1、5.1 矩阵的运算矩阵的运算 5.2 可逆矩阵可逆矩阵 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式5.3 矩阵的分块矩阵的分块 5.1 5.1 矩阵的运算矩阵的运算一、内容分布一、内容分布5.1.1 认识矩阵认识矩阵5.1.2 矩阵的运算矩阵的运算5.1.3 矩阵的运算性质矩阵的运算性质5.1.4 方阵的多项式方阵的多项式5.1.5 矩阵的转置矩阵的转置 二、教学目的二、教学目的 1.掌握矩阵的加法、乘法以及掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。性质，并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质掌握转置矩阵及其运算
2、性质3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。一一 矩阵的定义矩阵的定义111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为称为F上上 nm矩阵矩阵,简写简写:)()(ijnmijaAaA或 矩阵的产生有丰富的背景矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩线形方程组的系数矩阵阵.,矩阵的应用非常广泛矩阵的应用非常广泛.设设F是数域是数域,用用F的元素的元素 排成的排成的m行行n列的数表列的数表 ija 二二 矩阵的运算及其运算律矩阵
3、的运算及其运算律 定义定义1 1(矩阵的数乘矩阵的数乘)给定数域给定数域F F中的一个数中的一个数k k与与矩阵矩阵A A的乘积定义为的乘积定义为 111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakAkaaakakaka定义定义2 2（矩阵的加法）（矩阵的加法）给定两个给定两个 mn矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbbA A 和和B B 加法定义为加法定义为:111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababab
4、ABababab定义定义3 3（矩阵的乘法）（矩阵的乘法）给定一个 m n矩阵和一个 nl矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212llnnnlbbbbbbBbbbA A 和和B B 的乘法定义为的乘法定义为niilminiiminiiminiiliniiiniiiniiliniiiniiibababababababababaAB112111212211211121111 注意注意:相加的两个矩阵必须同型相加的两个矩阵必须同型,结果也同型结果也同型;相乘的两个相乘的两个矩阵必须矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数第一个的列数等于第二个的行数,试问试
5、问:结果的形状结果的形状?矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中中A A，B B，C C 均为均为F F上的矩阵，上的矩阵，k k，l l为数域为数域F F中的数）中的数）(1)加法交换律加法交换律 ABBA(2)加法结合律加法结合律)()(CBACBA(3)零矩阵零矩阵 AA0(4)负矩阵负矩阵 0)(AA(5)数乘结合律数乘结合律 AkllAk)()(6)数乘分配律数乘分配律 kBkABAk)(lAkAAlk)(7)乘法结合律乘法结合律)()(BCACAB)()()(kBABkAABk(8)乘法分配律乘法分配律 BCABCBA)(CABA
6、ACB)(注意注意:矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律,消去律消去律:CBACABA,0也不满足也不满足.满足满足:BAAB 的两个矩阵称为可交换的的两个矩阵称为可交换的.例例 1 已知052110351234,230412301321BA,求.23BA例例2已知,612379154257,864297510213BA且,2BXA求.X例例 3 若,012321,132132BA求.AB三三 方阵及其多项式方阵及其多项式 单位矩阵单位矩阵:主对角线上全是主对角线上全是1,其余元素全是其余元素全是0的方阵称为单的方阵称为单位矩阵位矩阵,记为记为 nI或或 I1100nn单位矩阵也可以记
7、为单位矩阵也可以记为 EEn或.它有如下性质它有如下性质:,mnmnnAAImnmmnAIA方阵方阵A的方幂的方幂:kAAAA.规定规定:IA 0设多项式设多项式 0111.)(axaxaxaxfnnnn,那么那么 IaAaAaAaAfnnnn0111.)(在多项式的等式中在多项式的等式中,用用A代代x可以作出形式相同的矩阵等式可以作出形式相同的矩阵等式.四四 矩阵的转置矩阵的转置 设设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa把矩阵把矩阵 A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A矩阵矩阵,记为记为 A或.TA转置有下面的性质转置有下面的性质
8、:AA)(9)(BABA(10)ABAB(11)的的转置转置AA)()12(5.2 5.2 可逆矩阵可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式矩阵的乘积的行列式一、内容分布一、内容分布 可逆矩阵的定义可逆矩阵的定义、性质性质 初等矩阵的定义、性质初等矩阵的定义、性质 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法逆矩阵的求法 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式二、教学目的二、教学目的 1 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 2 掌握求逆矩阵的方法掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。换求逆矩阵。3 3 了解初等矩阵与初等变
