1、第五讲 三角函数的化简求值一、引言：（一）本节的地位：三角函数知识是高中教学的重要知识之一，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求，在历年的高考中，是必考查的内容之一.三角函数化简求值是高考的重要内容之一，应熟练掌握.（二）考纲要求：通过本节的学习要理解任意角三角函数的概念、会将任意角的正弦值、余弦值、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来、根据三角函数的定义或三角函数线判断三角函数值在各个象限的符号、理解终边相同角的三角函数值相同的含义，掌握同角三角函数关系及诱导公式，并能够应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形.本节重点：理解任意角三角函数的概念、掌握同角三角函数关系及诱导
2、公式，并能够应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形.（三）考情分析：一般一个大题一个或两个小题，类型有化简求值、恒等变形、图象性质等.主要考查数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.二、考点梳理：1.任意角的三角函数定义（1）利用单位圆定义任意角的三角函数，设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 那么 叫做 的正弦,记做 ，即 ；叫做 的余弦,记做 ，即 ；叫做 的正切,记为 ，即 tan(0).yxx(,)P x ysinsinyyxcoscosxyxtan（2）三角函数值的符号规律：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正
3、切：一、三象限正，二、四象限负.2同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：；（2）商的关系：.22sincos1sintancos3诱导公式：公式一：；.公式二：；.公式三：；.公式四：；.sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tanksin()sin cos()cos tan()tansin()sin cos()costan()tan sin()sincos()cos tan()tan 公式五：；.公式六：；.记忆诱导公式的常用口诀是：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇、偶”是指 中 的奇偶性；“符号”是把任意角看成锐角时原函数值的符号.sin()cos2cos()sin2si
4、n()cos2cos()sin2()2kkZk三、典型问题选讲：（一）考查三角函数定义 例1 角 的终边经过点P(1,-2),则 的值是（）.分析：本题可由三角函数的定义求得 的值是-2.tantan（二）知值求值例2 已知 ，则 （）A.B.C.D.tan222sinsincos2cos43543445分析：由 ，可得 、的值，或利用 进行求解.tan2sincos22sincos1解：答案：D222222sinsincos2cossinsincos2cossincos22tantan2tan142244 15.归纳总结：本题考查用三角函数同角关系化简求值，注意 的运用.22sincos1例
5、3 若 是第二象限角，且求 的值分析：利用诱导公式化简已知条件，再利用同角三角函数公式解决问题.sin(180)cos(360)cos(180)54)540sin(解：因为 ，所以 .又是第二象限角，所以 则 =4sin(540)5 4sin53cos.5 sin(180)cos(360)cos(180)43()sincos155.3cos35 归纳总结：利用诱导公式化简求值，一般先将负角化为正角，然后再转化为锐角求值，运用诱导公式时，要注意公式右边的符号.例4 已知 .求 的值.23cos,41024xxsin x分析:方法1将 看成一个整体角，利用 求解；方法2是将 展开，与 联立求解.4
6、x44xx2cos410 x1cossin22xx1cossin22xx解法1.因为 ,所以 ,于是3,24x,44 2x 27 2sin1 cos4410 xxsinsinsincoscossin444444xxxx7 22224.1021025解法2 由题设得 ,即 .解 得 ,222cossin2210 xx1sincos5xx221sincos,5sincos1,xxxxsin43sin55xx 或3,24x因为 ,所以 .4sin5x 归纳总结：熟练掌握公式是解决三角函数问题的基础，如同角三角函数公式等，另外整体思想在解题中也常常用到.例5（2009，广东）已知向量 与 互相垂直，其
7、中（1）求 和 的值；（2）若 ，,求 的值.分析：利用 及三角函数公式 求 或 的值.(sin,2)a(1,cos)b(0,).2sincos5cos()3 5cos02cosabsincos ,即 .又 ,即 ,.又 ,.sin2cos0 a babsin2cos22sincos1224coscos121cos524sin.52 5(0,),sin255cos5解：（1）(2)，5cos()5(coscossinsin)5cos2 5sin3 5cos,.cossin222cossin1 cos 即21cos2 ,02 又 2cos2归纳总结：本题考查同角三角函数公式及两角差的余弦，注意角
8、的范围.例6 已知求的值.sin()22sin2,(0,),cos()分析：本题考查应用诱导公式化简求值.解析：由已知条件得 sin()22sin2,(0,),cos()即 2sin12.解得 1sin.2由 0，1sin2 从而或.，66归纳总结：本题是知道一个角的三角函数值求角，在求解过程中注意角的范围的讨论.例7已知 0 ,113cos,cos(),714且2()求的 值；tan（）求 .分析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力.解：（）由 ，得1cos,0722214 3sin1 cos1.77 sin4 37tan4 3cos71.（
9、）由 ，得 .0202又 ，.13cos1422133 3sin1 cos11414由 得.coscoscoscossinsin1134 33 317147142所以 .3归纳总结：注意角的范围，范围定符号也定.熟练掌握公式，熟悉角的“配凑”使问题求解更简捷.（四）与其他知识综合例8 已知 为 的最小正周期，且 ,求 的值.0，1tan1(cos2)4，abm22cossin2()cossin分析：利用 求得关于三角函数的表达式，利用诱导公式、三角公式将所求化简得值.m()cos 2f xxa ba b解：因为 为 的最小正周期，故 因 ，又 故 ()cos 28f xxma b1costan
10、24a bcostan24m由于 ，所以04222cossin2()2cossin(22)cossincossin22cossin22cos(cossin)cossincossin1tan2cos2costan2(2).1tan4m归纳小结：本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力例9已知函数 是关于 对称的奇函数，若 ，,求 的值.()yf x3x(1)1f3 2cossin5xxf15sin2cos()4xx分析：首先利用三角函数公式化简所求的式子，再由函数的奇偶性和周期性求解.解：由 得：，.又 ,.3cossin25xx32cos()245x3
11、cos()45x218(cossin)1 sin225xxx 7sin225x 71515sin225(7)3cos()45xfffx由函数 关于 对称，得()yf x3x()(6)f xfx.又由函数 为奇函数，得()yf x(1)(1)1.ff 15sin2(7)(1)1cos()4xfffx .归纳总结：本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，函数的性质等知识，是综合性比较强的题目.四、本专题总结 本节课包含任意角的三角函数定义，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等知识，主要研究化简、知非特殊角求值，知值求值，知值求角等问题，主要方法有：角的“配凑”，整体代入等方法，体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，应注意熟练掌握概念、公式，提高综合应用知识的能力.应用公式时要注意公式成立的条件，注意角的范围的讨论.
