=-2x=-2381 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x+3x+3-1-x1-x=x+1=x+1；(2)(2)x-2x-2+2x+12x+1=8=8；练习二：练习二：x=2.5或或x=-1.5x=3或或x=37例例3 3：求方程：求方程x-x-2x+12x+1=3=3的不同的解的个数的不同的解的个数分析：分析：此方程有两层绝对值符号，先由此方程有两层绝对值符号，先由2x+1=02x+1=0
8、得：得：x=-1/2,x=-1/2,然后分别对然后分别对x=-1/2,x-1/2,x-1/2,x-1/2x-1/2时，原方程化为时，原方程化为 丨丨1+x1+x丨丨=3=3，解得：解得：x=2x=2或或x=-4,x=-4,而而x=-4x=-4不在不在x-1/2x-1/2之内，应舍去；之内，应舍去；（3 3）当）当x x-1/2-1/2时，原方程化为时，原方程化为 丨丨x+(2x+1)x+(2x+1)丨丨=3=3，即丨即丨3x+13x+1丨丨=3=3解得：解得：x=2/3x=2/3或或x=-4/3,x=-4/3,而而x=2/3x=2/3不在不在x x-1/2-1/2之内，应舍去；之内，应舍去；综
9、上所述，所求方程的解为综上所述，所求方程的解为x=2x=2或或x=-4/3x=-4/3，所以原方程，所以原方程不同的解的个数为不同的解的个数为2 2个。个。1 1、适合关系式丨、适合关系式丨3x-43x-4丨丨+丨丨3x+23x+2丨丨=6=6的整数的整数x x的值的值有多少个？有多少个？练习三：练习三：2个个综上可知，综上可知，a=1a=1例例4 4：若关于：若关于x x的方程的方程x-2x-2-1-1=a=a有三个整数解有三个整数解则则a a的值是多少？的值是多少？解解 若若a a0 0，原方程无解，所以，原方程无解，所以a0a0由绝对值的定义由绝对值的定义可知可知x-2x-2-1=-1=
10、a a，所以，所以 x-2x-2=1=1a a(1)(1)若若a a1 1，则，则x-2x-2=1-a=1-a0 0，无解，无解x-2x-2=1=1a a，x x只能有两个解只能有两个解x=3+ax=3+a和和x=1-ax=1-a(2)(2)若若0a10a1，则由，则由x-2x-2=1+a=1+a，求得，求得x=1-ax=1-a或或x=3+ax=3+a；由由x-2x-2=1-a=1-a，求得，求得x=1+ax=1+a或或x=3-ax=3-a原方程的解为原方程的解为x=3+ax=3+a，3-a3-a，1+a1+a，1-a1-a，为使方程有三个，为使方程有三个整数解，整数解，a a必为整数，所以必
11、为整数，所以a a只能取只能取0 0或或1 1当当a=0a=0时，原时，原方程的解为方程的解为x=3x=3，1 1，只有两个解，与题设不符，所以，只有两个解，与题设不符，所以a0a0当当a=1a=1时，原方程的解为时，原方程的解为x=4x=4，0 0，2 2，有三个解，有三个解练习四：练习四：设设a a、b b为有理数，且丨为有理数，且丨a a丨丨00，方程丨丨，方程丨丨x-ax-a丨丨-b-b丨丨=3=3有三个不相等的解，求有三个不相等的解，求b b的值。的值。b=3例例5:5:已知方程已知方程x x=ax+1=ax+1有一负根，且无正根，有一负根，且无正根，求求a a的取值范围的取值范围综
12、上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a1a1所以应有所以应有a a-1-1反之，反之，a a-1-1时，原方程有负根时，原方程有负根 解解 设设x x为方程的负根，则为方程的负根，则-x=ax+1-x=ax+1，即，即 设方程有正根设方程有正根x x，则，则x=axx=ax1 1，即，即 所以所以a a1 1反之，反之，a a1 1时，原方程有正根时，原方程有正根练习五：练习五：已知关于已知关于x x的方程丨的方程丨x x丨丨-ax=1-ax=1同时有一个正根和一个同时有一个正根和一个负根，求整数负根，求整数a a的值。的值。a=0所以，只有当所以
13、，只有当a3a3时，原方程有解时，原方程有解例例6:6:当当a a取哪些值时，方程取哪些值时，方程x+2x+2+x-1x-1=a=a有解？有解？解解(1)(1)当当x-2x-2时，时，x+2x+2+x-1x-1=-2x-1-2(-2)-1=3=-2x-1-2(-2)-1=3(2)(2)当当-2-2x x1 1时，时，x+2x+2+x-1x-1=x+2-x+1=3=x+2-x+1=3(3)(3)当当x1x1时，时，x+2x+2+x-1x-1=2x+121+1=3=2x+121+1=3练习六：练习六：当当a a满足什么条件时，关于满足什么条件时，关于x x的方程丨的方程丨x-2x-2丨丨丨丨x-5x-5丨丨=a=a有一个解？有无数多个解？无解？有一个解？有无数多个解？无解？当当a=a=3 3时，原方程有无数个解；时，原方程有无数个解；当当-3-3a a3 3时，原方程有一个解；时，原方程有一个解；当当a-3a3a3时，原方程无解；时，原方程无解；
