1、()(2)ypyqyf x对应齐次方程对应齐次方程0(1)ypyqy通解结构通解结构,*yYy常见类型有常见类型有 ,)()(xmexPxf()()cos()sin.xlmf xeP xxpxx难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程 和和()mP xm表示 次多项式定理定理3设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(*代入原方程代入原方程一、型)()(xPexfmx ()(2)ypyqyf xxexQy)(*xyeQ xQx *22xyeQ xQxQx代入原方程代入原方程(2)整理得：整理得：2()(2)()()(
2、)()(3)mQ xp Q xpq Q xP x不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可设可设;)(*xmexQy;)(*xmexxQy2()(2)()()()()(3)mQ xp Q xpq Q xP x特解特解特解特解QXm是 次多项式是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论*(),kxmyx Qx e.)(2*xmexQxyQXm是 次多项式012.k不是特征方程根
3、；是特征方程单根；是特征方程重根例例1求微分方程求微分方程1332 xyyy的一个特解的一个特解.解：所对应的齐次方程为解：所对应的齐次方程为2 30yyy其特征方程为其特征方程为0322 rr特征根为特征根为,3,121 rr由于由于0 不是特征方程的根，不是特征方程的根，设特解为设特解为01.yb xb代入方程得代入方程得00132331b xbbx比较系数得比较系数得.31,110 bb原方程特解为原方程特解为1.3yx 一次多项式一次多项式02 rr解：解：1,0 rr12xYcc e)(2cbxaxxy 二次多项式二次多项式2yyx例例2.求微分方程求微分方程的通解的通解.对应齐次方
4、程的通解为对应齐次方程的通解为=0 是特征方程的单根，是特征方程的单根，非齐次方程的特解为非齐次方程的特解为cbxaxy 232baxy26 222326xcbxaxbax 2,1,31 cba3221123xycexcxx 方程的通解为：方程的通解为：*32123yxxx代入方程得代入方程得方程的特解为：方程的特解为：.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解：解：特征方程特征方程对应齐次方程通解对应齐次方程通解,0232 rr特征根特征根，2121 rr212xxYc ec e是单根，是单根，2 *2()xyx AxB e设例例3 3代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 B
5、A*21(1)2xyxxe原方程通解为原方程通解为22121(.1)2xxxxxyC eeC e原方程的特解为原方程的特解为(1)(2)()cos()sin,kxmmyx eRxxRxx次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max 方程（方程（2）的特解为：）的特解为：（证略）（证略）xxPxxPexfnlx sin)(cos)()(01.iki不是特征方程的根是特征方程的单根例例4 .求方程求方程 y+y=xcos2x 的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为 r2+1=0,其根为其根为r1,2=i,对应齐次线性方程的通解为对应齐次线性方程的通解为 y=
6、C1cosx+C2sinx.因因 i=2i 不是特征方程的根不是特征方程的根,k=0，=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*=(4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xm=max0,1=1,故故方程的方程的特解特解设设为为：代入原方程，代入原方程，整理整理得得.2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax比较两端同类项的系数，得比较两端同类项的系数，得,13 a,043cb,03 c.043ad.94,0,0,31dcba解之得：解之得：求得一个特解为求得一个特解为.2sin942cos31*xxxy方程的通解为方程的通解为12
7、1cossi4cos2s29n3.inxyCx Cxxx例例5.设连续函数设连续函数 f(x)满足方程满足方程00()sin()d()d.xxf xxxf tttf tt0()sin()()d,xf xxxt f tt求函数f(x).上式整理上式整理得得：解：将方程写为解：将方程写为0()cos()d.xfxxf tt0()cos()()()xfxxxf xf t dtxf x两边对两边对 x 求导得求导得：再求导得：再求导得：()sin().fxxf x设设 y=f(x),问题可问题可转转化为求解初值问题：化为求解初值问题：特征方程特征方程 r2+1=0 的根为的根为 r1,2=i，对应齐次
8、线性方程通解为对应齐次线性方程通解为12cossinyCxCx00sin0,1xxxyyyy 而而 i=i 是特征方程的根，是特征方程的根，代入原方程后解得：代入原方程后解得：1,0.2aby*=x(acosx+bsinx).设设非齐次方程非齐次方程特解为特解为于是于是.cos21*xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为.cos21sincos21xxxCxCy将初始条件代入上式，得将初始条件代入上式，得 1210,2CC从而从而,cos21sin21xxxy即，所求函数为：即，所求函数为：.cos21sin21)(xxxxf000,1,xxyy可可以以是是复复数数）(),()()1(xPe
9、xfmx,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx (待定系数法待定系数法)是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k01iki不是根是单根(1)(2)()cos()sin,kxmmyx eRxxRxx nlm,max*(),kxmyx Qx e设P348 习题习题 7-8:6 00.xxxxett dtxt dt 0.xxxet dt .xxex 00,1,1xxxyyeyxyy令得 1,.mPxA 121cossin2xxCxCxe通解 1cossin.2xxxxe特解 P347 习题习题 7-8 1.(8)；2.(3).布布 置置 作作 业业P304-习题习题7-27.
10、小船从河边小船从河边0出发驶向对岸出发驶向对岸.解：设小船的航行路线解：设小船的航行路线C：xx tyy t参数方程：t,Vx ty t速度：,.x tky hyy ta水流速度小船主动速度 ,y tdyadxx tky hy参数方程的导数0 xvyh水流水流kdxy hy dya分离变量得：kxy hy dya两端积分得：0 00,C 将，代人得：23123khxyya.小船航行路线方程为：23123khyyCaP315-习题习题7-41.求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解：8lnln0.yydxxy dy11,ylnydxxdyy解：原方程写成 11,.yln yP yQ yy则P
11、311公式（5）lnln1dydyyyyyxeedyCylnln1dydyyyyyxeedyCylnlnlnln1yyeedy Cy1lnlnydy Cyy2112xlnyln2.yCCC通解为211lnln2yCy2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：求下列微分方程满足所给初始条件的特解：cos23cot5,4.xxdyyxeydx coscot,5.xP xx Q xe解：cotcotcos5.xdxxdxxy eeedx C lnsincoslnsin5xxxeeedx Ccos15.sinxyeCx241xyC 将代人得，故所求特解为：cos1 5,sinxeyxcossin51.xyxe即cos15sinsinxexdxCx
