1、34-12022-12-4二阶线性微分方程的理论及解法二阶线性微分方程的理论及解法 三、二阶三、二阶常系数常系数齐次齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法四、二阶四、二阶常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法第三节第三节34-22022-12-4二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：,)()()(xfyxqyxpy 时时,称为二阶称为二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程;0)(xf时时,称为二阶称为二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程.复习复习:一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：)()(xQyxPy通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(
2、非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Yy0)(xf34-32022-12-4 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕证毕.一、二阶一、二阶齐次齐次线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边,得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC（解的叠加原理）（解的叠加原理）)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定
3、理定理1.34-42022-12-4注：注：未必未必是已知方程的通解是已知方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 11221211()()(2)()()C y xC yxCCy xC y x并不是通解！并不是通解！但是但是)()(2211xyCxyCy则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入函数的下面引入函数的线性线性相关性相关性的概念的概念.34-52022-12-4定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使
4、得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这则称这 n 个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如，221,cos,sinxx在在(,)上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，21,x x若在某区间若在某区间 I 上上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点,321,kkk必须全为必须全为 0,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数34-62
5、022-12-4 两个函数线性相关性的两个函数线性相关性的充要条件：充要条件：)(),(21xyxy线性相关线性相关22112212()()0,0.k y xk yxkk12()()y xk yx)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数注：注：0 与任意函数与任意函数()y x必线性必线性相关相关)(),(21xyxy仅相差常数倍！仅相差常数倍！34-72022-12-4定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,则则)()(2211xyCxyCy为该方程的通解为该方程的通解.例如例如,方程方程0 y
6、y有特解有特解,cos1xy,sin2xy 且且故方程的通解为故方程的通解为12cossin.yCxCx推论推论*.nyyy,21若是是 n 阶线性齐次方程阶线性齐次方程 0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解,则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCy21tan,yxy34-82022-12-4二、二阶二、二阶非齐次非齐次线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个的一个特解特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的是相应齐次方程的通解通解,定理定理 3.)()()
7、(xfyxQyxPy 则则是非齐次方程的是非齐次方程的通解通解.证证:将将)(*)(xyxYy代入方程代入方程左端左端,得得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy)()(YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ证毕！证毕！又又Y 中含有两个独立任意常数，中含有两个独立任意常数，即即y 是是的解的解.34-92022-12-4例如例如,方程方程xyy 有特解有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos2134-102022-12-4推广推广*.)(,),(),(21x
8、yxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()()1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(*xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解34-112022-12-4定理定理 4.),2,1()(nkxyk设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2,1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPyn
9、kk 的特解的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）（非齐次方程之解的叠加原理）34-122022-12-4定理定理 5.12()()yxyx设，)()()(xfyxQyxPy 均是方程均是方程的特解的特解.12()()yxyx0)()(yxQyxPy是方程是方程的特解，则的特解，则34-132022-12-4常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().)(,)(21xyxy设两个不同的函数设两个不同的函数都是都是一阶非齐次线一阶非齐次线性方程性方程的解的解,C是任意是任意B)(-)()(21xyxyCA)(-)()()(211xyxyCxyB)()()(21xyxyCC例例1.)()()()
10、(211xyxyCxyD)()(xQyxPy34-142022-12-4是任意是任意常数常数,则该方程则该方程321,yyy设设是二阶非齐次线是二阶非齐次线 性微分方程性微分方程)()()(xfyxQyxPy 的三个不同特解的三个不同特解,且且21,CC;)-()(3211yyyCA);()()()(32312211yyyyCyyCB.)(32211yyCyCCD备用备用1.常数，3121yyyy的通解是的通解是().3312211)()()(yyyCyyCD34-152022-12-4常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都
11、是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解,21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB1122123()(1);CC yC yCCy.)1()(3212211yCCyCyCDD备用备用2提示提示:3231,yyyy线性无关线性无关.（反证法可证）（反证法可证）3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD21,yy不一定线性无关不一定线性无关34-162022-12-4例例2.已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件
12、求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解的特解.解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为故所求特解为有三有三 34-172022-12-4三、二阶三、二阶常系数齐次常系数齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数倍和它的导数只差常数倍,代入代入得得0)(2xre qprr02qrpr称称为
13、微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1.当当042qp时时,有两个相异实根有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r 为待定常数为待定常数),xrer函数为常数时因为,所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.34-182022-12-42.当当042qp时时,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解，u(x)待定待定.代入方程得代入方程得:1xre
14、)(1urup0uq)2(211ururu 1r注注意意是特征方程的二重根是特征方程的二重根0 u取取 u=x,则得则得,12xrexy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru34-192022-12-43.当当042qp时时,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根irir21,此时微分方程有两个复数解此时微分方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:)
