1、2 2 柯西积分定理柯西积分定理1、柯西积分定理2、不定积分3、柯西积分定理的推广4、柯西积分定理推广到复周线的情形1.1.柯西积分定理柯西积分定理观察上节例观察上节例4，在在复复平平面面上上处处处处被被积积函函数数)(zzf)43 :,d(的的直直线线段段从从原原点点到到点点计计算算iCzzC 同，同，或说沿或说沿z平面上任何闭曲线平面上任何闭曲线的的它沿连接起点和终点的任何路径它沿连接起点和终点的任何路径C的积分值都相的积分值都相此时积分与路线无关，此时积分与路线无关，观察上节例观察上节例2,1 1 0zzn 时为时为被积函数当被积函数当,0的的内内部部不不是是处处处处解解析析的的为为中中
2、心心的的圆圆周周它它在在以以Cz ,0,2)(|00izzdzRzzn 的整数的整数11 nn,解析解析积分为零积分为零.,02d1|00 Rzzizzz 此时此时 ,0析析的的圆圆的的内内部部函函数数处处处处解解虽虽然然在在除除去去 z但但此此区区域域已已不不是是单单连连通通域域(从而积分值不为零从而积分值不为零).观察上节例观察上节例5,Re)(xzzf 被被积积函函数数满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程,.dRe 与与路路线线有有关关此此时时积积分分值值zzc CzdzRe计算计算.),(积积分分与与路路径径有有关关因因而而 ,0,2)(|00izzdzRzzn 的整数的整数11 nn由于
3、不由于不因而在复平面内处处不解析因而在复平面内处处不解析,复积分与路径无关的条件可归结为研究沿复积分与路径无关的条件可归结为研究沿任一简单闭曲线积分为零的条件任一简单闭曲线积分为零的条件.1825年法国数年法国数学家柯西解决了这一问题学家柯西解决了这一问题,人们称之为人们称之为柯西积分柯西积分定理，定理，它是研究复变解析理论的基石它是研究复变解析理论的基石.由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可能可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.D CdzzfCDzfDzf.0)(:)(,)(的的积积分分为为零零内内的的任任何何一
4、一条条周周线线沿沿函函数数那那么么内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数C定理定理3.3(柯西积分定理柯西积分定理)1851年，黎曼在给定理附加年，黎曼在给定理附加“在在D内连续内连续”的条件下，的条件下，得到如下的简单证明得到如下的简单证明:)(zf,iyxz 令令黎曼证明：黎曼证明：),(),()(yxivyxuzf 在公式在公式 CCCudyvdxivdyudxdzzf)(内连续，内连续，在在由于由于Dzf)(在在从从而而yxyxvvuu,内内连连续续D条条件件：且且满满足足RC .,xyyxvuvu 中分别应用格林公式，中分别应用格林公式，Cvdyudx Cudyvd
5、x.0)(Cdzzf故故得得得：得：,0,0 dxdyyuxvD)(dxdyyvxuD)(发表了柯西积分定理发表了柯西积分定理年古萨年古萨)(1900Goursat新新的的证证明明方方法法，为为连连续续的的条条件件，证证明明中中免免去去了了)(zf 得得到到普普及及使使柯柯西西积积分分定定理理的的应应用用柯西积分定理柯西积分定理也称也称柯西柯西古萨基本定理古萨基本定理.4.3定理定理内内平平面面上上的的单单连连通通区区域域在在设设函函数数Dzzf)(，解析解析则则不不必必是是简简单单的的内内任任一一闭闭曲曲线线为为,)(DC.0)(Cdzzf(定理的古萨证明略定理的古萨证明略).证：证：而而成
6、成，内内的的有有限限多多条条周周线线连连接接是是区区域域设设DCCC,)3(以以及及柯柯西西积积分分定定理理由由复复积积分分的的基基本本性性质质.可可得得定定理理结结论论5.3推论推论内内平平面面上上的的单单连连通通区区域域在在设设函函数数Dzzf)(，解析解析，内积分与路径无关内积分与路径无关在在则则Dzf)(内内即即对对 D,10zz 与与任意两点任意两点 10)(zzdzzf，之值之值.10的曲线的曲线与终点与终点内连接起点内连接起点不依赖于不依赖于zzD证：证：的任意两条的任意两条与终点与终点内连接起点内连接起点是是与与设设1021zzDCC曲曲线线，内内一一条条衔衔接接成成的的负负向
7、向的的正正向向与与则则DCCC 221积分积分.C闭闭曲曲线线),3(4.3及复积分的基本性质及复积分的基本性质由定理由定理DD 0z1z 0z1z 1C2C1C2C有有 Cdzzf)(0 21)()(CCdzzfdzzf从而从而.)()(21 CCdzzfdzzf说明：说明：柯西积分定理及其推论柯西积分定理及其推论D在单连通域在单连通域,)(zf内解析的函数内解析的函数的的积积分分内内沿沿任任一一曲曲线线在在LD.)()(10与与路路径径无无关关有有关关终终点点只只与与其其起起点点zzdzzfL,110zzDzz 并并令令内内变变动动在在让让如如果果固固定定,内的一个单值函数内的一个单值函数
8、便可确定便可确定 D2.2.不定积分不定积分:称作变上限积分称作变上限积分 zzfzF0d)()()4.3(,)(内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数Dzf定理定理 3.6证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.D ,内内任任一一点点为为设设Dz z,KDz小圆小圆内的内的为中心作一含于为中心作一含于以以Kzzz 充充分分小小使使取取的的函函数数由由变变上上限限的的积积分分所所确确定定 d)()(0 zzfzF,内的一个解析函数内的一个解析函数必为必为 D.)()(zfzF 并并且且那末，那末，D zK,内内在在 Kzz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)(
