1、 第5章 差分方程5.1.1差分差分 微分方程是自变量连续取值的问题微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问但在很多实际问题中题中,有些变量不是连续取值的有些变量不是连续取值的.例如例如,经济变量收入、储经济变量收入、储蓄等都是时间序列蓄等都是时间序列,自变量自变量 t 取值为取值为0,1,2,数学上把这数学上把这种变量称为离散型变量种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度量的变化速度.)()1(1tftfyyyttt 1.差分的定义差分的定义定义定义5.1.1 设函数设函数(),0,1,2,.tyf ttn我们称我们称为函数为函数的的一
2、阶差分一阶差分；ty一、一、差分方程的基本概念差分方程的基本概念 称称2()ttyy 1ttyy 211()()ttttyyyy 212tttyyy为函数为函数ty的的二阶差分二阶差分.为为三阶差分三阶差分.同样，称同样，称32()ttyy )(1tntnyy 依此类推，函数的依此类推，函数的 n 阶差分定义为：阶差分定义为：且有且有二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分.)1(0niintiintnyCyCba,ttzy,1()0;C 2()();ttCyCy 3()()();ttttaybzaybz 114();tttttttttty zzyyzyzzy 11
3、115.ttttttttttttttyzyyzzyyzzz zz z性质性质5.1.1 当当 是常数，是常数，是函数时，是函数时，有以下结论成立：有以下结论成立：例例1 求求22(1)tt 21,t2()tyt 222()()tyt ()ty (21)t 2(1)1(21)tt2,32()()ttyy (2)220.22232(),(),().ttt 2,tyt 则则解解 设设(01),ttyaa ).(ty 例例2 设设求求解解 1()tttyaa(1).ta a 有某种商品有某种商品 t 时期的供给量时期的供给量St与需求与需求量量Dt都是这一时期价格都是这一时期价格Pt 的线性函数：的线
4、性函数：5.1.2 5.1.2 差分方程差分方程一个例子：一个例子：)0,(,)0,(dcdPcDbabPaStttt设设 t 时期的价格时期的价格Pt由由 t 1时期的价格时期的价格 与供给量与供给量及需求量之差及需求量之差 按如下关系确定按如下关系确定.1 tP11 ttDS)(111 ttttDSPP（为常数），为常数），)()(1 1caPdbPtt 即即 这样的方程就是这样的方程就是差分方程差分方程.定义定义5.1.2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值含有未知函数差分或未知函数几个时期值的的方程就称为方程就称为差分方程差分方程.例如例如1(,)0,ttt nF x yyy (,)
5、0.ntttG x yyy 差分方程的不同形式之间可以相互转化差分方程的不同形式之间可以相互转化.差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差数称为差分方程的阶差分方程的阶.5.1.2 差分方程差分方程是一个二阶差分方程，是一个二阶差分方程，如果将原方程的左边写为如果将原方程的左边写为则原方程还可化为则原方程还可化为例如，例如，可以化为可以化为2123ttttyyy 21223.ttttyyy 2111()()ttttttyyyyyy 2,ty 23.tty又如：又如：,3212ttttyyy 可化为可化为 ,32221 ttttyyy.3
6、22tttyy 定义定义5.1.3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边如果一个函数代入差分方程后，方程两边其中其中A为任意常数为任意常数.恒等，则称此函数为差分方程的恒等，则称此函数为差分方程的解解.122ttytAyy 例：是差分方程的解，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件初始条件.满足初始条件的解称之为满足初始条件的解称之为特解特解.如果差分如果差分方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数
7、，则称它为差分方程的分方程的阶数，则称它为差分方程的通解通解.1212ttytyy 例如，是差分方程的特解，122ttytAyy 是差分方程的通解，其中其中A为任意常数为任意常数.1()ttyayf t ，0a ()f t()0f t 10ttyay (0)a ()0,f t (3)为常数，为常数，为已知函数为已知函数.时，称方程时，称方程(4)则则(3)称为称为一阶常系数非齐次线性一阶常系数非齐次线性一阶常系数线性差分方程的一般形式为一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中其中当当为为一阶常系数齐次线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程.若若差分方程差分方程.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线
8、性差分方程1111()t nt nntntya yaya yf x 12,na aa()0f t ()0f t 11110.t nt nntntya yaya y 3.常系数线性差分方程及解的性质常系数线性差分方程及解的性质 的差分方程称为的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程，其中，其中为常数，且为常数，且为已知函数为已知函数.时，差分方程时，差分方程(1)称为称为齐次的齐次的，对应的对应的齐次差分方程齐次差分方程为为(2)定义定义A 形如形如(1)当当否则称为否则称为非齐次的非齐次的.当当时，与差分方程时，与差分方程(1)0,()naf t 12,kC CC 定理定理A
