1、4.4数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考4.4数数系系的的扩扩充充与与复复数数的的引引入入双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考1复数的有关概念复数的有关概念内容内容意义意义备注备注复数的概念复数的概念形如形如_的数的数叫复数，其中实部为叫复数，其中实部为_，虚，虚部为部为_若若_，则，则abi为实为实数，若数，若_，则则abi为纯虚数为纯虚数复数相等复数相等abicdi_(a、b、c、dR)共轭复数共轭复数abi与与cdi共轭共轭_复平面复平面建立平面直角坐标系来表示复建立平面直角坐标系来表示
2、复数的平面，叫作复平面，数的平面，叫作复平面，x轴轴叫叫_，y轴叫轴叫_实轴上的点都表示实数；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数都表示纯虚数复数的模复数的模向量向量 的模的模r叫作复数叫作复数zabi的模的模|z|abi|_abi(a，bR)abb0a0且且b0ac且且bd实轴实轴虚轴虚轴思考感悟思考感悟任意两个复数都能比较大小吗？任意两个复数都能比较大小吗？提示：提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小比较大小Z(a，b)3复数的运算复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法
3、则设设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则，则加法：加法：z1z2(abi)(cdi)_减法：减法：z1z2(abi)(cdi)_乘法：乘法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)iz2z1z1(z2z3)(3)乘法的运算律乘法的运算律z1z2_(交换律交换律)，(z1z2)z3_(结合律结合律)，z1(z2z3)_(乘法对加法的分配乘法对加法的分配律律)(4)正整数指数幂的运算律正整数指数幂的运算律zmzn_，(zm)n_，(z1z2)n_(m，nN)z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3zmnzmnz1nz2n1(2010年高
4、考北京卷年高考北京卷)在复平面内，复数在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为对应的点分别为A，B.若若C为线段为线段AB的中的中点，则点点，则点C对应的复数是对应的复数是()A48iB82iC24i D4i答案：答案：C课前热身课前热身2i是虚数单位，是虚数单位，i(1i)等于等于()A1i B1iC1i D1i答案：答案：D答案：答案：A4(教材习题改编教材习题改编)已知已知z12i，z2abi(a，bR)，且，且z1z21，则，则z2的共轭复数对应的点位的共轭复数对应的点位于第于第_象限象限答案：四答案：四考点探究考点探究挑战高考挑战高考复数的概念复数的概念复数的概念在考试中常出现的
5、类型有：复数的概念在考试中常出现的类型有：(1)复数概复数概念的辨析；念的辨析；(2)复数的有关分类；复数的有关分类；(3)复数相等条件复数相等条件的应用；的应用；(4)复数与复平面的对应关系对于具体复数与复平面的对应关系对于具体题目可结合选项一一分析作答题目可结合选项一一分析作答【答案【答案】(1)20(2)D(3)A(2)在复平面内，实数全部落在实轴即在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均轴上，而其他复数均在四个象限内在第一象限在四个象限内在第一象限a0，b0；第二象限；第二象限a0；第三象限；第三象限a0，b0，b
6、0.变式训练变式训练1当实数当实数m为何值时，为何值时，zlg(m22m2)(m23m2)i，(1)为纯虚数；为纯虚数；(2)为实数；为实数；(3)对应的点在复平面对应的点在复平面内的第二象限内？内的第二象限内？复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算化为复数的乘法运算复数的代数运算复数的代数运算【思路点拨【思路点拨】运用复数的四则运算法则求解运用复数的四则运算法则求解【答案【答案】(1)2i(2)A【方法总结【方法总结】复数的四则运算类似于多项
7、式的复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类的看作一类同类项，不含项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，的看作另一类同类项，分别合并即可，将结果写成将结果写成abi的形式的形式结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活科内的融合，而且解题方法更灵活复数运算的几何意义复数运算的几何意义 已知复数已知复数z满足满足|z|1，求，求|z(1i)|的最的最大值与最小值大值与最小值【思路点
8、拨【思路点拨】|z|1复数复数z对应的点是以原点对应的点是以原点为圆心，为圆心，1为半径的圆上的点为半径的圆上的点所求即为圆上的所求即为圆上的点到点点到点(1,1)的距离的最大值、最小值的距离的最大值、最小值【规律小结【规律小结】(1)复数点与向量的对应关系；复数点与向量的对应关系；(2)|z|表示复数表示复数z对应的点与原点的距离对应的点与原点的距离(3)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数表示两点间的距离，即表示复数z1与与z2对应点间的距离对应点间的距离变式训练变式训练3实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数与复数212i相等；相等；
9、(2)与复数与复数1216i互为共轭复数；互为共轭复数；(3)对应的点在对应的点在x轴上方；轴上方；(4)对应的点在直线对应的点在直线xy50上上方法技巧方法技巧1对于复数对于复数zabi(a，bR)必须强调必须强调a，b均均为实数，方可得出实部为为实数，方可得出实部为a，虚部为，虚部为b.(如例如例1)2复数复数zabi(a，bR)是由它们的实部和虚是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认，既要从整体的角度
10、去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识的角度分解成两部分去认识(如例如例3)方法感悟方法感悟3复数问题实数化是解决复数问题最基本的也复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的主要依据就是复是最重要的思想方法，其转化的主要依据就是复数相等的充要条件基本思路是：设出复数的代数相等的充要条件基本思路是：设出复数的代数形式数形式zabi(a，bR)，由复数相等可以得，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量根据复数相等一般可解决如
11、两个独立的基本量根据复数相等一般可解决如下问题：下问题：解复数方程；解复数方程；方程有解时系数的值；方程有解时系数的值；求轨迹方程问题求轨迹方程问题(如例如例3)4复数代数形式的运算是复数部分的重点，其复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同合并同类项类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意乘法运算中要注意i的幂的性质，区分的幂的性质，区分(abi)2a22abib2(a，bR)与与(ab
12、)2a22abb2；在除法运算中，关键是在除法运算中，关键是“分母实数化分母实数化”(分子、分分子、分母同乘以分母的共轭复数母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2(a，bR)与与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误造成计算失误(如例如例2)1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量在复数的几何意义中，加法和减法对应向量
13、的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合和加法、减法相结合失误防范失误防范4对于两个复数，若不全是实数，则不能比较对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分等与不等之分5数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等偶次方非负等考向瞭望
14、考向瞭望把脉高考把脉高考复数是每年必考的知识点之一，考查重点是复数复数是每年必考的知识点之一，考查重点是复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数形式的运算每套高考试卷都有一道小题，并且形式的运算每套高考试卷都有一道小题，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数加减、乘除四则运算理解以及复数加减、乘除四则运算预测预测2012年高考仍将以复数的基本概念以及复数年高考仍将以复数的基本概念以及复数代数运算为主要考点，重点考查运算能力及转化代数运算为主要考点，重点考查运算能力及转化与化归思想与化归思想真题透析真题透析【答案【答案】A【名师点评【名师点评】(1)本题易失误的是：本题易失误的是：对复数的对复数的除法，乘方法则掌握不清，不会运算，导致求错除法，乘方法则掌握不清，不会运算，导致求错z；不知道是什么符号，导致无从下手；不知道是什么符号，导致无从下手；没没有审清题意，化简完，发现没有选项，再重新算有审清题意，化简完，发现没有选项，再重新算起费工费时起费工费时名师预测名师预测3若复数若复数(1ai)2(i为虚数单位，为虚数单位，aR)是纯虚数，是纯虚数，则复数则复数1ai的模是的模是_4复数复数z052i(i为虚数单位为虚数单位)，复数，复数z满足满足zz05zz0，则，则z_.