9、由于积分与路线无关由于积分与路线无关,的的积积分分路路线线 d)(0 zzzf,zzz 沿沿直直线线到到然然后后从从 0z 这这一一段段注注意意:(,)(的的定定义义由由zF zzfzF0d)()(,0zz 到到可先取可先取,)d)(0的路线相同的路线相同与与 zzf )()(zFzzF于是于是,d)(zzzf zzzzf d)(因为因为 zzzzf d)(,)(zzf D zKzz 0z )()()(zfzzFzzF 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz D zKzz 0z ,)(内解析内解析在在因为因为Dzf,)(内内连连续续在在所所以以Dzf,0,0 故故z的一
10、切的一切使得满足使得满足 ,时时即即 z,)()(zff 由积分的估值性质由积分的估值性质,)()()(zfzzFzzF ,内内都在都在 K总有总有)()()(zfzzFzzF d)()(1zffzzzz ds|)()(|1zffzzzz .1 zz,0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于于是是).()(zfzF 并并且且 此定理与数学分析中的对变上限积分的求导此定理与数学分析中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕,)(解析解析故故zf，由由上上述述定定理理的的证证明明过过程程可可得得到到更更一一般般的的定定理理7.3定理定理设设；内内连连续续在在单单连连通通域域函函
11、数数Dzf)(零零内内任任一一周周线线的的积积分分值值为为沿沿区区域域 Ddf)(,),(积积分分与与路路径径无无关关从从而而则函数则函数 zzdfzF0)()(内内解解析析，在在 D.),(0Dzz)()(zfzF 且且)1()2(2.3定义定义内，内，在区域在区域 D符符合合条条件件)()(zfz .)()(数数的的一一个个不不定定积积分分或或原原函函为为的的函函数数zfz;)(d)()(0的的一一个个原原函函数数是是zffzFzz .)(一一个个常常数数的的任任何何两两个个原原函函数数相相差差zf显然显然；内解析内解析在在 Dz)(,)(连续连续如果函数如果函数zf则称则称定理定理3.8
12、.,)()(d)(,D)()(,)(100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末内内的的一一个个原原函函数数在在为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数DzzzzzzfzfzDzfzz 由原函数的定义，可得到类似于数学分析由原函数的定义，可得到类似于数学分析中的中的牛顿牛顿-莱布尼兹莱布尼兹公式公式)5.3(说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用与复变函数的积分就可以用与数学分析中类似的方法去计算数学分析中类似的方法去计算.例例1 1.dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)s
13、in(212 .sin212 (使用了分析学中的使用了分析学中的“凑微分凑微分”法法)例例2 2.dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin解解izzz0cossin .11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”1cossin iiiieeziziz2sin 2cosizizeez 12211 eeieei例例3 3.d1)1ln(,1 0Re,0Im 1的的值值求求内内的的圆圆弧弧试试沿沿区区域域 izzzzzz解解 ,1)1ln(在在所所设设区区域域内内解解析析函函数数 zz ,2)1(ln 2
14、 z它它的的一一个个原原函函数数为为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 例例4 4 iidzz)1ln(计计算算解解是单连通的，所以是单连通的，所以域域内解析，又所考虑的区内解析，又所考虑的区的区域的区域一段一段上上是在全平面除去负实轴是在全平面除去负实轴因为因为Dxz1)1ln(dzzzzzdzziiiiii 1|)1ln()1ln(dzziiiiii)111()1ln()1ln(iizziiii|)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()(2lniiiii iiii 11ln22
15、lniiiln22ln .222lniii 3.3.柯西积分定理的推广柯西积分定理的推广.3.3与与以以下下定定理理相相互互等等价价首首先先证证明明柯柯西西积积分分定定理理3.3 定理定理之内部，之内部，为为是一周线，是一周线，设设CDC)(zf函数函数上解析，上解析，在闭域在闭域CDD .0)(Cdzzf则则证：证：)1(的假设，的假设，由定理由定理3.3 平平面面上上一一含含必必在在函函数数zzf)(内解析，内解析，的单连通域的单连通域 GD;0)(Cdzzf3.33.3 推推证证定定理理由由定定理理有有于于是是由由定定理理3.3)2(:3.3的的假假设设由由定定理理内内在在单单连连通通区