9、换的关系了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点三、重点、难点 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别一一 可逆矩阵的定义及性质可逆矩阵的定义及性质 定义定义1 1 A A为为F F上上n n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在n n阶方阵阶方阵B B，使，使 AB=BA=AB=BA=I称称A A为可逆矩阵（非奇异矩阵），为可逆矩阵（非奇异矩阵），B B称为称为A A的逆矩阵的逆矩阵.例例BA10013152215321533152A A与与B B互为逆矩阵互为逆矩阵.性质性质 A A可逆，则可逆，则A A的逆矩阵唯一。的逆矩阵唯一。证证 设设B,CB,C均为均为A A的逆矩阵的逆
10、矩阵 ，则，则 AB=BA=I,AC=CA=I B=BI=BAC=（BA）C=IC=C 证证 注意到注意到 即得即得.IAAAA11)(证证 注意到注意到 即得即得.IABABABAB)()(1111 A可逆，则可逆，则)()(,11AAA且可逆 A A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且1AAA11)(由由 有有 .IAAAA11IAAAA)()(11证证 A A，B B可逆，则可逆，则ABAB也可逆，且也可逆，且 .111)(ABAB 定义定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵称为初等矩阵.n=4000101000010100014P10
11、0001000100001)(100000000100001)(243kkTkkD二二 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别 定理定理 对对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘阵左乘A;对对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘右乘A。如。如(1)交换交换A的的i，j 行相当于用行相当于用 .ijPA左乘1112133131331,321222321222313313233111213aaaaaaaaaaaaP Aaaaaaa 如如(2)把把A的第的第i 行乘以数行乘以数k 相当于用相当于用 .()iD kA左乘 (3)把
12、把A的第的第j 行乘以行乘以k后加到第后加到第i 行相当于用行相当于用 ()ijT kA左乘即即 .,AAEAA E 行为相应的初等矩阵 定理定理 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且且)()()1()(111kTkTkDkDPPijijiiijij 引理引理5.2.15.2.1 ，则，则 .（初等变换不改变可逆性）（初等变换不改变可逆性）.AA 行可逆可逆AA 定理定理5.2.1 任一任一mn矩阵矩阵A总可以通过初等变总可以通过初等变换化为换化为 rnrmrrmrnrrOOOIA,证证 由定理由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为可通过行及列变换化为(*
13、)00001000100011,21,211,1rnrrnrnrCCCCCC对（对（*）作第三种列变换即可化为）作第三种列变换即可化为An 阶矩阵阶矩阵A可逆可逆AIA 可写成初等矩阵的乘积0|AnA秩 证明：证明：AOOoIArnrnrrnrnrr,A可逆可逆,则则 可逆，可逆，无零行，即无零行，即 .反之，若反之，若AI，由，由I可逆知可逆知A可逆可逆.AAIA 定理定理5.2.2-5.2.2-定理定理5.2.4:5.2.4:AI，即，即IA 即存在初等矩阵即存在初等矩阵 使使tssEEEE,11AEIEEEEtss112 由由 AI，nIAn 秩秩0AnA秩三三 逆矩阵的求法逆矩阵的求法
14、 行初等变换法行初等变换法 A可逆，由可逆，由 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 ，使使IA行sEE,111212AIEEEIAEEEss从而即即1|A II A 行例例1 1,814312201AA求 公式法公式法设设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211*212221212111AAAAAAAAAAnnnnnn令令 称称.*的伴随矩阵为AA则由行列式的依行依列展开公式则由行列式的依行依列展开公式jijiAaAaAanjinjiji0|A|2211，有，有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAaAaAaAaAaAaAaAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA1122
15、21211112121111212221212111212222111211*000000即即IAAAAAAAA|000|0000|*若若A可逆，则可逆，则|A|0，从而，从而IAAAAA)1()1(*即即*11AAA 例例2 2：求求 的逆的逆.22122111*,1112AAAAAA1|,2,1,1,122211211AAAAA21111A故故 解：解：1112A例例3：求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.021112111A解法一解法一 利用公式利用公式.11AAA由由,04021112111A并计算每个元素并计算每个元素 的代数的代数ija:ijA余子式余子式,10112,20211121
16、1AA,20211,521122113AA,12111,101112322AA,11211,211113231AA.3121133A所以所以.3151112224114341454141412121211AAA解法二解法二 行初等变换法行初等变换法.101315102110400201101012001110130111100010001021112111)()3(32)1(31)1(13)1(12IA,1000100010101000011011021101002014341454141412121213,2414141434145212121)1(23)2(21434145412 所以所以
