1、知识归纳1等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质性质(1)：等腰三角形的两个底角：等腰三角形的两个底角 .性质性质(2)：等腰三角形顶角的：等腰三角形顶角的 、底边上的、底边上的 、底边、底边上的高互相重合上的高互相重合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)定义：有两条边定义：有两条边 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角等角对等边：有两个角 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形相等相等平分线平分线中线中线相等相等相等相等3用反证法证明的一般步骤用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得
2、出与定义、公理、从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4等边三角形的判定等边三角形的判定(1)有一个角等于有一个角等于60的的 三角形是等边三角形；三角形是等边三角形；等腰等腰(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形5直角三角形的性质直角三
3、角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直，那么它所对的直角边等于斜边的角边等于斜边的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .一半一半平方平方逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是么这个三角形是 三角形三角形7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条
4、线段两个端点的距离的距离 .判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的 上上点拨点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合等的所有点的集合直角直角相等相等垂直平分线垂直平分线8三线共点三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于三角形三条边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到，并且这一点到三角形三个顶点的距离三角形三个顶点的距离 .9角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距
5、离 .判定定理：在一个角的内部，且到角的两边判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 相等的相等的点，在这个角的平分线上点，在这个角的平分线上相等相等相等相等距离距离一点一点注意注意 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上定理必须加上“在角的内部在角的内部”这个条件这个条件10三角形三条角平分线的性质三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离的距离 .相等相等 考点考点一线段垂直平分线的性质的应用一线段垂直平分线的性质的应用考点攻略 例例1如图如图
6、S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则，则BCE_.5050 解析解析 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以点到线段两端点的距离相等，所以EAEC，AACE30，又，又ACB80，故，故BCE803050.考点考点二全等三角形的证明二全等三角形的证明例例2如图如图S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命
7、题，并加以证明一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.解：解：答案不惟一答案不惟一，命题一：在命题一：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线上，在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCDEF.命题二：在命题二：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线上，在同一直线上，ABDE，ABCDEF，BECF.求证：求证：ACDF.下面证明命题一：下面证明命题一：已知：如题图，在已知：如题图，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一在同一直线上，直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCD
8、EF.证明：在证明：在ABC和和DEF中，中，BECF，BCEF.又又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)ABCDEF.考点考点三勾股定理的应用三勾股定理的应用 解析解析 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从要从A开始并垂直于开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能剪开，这样展开的侧面才是个矩形，
9、才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题得到直角，再利用勾股定理解决此问题解：将圆柱的侧面展开，如图解：将圆柱的侧面展开，如图S14，圆柱的底面周长为，圆柱的底面周长为2r2 4，取其一半：，取其一半：42，圆柱的高为，圆柱的高为2，根据勾，根据勾股定理，得股定理，得AC222228，所以，所以AC .2122 2 考点考点四等腰三角形的判别四等腰三角形的判别 例例4已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D为为BC的的中点中点(1)如图如图S15，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且BEAF，求证：求证：DEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；(2)若若E，F分别为分别为