16、区域域“函函数数Dzf)(，解析解析,”内任一周线内任一周线为为 DC之之内内部部，则则为为今今设设CG,)(上上解解析析必必在在闭闭域域CGGzf 就就有有于于是是由由定定理理3.3 .0)(Cdzzf更更具具一一般般性性，下下面面的的定定理理比比定定理理3.3 它它是是柯柯西西积积分分.定理的进一步推广定理的进一步推广3.33.3推推证证定定理理由由定定理理 9.3定理定理之之内内部部，为为是是一一条条周周线线，设设CDC函数函数内内解解析析，在在 Dzf)(上连续上连续在在CDD ,)”“连连续续到到 C则则.0)(Cdzzf连续，连续，沿沿由于由于Czf)(.)(存存在在所所以以积积分
17、分 Cdzzf，逼逼近近的的内内部部作作周周线线在在CCC知知由由定定理理3.3 ,0)(Cdzzf Cdzzf)(从而从而也也可可以以说说(.)(Cdzzf4.4.柯西积分定理推广到复周线的情形柯西积分定理推广到复周线的情形 现将柯西积分定理推广到多连域中现将柯西积分定理推广到多连域中.即将柯西积即将柯西积分定理从以单分定理从以单(一个一个)周线为边界的有界单连通区域，周线为边界的有界单连通区域，推广到以多条周线组成的推广到以多条周线组成的“复周线复周线”为边界的有界多为边界的有界多连通区域连通区域.定义定义3.3,1210nCCCCn条周线条周线设有设有,1C其其中中，的的外外部部中中每每
18、一一条条都都在在其其余余各各条条nCC 2.0的的内内部部又又全全都都在在C而它们而它们,10CC 的的内内部部同同时时又又在在在在连连通通界界的的外外部部的的点点集集构构成成一一个个有有1,2 nCCn，区域区域 D此时，此时，的边界是一条的边界是一条称区域称区域 D:复周线复周线 nCCCCC210为为逆逆时时针针方方向向，其其中中0C.2的情形的情形右图是右图是 n.210为为它它的的边边界界，以以nCCCC,21为为顺顺时时针针方方向向 nCCCD0C1C2C定理定理3.10所所围围是是由由复复周周线线设设 nCCCCD10,1连连通通区区域域成成的的有有界界 n,)(内内解解析析在在
19、函函数数Dzf在在,上连续上连续CDD 则则,0)(Czf或写成或写成,0)()()(10 nCCCdzzfdzzfdzzf)6.3(或或.)()()(10 nCCCdzzfdzzfdzzf)7.3(证明：证明：)2(情形证明情形证明取取 n内取三条互不相交内取三条互不相交在在 D,321作为割线作为割线的光滑弧段的光滑弧段LLL,0C用用它它们们依依次次将将 ,21DCC连接起来从而将区域连接起来从而将区域D0C1C2C割破，割破，1L2L3L就被分成两个单就被分成两个单于是于是 D连通区域，连通区域，其边界各是一条周线，其边界各是一条周线，,21 和和分分别别记记作作1 2 知知由定理由定
20、理 9.3 1,0)(dzzf 2,0)(dzzf将上述两等式相加，将上述两等式相加，的积分在的积分在注意到沿注意到沿,321LLL一次，一次，相反的两个方向各取了相反的两个方向各取了.相加过程中相互抵消相加过程中相互抵消于是，由复积分的基本性质于是，由复积分的基本性质(3)可得到可得到.0)(Czf从而有从而有,0)()()(10 nCCCdzzfdzzfdzzf)6.3(.)()()(10 nCCCdzzfdzzfdzzf)7.3(或或定理定理 3.10也称也称复合闭路定理复合闭路定理.有有时时若若,1 n.)()(10 CCdzzfdzzf 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,
21、不因闭曲线在区不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值域内作连续变形而改变它的值.注意注意:在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z)的不解析的点的不解析的点.闭路变形原理闭路变形原理这一重要事实，称作这一重要事实，称作.)()()(10 nCCCdzzfdzzfdzzfD0C1C2C)2(n0C1CD0C)1(n例例5 5.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz ,21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因为为 izizz根据柯西积分定理得根据柯西积分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz,11211 iziz
22、z 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221.i 例例6 6解解.1 ,d12 2曲曲线线在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭为为包包含含圆圆周周计计算算积积分分 zzzzz 在在复复平平面面因因为为函函数数 12 2zzz 依题意知依题意知,xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点，内有两个奇点内有两个奇点,1 0 zz和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1,0 1 zC 只包含奇点只包含奇点,1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i ,21CC 和和 从上述两例可知，借助于复合闭路定理，一些比从上述两例可知，借助于复合闭路定理，一些比较复杂函数的积分可以转化为比较简单函数的积分来较复杂函数的积分可以转化为比较简单函数的积分来计算计算.这是计算复积分常用的一种方法这是计算复积分常用的一种方法.作业作业:.142P.5,)4()2(.4
