1、 实际问题中,有许多表示“导数”的常用词，如“速率”、“增长”（生物学以及人口问题）、“衰变”（放射性问题）、“边际的”（经济学中）等，这些词就是信号，这时就要注意是哪些研究对象在变化，不少问题符合模式：变化变化率率=输入率输入率-输出率输出率，对这些规律可以考虑建立微分方程模型。方法：方法：规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质.微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式.近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的方法建立微分方程模型.定义：一般的凡表示
2、未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.形式：常用导数关系：22dsdvd sv aadtdtdt；增量的导数增量的变化率0022x=x0 x=x0d yf x,y,ydxy|y y|=y，0 x=x0dyf x,ydxy|y ，一阶常微分方程的初等解法 变量分离方程m(1)若g(y)0,则将方程中变量分离出来，然后两边积分 C为任意常数.m(2)若存在y=y0,使g(y0)=0,则y=y0也是方程的解,但不在内.一阶线性微分方程m若Q(x)0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 Bernoulli(伯努利)方程 n0,1的常数m该方程化为一阶线性微分方程求
3、解.m(1)显然y=0是方程的解，当y0时，令z=y1-n,有 从而可得 m(2)方程是一阶线性微分方程，通解为当n0时，有特解y=0.)()(ygxfdxdyCdxxfygdy)()()()()(xQyfxPdxdy)()()()(CdxexQexydxxPdxxPnyxQyxPdxdy)()(dxdyyndxdzn)1()()1()()1(xQnzxPndxdz 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自自变量变量)符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的字母为因变量，自变量
4、可以指定或由系统规则选定为确省。例如，微分方程应表达为:D2y=0.022dxyd例1 求 的通解.21 udtdu 解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t)执行结果：ans=tan(t+C1)例例2解解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)执行结果：y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)例2 求微分方程的特解.15)0(,0)0(029422yyydxdydxyd例3 求微分方程组的通解zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332例例3解解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3
5、*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；执行结果：x=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)y=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z=C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 微分方程的数值解微分方程的数值解 在MATLAB中命令如下：t,x=solver(f,ts,x0,options)（当求不出微分方程的解析解时，可以求其数值解）。符号说明：t为自变量；x为函数值；solver为求解函数，一共有5个，分别为ode45、ode23、ode113、ode15s和ode23s；f为待解方程写成的m-文件名；ts=
6、t0,t1，t0、t1为自变量的初值和终值；x0为函数的初值；options为选项，用于设定误差限（缺省时设定相对误差10-3，绝对误差10-6），命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at)，其中rt,at分别为设定的相对误差和绝对误差。注意两点：注意两点：（1）在解n个未知函数的方程组时，n0和x均为n维向量，M-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成。（2）使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。用用MATLAB软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode
7、45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2或3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4或5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.例例 4 0)0(;2)0(0)1(1000222xxxdtdxxdtxd 解解:令 y1=x，y2=x则微分方程变为一阶微分方程组：0)0(,2)0()1(1
8、000211221221yyyyyyyy 1、建立m-文件vdp1000.m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图所示：即得x与t 的关系.050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52 例例 5 解微分方程组.1)0(,1)0(,0)0(51.0321213312321
9、yyyyyyyyyyyy 解解 1、建立m-文件rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),b-,T,Y(:,2),g*,T,Y(:,3),r+)3、结果如图:y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810 0、问题描述
