1、三角形1理解三角形的有关概念,能够正确地画出三角形的角平分线、中线和高;了解三角形的稳定性;理解并掌握三角形的内角和定理及推论.掌握三角形的三边关系定理,并能由此判断给出的三条线段能否构成三角形.了解三角形重心的概念,掌握三角形的中位线定理,并能应用三角形的性质证明或解决有关的问题.理解全等三角形的有关概念.理解掌握全等三角形的性质,并能应用全等三角形的性质证明和解决有关的问题.熟练运用全等三角形的判定方法正确地判定三角形全等.掌握直角三角形全等的判定定理(HL),并能应用这个定理正确地判定两个直角三角形全等.能够综合应用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质证明或解决有关的问题.2考点1三角
2、形的分类及其重要线段(8年4考)1.三角形的分类(1)按边分(2)按角分 32.三角形中的重要线段 4三角形的三条高、三条角平分线、三条中线分别交于一点,其交点分别叫做三角形的垂心、内心、重心,内心、重心一定在三角形内,垂心可能在三角形内(锐角三角形)、可能在一个顶点处(直角三角形)、也可能在三角形外(钝角三角形).在解决三角形有关高的问题时,要注意三角形的高的位置的不确定性,如果不指明是哪种情况,一般要分三种情况讨论.5典例1(2017江苏泰州)三角形的重心是()A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点【解析】根据
3、三角形的重心的概念,三角形的重心是三角形三条边上中线的交点.【答案】A 6提分训练1.在三角形中,三条角平分线;三条高线;三条中线.一定在三角形内的是(B )A.B.C.D.【解析】根据三角形角平分线、中线和高线的概念,三角形的三条角平分线和三条中线一定在三角形内,而三角形的高线可能在三角形内,可能为三角形某条边,也可能在三角形外.2.在ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若DE=2 cm,则BC的长是4cm.【解析】根据三角形的中位线定理,BC=2DE=22=4(cm).7考点2三角形的三边关系(1)三角形的任意两边之和大于第三边;(2)三角形的任意两边之差小于第三边.三角形的三边关系
4、一般有两个应用判定所给的三边能否构成三角形;已知三角形的两边长,求第三边的取值范围.8典例2(2017浙江舟山)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是()A.4B.5C.6D.9【解析】利用“三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边”可得7-2x7+2,解得5x9,则x的值可以是6.【答案】C【方法指导】判断给出的三条线段能否构成三角形,简便方法是:用两条较短的线段相加,如果大于最长的那条线段,就能够组成三角形,否则就不能.9提分训练3.下列三根木棒的长度中,能组成三角形的是(D )A.3 cm,4 cm,8 cmB.8 cm,7 cm,15 cmC
5、.5 cm,5 cm,11 cmD.13 cm,12 cm,20 cm【解析】选项A中,3+48,三根木棒不能组成三角形;选项B中,7+8=15,三根木棒不能组成三角形;选项C中,5+520,三根木棒能组成三角形.4.若3,x,5是三角形的三边,则x的取值范围是2x8.【解析】由于3,x,5是三角形的三边,所以5-3x3+5,解得2x8.10考点3三角形中角的关系(8年4考)1.三角形的内角和定理三角形的内角和等于180.2.三角形的外角性质(1)三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;(2)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的内角和定理和三角形的关于外角的相等关系的性
6、质,是求角的度数和证明角的相等关系常用的依据,而三角形的关于外角的不等关系的性质,是判定角的不等关系的常用依据.11典例3(2017黑龙江大庆)在ABC中,A,B,C的度数之比为234,则B的度数为()A.120 B.80C.60D.40【解析】ABC=234,设A,B,C的度数分别为2x,3x,4x,则2x+3x+4x=180,解得x=20,所以B=3x=60.【答案】C【方法指导】已知三角形的三个内角之间的关系,通常利用三角形的内角和定理建立方程(组)求解.12提分训练5.如图,在ABC中,A=40,点D为AB延长线上一点,且CBD=120,则C=(C )A.40B.60C.80D.100
7、【解析】由三角形的外角性质,得C=CBD-A=120-40=80.6.在ABC中,A=60,B-C=20,则B=70,C=50.13考点4全等三角形的定义和性质1.全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等;(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别相等.因为全等三角形的对应角相等、对应边相等,所以利用全等三角形证明角相等、线段相等,是一种基本方法.14典例4如图,ABC DEF,下列结论中,不正确的是()A.AD=BEB.ACDFC.C=FD.AC=EF【解析】根据全等三角形的性质,由A
8、BC DEF,得AB=DE,所以AB-DB=DE-DB,即AD=BE,选项A正确;BAC=EDF,所以ACDF,选项B正确;C=F,选项C正确;AC与EF不是对应边,不一定相等,选项D错误.【答案】D【方法指导】全等三角形的对应边相等,对应角相等,所以在判断属于两个三角形的边相等或角相等时,这两个三角形全等就成为很重要的条件.15【变式拓展】如图,点B,F,C,E在一条直线上,ABC DEF,ABC=60,ACB=40,则D的度数是(C )A.40 B.60C.80 D.100【解析】在ABC中,由三角形的内角和定理求得A=180-60-40=80,又ABC DEF,所以D=A=80.16考点