15、(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx34-202022-12-4总结总结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212112,r r：特特征征根根21rr 实根实根 12rrr12()rxyCC x eir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解34-212022-12-4 若含若含 k 重复根重复根,ir 若含若含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含则其通解中必含xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)(121
16、sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含则其通解中必含)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广*：n 阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程34-222022-12-4例例3.032 yyy求方程的通解的通解.解解:特征方程特征方程,0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxeCeCy321例例4.求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的
17、通解为因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为tets)24(22C34-232022-12-4.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例5 534-242022-12-4特征根特征根,irr,irr,r 543211通解通解.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCx 解解,01222345 rrrrr特征方程特征方程,0)1)(1(22 rr即即.022 )3()4()5
18、(的的通通解解求求 yyyyyy例例6 69/1034-252022-12-4xCxCeCyx22321sincos例例7 7 在下列微分方程中，以在下列微分方程中，以),(为为任任意意常常数数321CCC为通解的是为通解的是(D )(2008(D )(2008考研考研)044 yyyyA-)(044 yyyyB)(044 yyyyC-)(044 yyyyD-)(34-262022-12-4型)()(xPexfmx1、四、二阶四、二阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法型sin)(xxPnxxPexflxcos)()(2、)(xfyqypy),(为常数qp根据解的结构定
19、理，其通解为根据解的结构定理，其通解为Yy*y非齐次方程非齐次方程特解特解齐次方程通解齐次方程通解34-272022-12-4求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法34-282022-12-4)(xQex(2)()p Q x2()()pq Q x()xmeP x1、型)()(xPexfmx设特解为设特解为,)(*xQeyx其中其中 为待定多项式为待定多项式,)(xQ)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 2()(2)
20、()()()()mQxp Q xpq Q xPx（其中（其中 为实数，为实数，)(xPm为为 m 次多项式）次多项式）则则代入代入得得)(xfyqypy 化简得化简得34-292022-12-4(1)若若 非非特征方程的根，特征方程的根，20,pq即即故特解形式为故特解形式为.)(*xQeymx则则Q(x)为为 m 次多项式，次多项式，(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根，,02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,02qp,02 p)(xQ 则为为 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmex
21、Qxy)(*2)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即*().xmyxQx e.)(1110mmmmmaxaxaxaxQ其中34-302022-12-4结论结论对方程对方程,)2,1,0()(*kexQxyxmk*注：注：此结论可推广到高阶情形！此结论可推广到高阶情形！(k是重根是重根次数次数)当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解34-312022-12-4例例7.1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解：解：本题本题而特征方程为而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根不是特征方程的根.故设所求特解为故设所求特解为,*baxy代入
22、方程代入方程:13233xabax比较系数比较系数,得得33 a132ba311ba,于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,034-322022-12-4.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(xebaxxy2设设代入方程代入方程,得得xabax22,121baxexxy2121)(于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例8 834-332022-12-4备用备用.xexyyy265 求方程的通解的
23、通解.解：解：特征方程为特征方程为,0652 rr其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为xebaxxy2)(*比较系数比较系数,得得12 a02ba121ba,因此特解为因此特解为21*1.2xyxxe3,221rr代入方程得代入方程得xabax22所求通解为所求通解为xxeCeCy3221221.2xxx e34-342022-12-4例例9*.求解求解 0)0()0()0(123yyyyyy解：解：特征方程为特征方程为,02323rrr其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为,*axy代入方程得代入方程得123
24、0,1,2rrr 对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23故原方程通解为故原方程通解为12x1Cy xeC2xeC23由初始条件得由初始条件得1233/41 1/4CCC 于是所求解为于是所求解为21a34-352022-12-42、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()(yqypy分析思路分析思路*:第一步第一步 将将 f(x)转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析
25、原方程特解的特点分析原方程特解的特点ximexP)()(（欧拉公式）（欧拉公式）34-362022-12-4结论结论:次多项式，次多项式，是是mxRxRmm)(),(xxPxxPenlx sin)(cos)(对非齐次线性方程对非齐次线性方程yqypy),)(),(,(次次多多项项式式分分别别为为为为常常数数nlxPxPqpnlxxRxxRexymmxk sin)(cos)(*可设特解可设特解:其中其中 lnm,max*注：注：此结论可推广到高阶情形！此结论可推广到高阶情形！,是是特特征征方方程程单单根根不不是是特特征征方方程程根根 iik1034-372022-12-4例例10.cos2yyx
26、x求求方方程程的一个特解的一个特解.解：解：特征方程为特征方程为故设特解为故设特解为*()cos2()sin2yaxbxcxdx不是特征方程的根不是特征方程的根,02ii代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(210,r 比较系数，得比较系数，得1/3,4/9,ad 故特解故特解13 a043cb03 c043ad0 cb因为因为.sincosxxxy29423134-382022-12-4例例11.xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为,092r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xC
27、xCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数，得比较系数，得,5a,3b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32,1代入得代入得xaxb3sin63cos6通解为通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根为特征方程的单根,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18故设非齐次方程特解故设非齐次方程特解34-392022-12-4例例12*.xyyysin2)1()4(解解:(1)特征方程特征方程,01224rr,0)1(22r即有二重根有二重根,ir所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(*2xy)sincosxb
28、xa(2)特征方程特征方程,024 rr0)1(22rr即有根有根irr4,32,1,0 xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx构造下列微分方程的特解形式：构造下列微分方程的特解形式：34-402022-12-4内容小结内容小结xmexPyqypy)(.1 为特征方程的为特征方程的 k(0,1,2)重根重根,xmkexQxy)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(.2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k(0,1)重根重根,ixkexy*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形*.34-412022-12-4思考题思考题.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程xecybyay 有特解有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1()2()1(比较系数得比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解对应齐次方程通解:10 xxYC eC exxexey原方程通解为原方程通解为xxeCeCy21xex