10、、问题描述 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要问题。无论从健康角度还是从审美角度，人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服装、减肥药和名目繁多的健美中心，让人目不暇接，不知所措，上当受骗者也不在少数.以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重，如何对待减肥是我们一定要正确对待的问题，于是了解减肥的机理成为减肥的关键。此外，对于从事某些体育项目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说，在比赛前也有都一个正确减肥的问题。1.1.问题分析问题分析在我们日常生
11、活中，胖人越来越多。肥胖已成为影响人类健康的头号杀手，减肥已经提上日程，组成了人们生活中的一部分。减多少，怎样减，是我们这次解决的问题。要求：根据实际问题，建立一个合理的数学模型来科学的减肥。2.问题分析问题分析 减肥最主要的是减去人体内冗余的能量，能量最主要是由糖类、蛋白质和脂肪转化而来的。运动减肥的原理是利用运动需要消耗大量的能量来减掉人体内多余的能量。如果我们每天吸收的能量超过消耗的能量，则我们的体重会增加，达不到减肥的目的。如果我们每天吸收的能量等于消耗的能量，我们的体重基本就不会变化。如果我们每天吸收的能量小于消耗的能量，我们的体重就会减少，也即求得问题的解决。为了消耗体内多余的脂肪
12、，就得每天进行足够的体育锻炼。下面是一个在相当简化的层次下用微分方程建立的数学模型 3.模型假设模型假设 1.设某人每天从食物中摄取的热量是a(J)。其中b(J)是用于新陈代谢（即自动消耗）的热量，而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗(J)的热量，从事体育锻炼每千克体重消耗(J)的热量.2.某人以脂肪形式储存的热量是百分之百有效的，即热量和脂肪之间可以自由的无损耗的转换.而1kg的脂肪含热量42000J.3.设体重w是时间t的连续函数，即ww(t)，忽略个体的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响.4.符号说明符号说明 a-某人每天在食物中摄取的热量 b-某人每天用于新陈代谢（及自动消耗
13、）的热量-某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量-某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w-体重(单位：千克)w0-体重的初始值 t-时间（单位：天）5.模型建立模型建立每天：体重的变化=输入-输出输入：指扣除新陈代谢之外的净吸收热量输出：指进行工作、生活、体育锻炼的总消耗热量于是 每天净吸收量=(a-b)/42000 (kg)每天总消耗量=(+)w/42000 (kg)所以在t到t+t时间内体重的变化为由此体重变化的微分方程模型：6.模型求解模型求解应用分离变量法或MATLAB软件解得0,)()1(42000)()(000twtwwbadtdw42000)(0)(tewbabaw
14、twbatwttw 4200042000)()()(7.模型分析与检验模型分析与检验 由方程（1），根据一阶导数与单调性的关系，可对减肥分析如下：1.若 ，则净吸收量大于总消耗量，则体重增加.2.若 ，则净吸收量小于总消耗量，则体重减小.3.若 ，则净吸收量小于总消耗量，则体重不变.4.当 时，.wba)(wba)(wba)(t0dtdw0dtdwbaw0dtdw8.模型推广模型推广 从我们建立的模型可以表明：只有适当的控制a(进食)、b(新陈代谢)、(工作、生活)，(体育锻炼)，要使体重保持正常值是可能的，而且从数学上看 衰减的很快，一般在有限的时间内（例如3-4个月）体重近似值等于 ，因此
15、要减肥就要减少a(进食)、增加b(新陈代谢)、(工作、生活)，(体育锻炼)。市场上某些减肥药可能在 b(新陈代谢)上做文章，从而具有某种速效，但人的新陈代谢不能违反人的生理规律，所以某些强制性的大幅度改变人的新陈代谢的药物会给人体造成不良后果，正确减肥策略是养成良好的饮食、工作、生活和锻炼的习惯，即适当控制a和+。当然，对于不少肥胖者和运动员来说，研究不新陈代谢的药物是有必要的。42000)(teba 9.模型评价模型评价 本模型通过对减肥的分析，从某一方面解决了减肥的问题。其优点在于运用生理学知识和数学知识得出了科学减肥的公式。其不足之处：我们考虑了太多的常量，和实际的情况还有很大的距离，另
16、外，我们建立的模型有点简单，只是对减肥模型的一个粗略框架。五、人口增长数学模型五、人口增长数学模型 问题描述问题描述 目前，人类生存面临五大问题：人口问题、工业化的资金问题、粮食问题、资源问题和环境污染问题。其中人口问题为首要问题，主要是人口增长过快，尤其是20世纪70年代到80年代，增加10亿人口仅仅用了12年。有人预计到21世纪中叶，人类将超过100亿。地球上可供人类利用的资源是十分有限的，世界人口的迅速膨胀，尤其是发展中国家过高的人口增长率成为十分严峻的问题。面临这样的现实问题，人类必须进行自我控制，即采取必要的措施抑制过快的人口增长率。而影响人口增长的因素有哪些？其中人口的基数、出生率
17、和死亡率的高低、人口男女比例大小、人口年龄组成情况、工农业生产水平的高低、营养条件、医疗水平、人口素质和环境污染等诸因素都影响人口增长。另外，各民族的风俗习惯、传统观念、自然灾害、战争和人口迁移等也与人口增长密切相关。试建立一数学模型，对某一国或世界人口做出增长预测和控制，为正确的人口政策提供科学的依据。Malthus（马尔萨斯）模型（马尔萨斯）模型 模型假设模型假设(1)人口增长与人口基数有关；(2)人口增长与人口的增长率有关；(3)其余因素暂不考虑.符号说明符号说明 N(t)表示t时刻人口总数；r(t,N(t)表示t时刻人口增长率，它与时间t和t时刻的人口总数N(t)有关，在Malthus
