1、 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA解：走路线最近。查学诊断线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl示表导入三角形三边关系：两边之和大于第三边.已知：如图，已知：如图，A A，B B在直线在直线L L的两侧，在的两侧，在L L上上求一点求一点C C，使得，使得AC+CBAC+CB最小。最小。解：连接解：连接AB,线段线段AB与直线与直线L交于点交于点C，则点，则点C即为所求。即为所求。这样做的
2、依据是什么？根据是：根据是：两点之间线段两点之间线段最短最短.lABC导学施教问题问题1 如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条地出发，到一条笔直的河边笔直的河边 l 饮马，然后到饮马，然后到B地牧马人到河边地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？ABl导学施教lABCC转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与BC的和最小？的和最小？分析：分析：ABl（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、
3、B两点转化到直线l 的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？分析：分析：lABClABCABL BC问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的的对称点对称点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C 则点则点C 即为所求即为所求 路径路径AC+CB最小最小 ABL BC问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？证明：证明：如图，在直线如
4、图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不重合），连接不重合），连接AC，BC，BC 直线直线L是点是点B、B的对称轴，的对称轴，点点C C、C C在对称轴上。在对称轴上。BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BCCABL BC 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短C 问题问题2（造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在两地在同一条河的两岸，现要在
5、河上造一座桥同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥桥造在何处可使从造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在在什么情况下最短呢？分析：分析：aBAbMN 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.作法：作法：1.将点将点A沿与河岸沿与河岸垂直的方向平移到点垂直的方向平移到点A使使AA等于河宽，等于河宽，2.连
6、接连接AB交河岸交河岸b于点于点N,则点则点N为建桥为建桥MN的位的位置，此时路径置，此时路径AM+MN+BN最短。最短。.ab.ABANM 问题问题2（造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可桥造在何处可使从使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直的直线，桥要与河垂直.）另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.由平移性质可知，AMAN，AMANAAMNM N.AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.在AN
7、B中，由线段公理知AN+BN AB，AM+MN+BN AM+MN+BN.证明：证明：aBAbMNANM抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题aBAbMNlABCaBAbMNA问题归纳练测促学如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.l1l2MNA1AA2作法：作法：1.作点作点A关于直线关于直线L1的对称点的对称点A1,2.作作点点A关于直线关于直线 L2的对称点的对称点A2,3.连接连接A1A2分别交直线分别交直线L1.L2于点M.N，则路径AM+MN+
8、AN最短练测促学 河 流 草 地1.如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，为帐篷，OA是草地，是草地，OB是河流。牧是河流。牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。最短路线。作法：作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA 的对称点点的对称点点F,F,2.2.作点作点D D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,E,3.3.连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则路径CG+GH+DH最短FAOB
9、D CEGH最短路线：最短路线：C G H DC G H D练测促学证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点M，连接，连接FM、CM点点F,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM,同理同理HD=HE，ND=NE,CG+GH+HD=FG+GH+HE=FE,CM+MN+ND=FM+MN+NE,在四边形在四边形FMNE中，中，FM+MN+NEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即FM+MN+NEFG+GH+HE FM+MN+NECG+GH+HD即即CG+GH+HD最短最短FAOBD EMNGH C.dd.AB作法：作
10、法：1.从点从点A作河岸的垂作河岸的垂线段线段AA使使AA=河宽河宽d；2.2.从点从点B B作河岸的垂线作河岸的垂线段段BBBB使使BB=BB=河宽河宽d d；3.3.连接连接AB分别交两河的分别交两河的内侧河岸于点内侧河岸于点C、M；4.过点过点C，D分别作河另一岸分别作河另一岸的垂线段的垂线段CD、MN，则，则CD、MN为建桥的位置；为建桥的位置；5.连接连接AD、BN.此时路径此时路径AD+DC+CM+MN+NB最短。最短。.BNM 3.如图，在如图，在A、B两地要修一条路，中间隔着两条河两地要修一条路，中间隔着两条河，河宽均为，河宽均为d,河两岸平行，两条河平行。现要在河上造河两岸平行，两条河平行。现要在河上造二座桥，二座桥，桥要与河垂直桥要与河垂直桥造在何处可使从桥造在何处可使从A到到B的路的路径最短？径最短？.A.CD拓展延伸AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAlaBAbMNAlABCB课堂小结
