1、第二章 一阶微分方程的初等解法()()dyfxydx 微分方程的一个中心问题是“求解”。但是，微分方程的求解问题通常并不是容易解决的。本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。一般的一阶方程是没有初等解法的，本章的任务就在于介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分。2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换yxyedxdy122yxdxdy先看例子：xyeye定义1形如)1.2()()(yxfdxdy方程,称为变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFd
2、xdy一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2.2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由cxy)1.2()()(yxfdxdy两边积分得02写成将时当)1.2(,0)(y例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分离变量:两边积分:例例1 求解方程 yxdydx可以变化为：，解解xdxydy两边积分，即得 ，22222cxy因而，通解为 .cyx22.,)2.2(,)1.2(,0)(,000必须予以补上的通
3、解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在yyyy注:例例2.0,0,)()(yxbyaxdxcydxdy解解 方程可变量分离为,)()(dybyadxdxc积分得,lnlnkbyyadxxc这里 为任意 k常数，上式可化为,keyexbyadxc其中 .因kek 方程还有特解 .并考虑到条件 0y,0,0yx于是方程的通解为,keyexbyadxc这里0k为任意常数.时，0t,)0(,)0(00yyxx代如得,0000byadxceyexk即解为,0000dxcbyabyadxcexeyeyex或写成.1)()()(0)(000yybaxxdceyyexx 如果考虑方程的满足初值条件的解，可将
4、初值条件例例3 3 求解人口增长的Logistic模型解解 同样可以应用变量分离方法并对分式分解化为两边积分之，得其中 为任意常数.化简之00d(1),(),()0dmNNrNN tNN ttNdddd()mmmNNNNr tNN NNNNlnln()mrtcNNN()1rt cmmNNNeNN1mrtNNcec（续）其中 将初始条件 t=t0时N=N0 代入得 最后得解00d(1),(),()0dmNNrNN tNN ttN1mrtNNcecce001rtmNceN0()011mr t tmNNNeN练习1求微分方程)101(yydxdy的所有解.解:再积分方程两边同除以),101(yy1(
5、1)10dydxcyy积分得:110lncxyy得再将常数记为从上式中解出,cy,110 xcey.0c,100,0)101(yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为:,110为任常数cceyx.0y和110lncxyy解:分离变量后得dxxdyy123两边积分得:121ln2cxy整理后得通解为:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231无意义在由于函数其中xxyecc.00之一中有意义或故此解只在xx.,0应补上这个解未包含在通解中此外还有解 y223ydxdyx求微分方程的通解.例4求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解:将变量分离后得dxxp
6、ydy)(两边积分得:1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0,0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为1)(cdxxpey练习.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分离时当,0yxdxydycos2两边积分得:,sin1cxy因而通解为:,sin1cxy.为任意常数其中c.,0得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy 再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为:.sin111sin
7、1xxy 初等积分法是微分方程求解的最基本方法，也初等积分法是微分方程求解的最基本方法，也是求解其他微分方程的基础。变量分离方程总可以是求解其他微分方程的基础。变量分离方程总可以利用积分法求出未知函数，但方程的形式并不局限利用积分法求出未知函数，但方程的形式并不局限于变量分离形式。于变量分离形式。对绝大部分可求解的微分方程其形式表面上看对绝大部分可求解的微分方程其形式表面上看并不符合变量分离形式特征，因此将其他形式方程并不符合变量分离形式特征，因此将其他形式方程转化为变量分离形式成为求解更多微分方程的重要转化为变量分离形式成为求解更多微分方程的重要手段。手段。下面介绍几种通过一次或几次变量变换
8、可以转化下面介绍几种通过一次或几次变量变换可以转化为变量分离形式的方程为变量分离形式的方程二、可化为变量分离方程类型二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程）齐次方程.,)(222111222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII()ygdydxx(I)形如)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10 xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原例例5求解方程.tanxyxydxdu解解这是齐次微分方程，以uxy及udxdux
9、dxdy代入，则原方程变为,tanuuudxdux即.tanxudxdu将上式变量分离，有,cotxdxudu 两边积分有,lnsinlncxu令,cec得到.sincxu 代入原来的变量，得到原来方程的通解为.sincxxy例6求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,0)ln(,)(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为,0)ln(,00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2练习求下面初值问题的解0)1
10、(,)(22yxdydxyxy解:方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux将变量分离后得xdxudu21两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1.1,0)1(cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为)1(212xyxdxudu21(II)形如,222111cybxacybxadxdy.,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.的情形0
11、22121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且21212103ccbbaa1112220,021a xb yca xb ycLL 则,(,)(0,0).xy 代表平面两条相交的直线解以上方程组得交点作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.xyXY1L2L(,)解的步骤:,0012221110cybxacybxa解
12、方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu 求解04变量还原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程组0301yxyx,2,1yx得代入方程得令2,1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11将变量分离后得XdXuduu21)1(两边积分得:cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2()1(ln12arctan22cyxxy注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXd
13、Ycybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu则代入方程并整理得0)(1()1(udxxduudxuu即0)1(22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为.ln1cyx
14、xy应用举例：电容器的充电和放电及探照灯反射镜面的形状例例6 6 电容器的充电和放电解解 电流I 经过电阻R、电感L、电容C 的电压降分别为 RI、L dI/dt 和 Q/C，其中 Q为电量，它与电流的关系为 I=dQ/dt。根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零.（续）电容器的充电方程 充电过程：代入得常微分方程 变量分离 两边积分 还有解 uC=E .故 c2为任意常数.方程的通解为CuR IEddd,()dddCCCuQQCuICuCtttddCCuRCuEtddCCutuERC 11n lCuEtcRC 1112ttcRCRCCuEe
15、ec e 12tRCCuEc e（续）电容器的充电过程考虑初始条件 t=0 时 uc=0，代入得c2=-E.即充电过程为当t 时 ucE.=RC称为时间常数，当 t=3 时uc=0.95E.电容器的放电过程类似。可作为练习。1(1)tRCCuEe12tRCCuEc e*例例7 7 探照灯反射镜面的形状解 曲面为曲线绕 x轴旋转而成.反射定律：入射角=反射角 即 得 而 于是有 此为齐次方程()0yf xz12OMON2dtandyMPxNP22,OPxMPyOMxy22ddyyxxxy（续）探照灯反射镜面方程 齐次方程,可令 解之.亦可令 解之，此时 代入得 两边积分，最后化简得 是一抛物线.反射镜面的形状为旋转抛物面22ddyyxxxyyuxxvy2222d(sgn)1sgn1dxxyvxxvyyvyvyyyydd,ddxvxvyvyyy2ddsgn1yvyyv2(2)yc cx22(2)yzc cx