9、5全等三角形的判定(8年8考)1.全等三角形的判定定理 17(1)写两个三角形全等时,要把对应顶点的字母写在对应的位置上;(2)没有判定三角形全等的“AAA”“SSA”定理,即“已知两个三角形的三个角分别相等”或“已知两个三角形的两条边及其一边的对角分别相等”,都不能判定两个三角形全等;(3)判定三角形全等的条件至少有一个是对应边相等,判定一般三角形全等有四种方法,判定直角三角形全等有五种方法.2.三角形的稳定性三角形具有稳定性,即当三角形的三边确定时,三角形的形状和大小也就随之确定,而不能再发生改变,这一特性,称为三角形的稳定性.三角形具有稳定性的理论依据就是判定三角形全等的边边边定理.18
10、典例5(2017湖南怀化)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件,使得ABC DEC.【解析】本题要判定ABC DEC,在已知AC=DC,BC=EC条件下,根据全等三角形的判定,可添加第三边对应相等(SSS)或添加这两边所夹的角相等(SAS).【答案】本题答案不唯一,如AB=DE或ACB=DCE或ACD=BCE等【方法指导】添加条件判断两个三角形全等问题,关键是掌握全等三角形的判定方法.一般地,两个三角形中有两组对应边相等,要判断这两个三角形全等,可添加第三边对应相等或这两边的夹角对应相等.19提分训练7.如图,线段AD与BC交于点O,OA=OD,下列条件不能判断AOB DOC的
11、是(C )A.OB=OCB.A=DC.AB=DCD.ABDC【解析】在AOB和DOC中,已知OA=OD,AOB=DOC,选项A中OB=OC,根据SAS可判断AOB DOC;选项B中A=D,根据ASA可判断AOB DOC;选项C中AB=DC不能判断AOB DOC;选项D中由ABDC,得A=D,根据ASA可判断AOB DOC.208.如图,AB=AC,过点B作BPAB,过点C作CPAC,BP与CP相交于点P,下列结论错误的是(D )A.ABP ACPB.AP平分BACC.BPC=2APBD.AP=2PB=2PC【解析】在ABP和ACP中,由BPAB,CPAC,AB=AC,AP=AP,根据HL可判断
12、ABP ACP,则BAP=CAP,BPA=CPA,所以AP平分BAC,BPC=2APB,所以选项A,B,C正确;选项D不能得到,是错误的.211.构造全等三角形解决问题典例1杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,ODCD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.【解析】由ABCD,利用平行线的性质可得ABO=CDO,由垂直的定义可得CDO=90,易得OBAB,由相邻两平行线间的距离相等可得OD=
13、OB,利用ASA定理可得ABO CDO,由全等三角形的性质可得结果.22【答案】ABCD,ABO=CDO,ODCD,CDO=90,ABO=90,即OBAB,相邻两平行线间的距离相等,OB=OD,ABO CDO(ASA),CD=AB=20米.232.全等三角形的判定与性质的综合典例2(2017江苏常州)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,BCE=ACD=90,BAC=D,BC=CE.(1)求证:AC=CD;(2)若AC=AE,求DEC的度数.【解析】(1)由于AC,CD分别在BCA和ECD中,可通过证这两个三角形全等,运用全等三角形的对应边相等得证;(2)先判断ACD是等腰直角三角形,得
14、到DAC=45,然后在等腰ACE中,运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解.24【答案】(1)BCE=ACD=90,BCA=ECD.BCA ECD(AAS),AC=CD.(2)AC=AE,AEC=ACE.又ACD=90,AC=CD,ACD是等腰直角三角形,DAC=45,AEC=(180-DAC)=(180-45)=67.5,DEC=180-AEC=180-67.5=112.5.253.与三角形有关的探究题典例3如果将四根木条首尾相连,在相连处用螺钉连接,就能构成一个平面图形.(1)若固定三根木条AB,BC,AD不动,AB=AD=2 cm,BC=5 cm,如图,量得第四根木条CD=5 c
15、m,判断此时B与D是否相等,并说明理由;(2)若固定两根木条AB,BC不动,AB=2 cm,BC=5 cm,量得木条CD=5 cm,B=90,写出木条AD的长度可能取到的一个值;(直接写出一个即可)(3)若固定一根木条AB不动,AB=2 cm,量得木条CD=5 cm,如果木条AD,BC的长度不变,当点D移到BA的延长线上时,点C也在BA的延长线上;当点C移到AB的延长线上时,点A,C,D能构成周长为30 cm的三角形,求出木条AD,BC的长度.26【解析】(1)连接AC,根据SSS证明两个三角形全等可得B=D;(2)在RtABC中,由勾股形:当点C在点D右侧时,当点C在点D左侧时,分别列出方程
16、组即可解决问题,注意最后利用三角形三边关系定理,检验是否符合题意.【答案】(1)相等.理由:连接AC,ACB ACD(SSS),B=D.27此时AC=17,CD=5,AD=8,5+817,不合题意,AD=13 cm,BC=10 cm.28命题点1全等三角形的判定与性质(常考)1.(2017安徽第23(1)题)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.求证:BE=CF.解:(1)在ABG中,AGB=90,GAB+ABG=90,四边形ABCD为正方形,AB=BC,ABC=BCD=90,ABC=ABG+GBC=90,GAB=GBC,EAB FBC,BE=CF.29命题点2三角形的内角和定理与平行线结合(常考)2.(2010安徽第3题)如图,直线l1l2,1=55,2=65,则3为(C )A.50 B.55C.60 D.65【解析】观察图形易知,3=180-2-1=60.30命题点3三角形的中位线(冷考)3如图,D是ABC内一点,BDCD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是(D )A.7B.9C.10D.11【解析】BDCD,DBC是直角三角形,BC2=BD2+CD2=25,BC=5,由中位线性质31