10、AB，CA延长线上的点，仍有延长线上的点，仍有BEAF，其，其他条件不变，那么，他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论结论解析解析 要证明要证明DEF为等腰三角形，需要证为等腰三角形，需要证DEDF.连接连接AD，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的方法方法图S15解：解：(1)证明：连接证明：连接AD，如图如图 S16：ABAC，BAC90，D为为BC的中点，的中点，ADBC，BDAD，BDAC45，又又BEAF，BDE ADF(SAS)，EDFD，BDEADF，EDFEDAA
11、DFEDABDEBDA90，DEF为等腰直角三角形为等腰直角三角形(2)若若E，F分别是分别是AB，CA延长线上的点，如图延长线上的点，如图S17所示：所示：连接连接AD，ABAC，BAC90，D为为BC的中点，的中点，ADBD，ADBC，DACABD45，DAFDBE135.又又AFBE，DAFDBE(SAS)，图S17FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDB ADB 90，DEF仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 考点考点五角平分线与五角平分线与“截长补短截长补短”例例5如图如图S18，ADBC，点，点E在线段在线段AB上，上，ADECDE，DCEECB.求证：求证：CDA
12、DBC.图S18解析解析 结论是结论是CDADBC，可考虑用，可考虑用“截长补短法截长补短法”中的中的“截长截长”，即在，即在CD上截取上截取CFCB，只要再证，只要再证DFDA即可，这即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的图图S19证明：在证明：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图 S19，在在FCE与与BCE中，中，FCE BCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDE ADE(ASA)，DFDA.CDDFCF，
13、CDADBC.图图S191以下命题中，是真命题的是以下命题中，是真命题的是()A两条直线只有相交和平行两种位置关系两条直线只有相交和平行两种位置关系B同位角相等同位角相等C两边和一角对应相等的两个三角形全等两边和一角对应相等的两个三角形全等D等腰三角形底边中点到两腰的距离相等等腰三角形底边中点到两腰的距离相等D 习题讲析2下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A等腰三角形边上的中线也是高等腰三角形边上的中线也是高B等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C等边三角形每条角平分线都平分对边等边三角形每条角平分线都平分对边D直角三角形一
14、边上的中线等于这边的一半直角三角形一边上的中线等于这边的一半C 3在直角三角形中，一条直角边长为在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为，另一条边长为2a，那么它的三个内角之比为那么它的三个内角之比为()A1 2 3 B2 2 1C1 1 2 D以上都不对以上都不对D 4如图如图S110，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分的垂直平分线交线交CB边于边于D，若，若AB10，AC5，则图中等于，则图中等于60的角的个的角的个数为数为()A2 B3 C4 D5D 图S1105如图如图S111，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂线，垂足为的中垂线，垂足为D，交，交B
15、C于点于点E，若，若BE4，则，则AC_.2 2 图S1116若点若点P是是ABC内一点，内一点，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且，且PDPEPF，则点，则点P是是ABC的的()A三条高的交点三条高的交点B三条中线的交点三条中线的交点C三条角平分线的交点三条角平分线的交点D三条中垂线的交点三条中垂线的交点C 7在平面内，到在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有三点距离相等的点有()A只有一个只有一个 B有两个有两个C有三个或三个以上有三个或三个以上 D有一个或没有有一个或没有D8小明家有一块小明家有一块ABC的土地，如图的土地，如图S112所示，其三边长所示，其三边长AB7
16、0米，米，BC90米，米，AC50米，现要把米，现要把ABC分成面积比分成面积比为为5 7 9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案案图S112解：解：如图如图S113所示，分别作所示，分别作ACB和和ABC的平分线，相的平分线，相交于点交于点D，连接，连接AD，则，则SADCSADBSBDC579.图S1139.如图如图S114，在四边形，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中的中点，连结点，连结AE，BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.证明：证明：
17、(1)因为因为E是是CD的中点，所以的中点，所以DECE.因为因为ADBC，所以，所以ADEFCE，DAECFE.所以所以ADEFCE.所以所以FCAD.(2)因为因为ADEFCE，所以，所以AEFE.又因为又因为BEAE，所，所以以BE是线段是线段AF的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以ABFB.因为因为FBBCFCBCAD.所以所以ABBCAD.10.如图如图S115，点，点C为线段为线段AB上一点，上一点，ACM，CBN是等边三角形，直线是等边三角形，直线AN，MC交于点交于点E，直线，直线BM，CN交于交于F点点(1)求证：求证：ANBM；(2)求证：求证：CEF为等边三角形；为等边三角形；(3)将将ACM绕点绕点C按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转90，其他条件不变，其他条件不变，在图中补出符合要求的图形，并判断第在图中补出符合要求的图形，并判断第(1)(2)两小题的结论是两小题的结论是否仍然成立否仍然成立(不要求证明不要求证明)解：解：(1)证明：证明：易证易证CMBCAN，则，则ANBM.(2)证明：证明：CMBCAN，ANCMBC.又又MCNFCB60，BCCN，ECNFCB，CECF.又又ECF60，ECF是等边三角形是等边三角形(3)如图如图所示，所示，(1)小题的结论仍然成立，小题的结论仍然成立，(2)小题不成立小题不成立