18、 模型中设为常数r.模型建立模型建立则在t到t+t这段时间内人口总数增长为 N(t+t)-N(t)=rt,N(t)N(t)t两端同除以t，并令t0，则有(1)令(1)式中rt,N(t)=r(常数)得出，即 (2)模型求解模型求解 对式(2)进行求解，其解为 (3)式(3)是一个指数方程，称为Malthus 人口模型，即人口以er为公比，按几何级数增加。r0时，式(3)表示人口按指数规律无限增长，故又称为指数增长模型。)()(,)(tNtNtrdttdN00)()()(NtNtrNdttdNtt)(00)(ttreNtN 模型分析模型分析 根据估计1961年全世界人口总数为3.06109，而在此
19、之前的10年人口按每年2%的速率增长。因此 t0=1961,N0=3.06109,r=0.02于是 N(t)=3.06109 e0.02(t-1960)（4）公式（4）非常准确的地反映了1700-1994年间世界估计人口总数。因此在这期间地球上的人口大约每隔35年增长一倍，而上述方程断定每隔34.6年增加一倍。证明：假设在T=t-t0时间段内地球上的人口增加一倍，即 当t=t0时，N0=3.06109 e0.02(t-1960)=3.06109.当T=t-t0时，2 N0=3.06109 e0.02T.两式相除，得e0.02T=2两端取自然对数，得0.02T=ln2，即T=50ln235(年)
20、。模型检验模型检验 下面再检验Malthus 人口模型是否符合未来的实际情况。由式（4）可以计算出到2510年世界人口总数将是21014人（如果全世界所有陆地、海洋面积均算在内的话，每人平均仅有0.864m2）。到2635年为1.81014人（每人平均仅有0.093m2）.而到到2670年为3.61014人（每人平均仅有0.046m2）.模型评价模型评价 显然，这些数字充分说明Malthus 人口模型用于长期预测世界人口总数是不正确的。究其原因会发现，只要人口总数不太大时，人口总数增长的线性数学模型(Malthus 模型)是正确的，但当人口总数非常大时，地球上各种资源、坏境条件等因素对人口增长
21、的限制作用将越来越显著。若当人口总数较小时，人口增长率可以看做常数，那么当人口增加到一定数量后，这个增长率要随人口增加而减小。Logistic(逻辑斯蒂逻辑斯蒂)模型模型 模型假设模型假设(1)人口增长与人口基数有关；(2)人口的增长率随着人口增加而减小；(3)其余因素暂不考虑.符号说明符号说明 r表示人口的增长率;K表示生命系数；N(t)表示t时刻人口总数；-KN2(t)表示人口的增长率随着人口增加而减小的幅度，敏感系数K体现了环境抑制作用，但Kr；Nm表示环境容量.模型建立模型建立 在微分方程式(2)的右端加上一项-KN2，表示人口增长率随人口的增加而减小。此时式(2)变为(5)式(5)称
22、为Logistic 模型.模型求解模型求解 由于该模型考虑了自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用也越来越大，所以该模型又称为阻滞增长模型。它是一种伯努利(Bernoulli)方程，其解为 (6)020NtNtKNtrNdttdNtt)()()()(rterKNrKtN011)(模型分析模型分析对于式(6)进行分析研究，可以得出人口总数具有如下规律：(1)当t是，N(t)r/K。即结论是不管其初值如何，人口总数最终将趋向于一极限值r/K。(2)当0N(t)0)和a(a0)表示美军和日军战斗有效系数；(3)u(t)和v(t)表示美军和日军第t天的增援人数，
23、由题知v(t)=0.模型建立模型建立 由假设及初始条件有 (1)美军战地记录给出增援率u(t)为 (2)21500)0(,0)0()()()()()(JAtbAdttdJtutaJdttdA 其它,065,1300032,600010,54000ttttu 模型求解模型求解 可由每天伤亡记录得到实际兵力A(t)，t=1,2,36。(见图1中虚线)下面利用这些实际数据代入式(1)，算出A(t)的理论值，并与实际值比较。对方程式(3)用求和代替积分可得 (3)(4)为估计b，在式(4)中，t=36，由A(t)的实际数据得 .由J(36)=0，J(0)=21500估计出 =0.0106。再把这个值代
24、入式(4)即可算出J(t)，t=1,2,3,36。然后从式(3)估计a，令t=36，得 (5)ttuJaAtA11)()()0()(tAbJtJ1)()0()(2037000)(361A203700021500b361361)()36()(JAua 其中分子是美军的总伤亡人数，为20265人，分母可由(4)式算出的J(t)得到，为372500人，于是从式(5)有 。把这个值代入式(3)得 (6)模型检验模型检验 由式(6)就能够算出美军人数A(t)的理论图1，图1中用实线画出。与虚线表示的实际值相比，可以看出两者吻合的情况。模型评价模型评价 J.H.Engel用第二次世界大战末 期美日硫磺岛战
25、役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果和实际数据吻合得很好，说明Lanchester 模型具有一定的合理性。a 20 265372 50000544,.ttuJtA11)()(0544.0)(理论值实际值图1 美军兵力实际数据与理论结果的比较t 4 8 12 16 20 24 28 32 3670000A(t)6600050000540005800062000 说明：硫磺岛战役案例的数学模型依据Lanchester(兰彻斯特)战斗模型，Lanchester战斗模型分为正规战争模型、游击战争模型和混合战争模型，都是微分方程组模型。同学们仔细阅读350页11.4节Lanches
26、ter战斗模型。也可在其它建模书籍和网上查找一些有关用微分方程(组)方法建立模型的例子。作业:(word格式,通过电邮提交)练习题：P306习题6，题8；第三次建模作业第三次建模作业:1、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5 v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？2、参照P305表10-2中17901980年美国人口的观察值，其中初始时刻1790年记为t=0，N(t)表示观察值，(1)试用指数增长模型（即Malthus模型），按三段时间(1800-1850年，18601900年，19101970年)分别确定其增长率r.(2)利用阻滞增长模型(即Logistic模型)，重新确定固有的增长率r和最大容量Nm作图，并分析计算结果误差，再利用该模型预测1990年人口数。