17、.4341454141412121211A四四 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式 引理引理5.2.2：n阶矩阵阶矩阵A总可以通过第三种行和列的总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵初等变换化为对角矩阵 ndddA0021|21AdddAn且证证:若若A的第一行、第一列元素不全为零，则总的第一行、第一列元素不全为零，则总可使可使A的左上角的元素不为零的左上角的元素不为零.则有则有1112112122211120000nnnnnnaaadaaaBAaaa 若若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的第一行，第一列元素全为零，则已具有 的的 形式形式.同理，可以把同理，可以把 化为化为1B1B
18、0000000000221Add继续作第三种初等变换，则可将继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，化为对角形矩阵，且且ndddAA21|定理定理5.2.55.2.5：设设A，B为为n 阶矩阵，则阶矩阵，则|AB|=|A|B|证证 若若A为对角矩阵为对角矩阵 ndddA21nnnnnnnnnadadadadadadadadadAB212222221211121111则|21BABdddABntssTTATTTA121 对一般情形，由引理对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换可通过第三种变换化为对角矩阵化为对角矩阵 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 使使AsTT,1|121BTT
19、ATTTABtss从而从而 相当于对相当于对 作第三种行作第三种行初等变换初等变换.故故 BTTAts1)(121BTTATTTtss|)(11121BABTTABTTABTTATTTtststss推广推广|2121mmAAAAAA 定理定理5.2.65.2.6 A，B为为mn及及np阶矩阵，则秩阶矩阵，则秩(AB)秩秩A，秩，秩(AB)秩秩B.特别当特别当A可逆时，秩可逆时，秩(AB）=秩秩B.推论：推论：),min()(2121mmAAAAAA秩秩秩秩 例例5 A可逆，则存在可逆，则存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，Q，使，使 PAQ=I 证：证：A可逆，则可逆，则1111,ppqppqA
20、IEE AEEIPEEQEE 令,易知P,Q可逆.一、内容分布一、内容分布 分块矩阵的概念分块矩阵的概念 分块矩阵的运算分块矩阵的运算 特殊的分块矩阵特殊的分块矩阵二、教学目的二、教学目的 1 1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算 2 2 掌握分块准对角掌握分块准对角,分块三角阵分块三角阵,分块次对角等特分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式殊的分块矩阵及相关公式三、重点、难点三、重点、难点 利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题解题 一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念 3433323124232221141
21、31211aaaaaaaaaaaaA 22211211AAAA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 232221131211AAAAAA定义定义 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块小块称为矩阵的子块(或子阵或子阵),以子块为元素形成的矩阵以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。称为分块矩阵。加法与数乘加法与数乘 srssrrmnBBBBBBBBBB212222111211二二.分块矩阵的运算分块矩阵的运算111212122212rrn msrssAAAAAAAAAA 111212122212111
22、212122212rrn msssrrrn msrssBBABBBBBBBAAAAAAAAAA 111212122212rrn msrsskAkAkAkAkAkAk AkAkAkA 乘法运算乘法运算 srrrssmnAAAAAAAAAA212221212111r rtrrttpmBBBBBBBBBB212222111211符合乘法的要求符合乘法的要求rkkjikijijBACCAB1,)(例例1 设设10000100,12101101A 10321201,10411120B 求乘积求乘积AB.1000010012101101A 1IOAI 解解:我们对我们对A，B如下地分块如下地分块这里这里I
23、 是二阶单位矩阵，是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵是二阶零矩阵.1032120110411120B 1234BBBB.于是，我们有于是，我们有12113124BBABA BBA BB 这里这里11312101024,11121111A BB12412324111.11012053A BB 1032120124111153A B TTAAAAAAA 232221131211 TTTTTTAAAAAA231322122111 sAAAA21),2,1(siAi 为为方方阵阵，形如形如分块矩阵叫分块矩阵叫做一个对角线分块矩阵做一个对角线分块矩阵.也叫准对角阵也叫准对角阵.准对角阵准对角阵.sAAAA
24、21 sBBBB21),2,1,(siBAii 为为同同阶阶方方阵阵，,则则设设;11 ssBABABA;11 ssBABABA;21sAAAA;1 skAkAkA;1 TsTTAAA;1 msmmAAA,可可逆逆可可逆逆iAA.1111 sAAA且且 分块三角阵分块三角阵例例2 设设 0,ADC B 证明：证明：D 可逆，并求其逆可逆，并求其逆其中其中 A,B 分别为分别为 k 级和级和 r 级可逆矩阵，级可逆矩阵，C为为rk 证证假设假设D 可逆，可逆，设逆阵为设逆阵为111122122,XXDXX 于是于是 1112212200,0krEXXAC BXXE 即即111110ADB CAB .rKEBXCXOBXCXOAXEAX221221111211122112112111BXCABXOXAX