9、 设设的的k个特解，则线性组合个特解，则线性组合也是该差分方程的解，其中也是该差分方程的解，其中是是n阶常系数齐次线性差分方程阶常系数齐次线性差分方程为任意常数为任意常数.1122()()()()kky tC y tC y tC yt 11110(2)t nt nntntya yaya y 12(),(),()ky ty ty t的的n个线性无关的解，则方程个线性无关的解，则方程 的通解为的通解为 nCCC,21其中其中为任意常数为任意常数定理定理B n阶常系数齐次线性差分方程一定存在阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个个线性无关的特解若线性无关的特解若12(),(),()ny ty ty t
10、1122()()(),nnYC y tC y tC yt 是方程是方程11110t nt nntntya yaya y 定理定理C n阶非齐次线性差分方程阶非齐次线性差分方程 的通解与它自己本身的一个特解之和，的通解与它自己本身的一个特解之和，1111()t nt nntntya yaya yf x 它对应的齐次方程它对应的齐次方程11110t nt nntntya yaya y 即通解等于即通解等于1122*()()(),()nnYC y tC y tC y ty t 其中其中*()y t是它自己本身的一个特解是它自己本身的一个特解.以上三个定理揭示了以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差
11、阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构分方程的通解结构,它们是求解线性差分方程非常它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识重要的基础知识在本书中在本书中我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法10(4)ttyay (1)迭代法求解迭代法求解：一般地一般地，对于一阶常系数齐次线性差分方程对于一阶常系数齐次线性差分方程通常有如下两种解法通常有如下两种解法.5.2.1 一阶常系数齐次线性差分方程的通解一阶常系数齐次线性差分方程的通解0y设已知，则1nnyay 2()na ay 22na y 11nay 0,na y 0(0,1,2,).ttya yt10(4)tty
12、ay (2)特征方程法求解特征方程法求解：设：设(0)tY (4)(4)是方程的解，代入，得化简得：化简得：即即10(0)tta ，0,a .a 分别称为方程分别称为方程和和是方程是方程(4)的解的解.ttya 再由解的结构及通解的定义知：再由解的结构及通解的定义知：的的特征方程特征方程和和特征根特征根.10(4)ttyay (ttyCa C 是齐次方程的通解是齐次方程的通解.为任意常数为任意常数)10tta a 故故120ttyy 210,1.2 例例4 求求的通解的通解.从而特征根为从而特征根为于是原方程的通解为于是原方程的通解为其中其中C为任意常数为任意常数.解解 特征方程为特征方程为,
13、)21(ttCy 1()ttyayf t 的右端项为某些特殊形式的函数时的特解的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.考虑差分方程考虑差分方程(c为任意常数为任意常数),()()f tc 一则差分方程为则差分方程为1(5)ttyayc ，1)采用迭代法采用迭代法求解：求解：有迭代公式有迭代公式0y，给定初值给定初值5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解一阶常系数非齐次线性差分方程的通解1ttacyy 2tca ayc 221tyaca 321tayacac 3321tacaay 0211.ttacaaya 00,1,1,1.1tttyctayay acaa 2)一般法求解：一般法求解：设差
14、分方程设差分方程).11;01(*sasaktyst时时取取时时取取的特解的特解.;1*ackycakkt 即即.)1(ckcakttk 即即1(5)ttyayc*(5),tyk 令令代代入入方方程程得得：1a 具有形如具有形如(1)当当时，时，1a *(5),tykt 令令代代入入方方程程得得：(2)当当时，时，例例5 求差分方程求差分方程 的通解的通解.231 ttyy解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为 由于由于,13 a故可设其特解为故可设其特解为：,*kyt 代入方程，解得代入方程，解得：,1 k故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：.13*tttAyYy3,tY
15、A)6(1tttcbayy 设差分方程设差分方程(6)具有形如具有形如).1;0(*sabsabbktytst时取时取时取时取的特解。的特解。得得代入方程代入方程时，令时，令当当,)6(,)1(*ttkbyab ,)(1cabkcbakbkbttt 即即于是于是*.ttcybba ()(1)tf tcbcb 二、为常数，则方程为得：得：代入方程代入方程时，令时，令当当,)6()2(*ttktbyab tttcbaktbbtk 1)1(,)1(caktbtk 即即解得解得.ack 于是于是.1*tttctbtbacy的通解分别为：的通解分别为：时，方程时，方程和和当当)6(abab .1tttA
16、actby tttAababcy 和和例例6 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。tttyy 25211解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.21tAY 由于由于,25,21baba 故可设其特解为：故可设其特解为：.*ttkby 代入方程，解得代入方程，解得：,21 abck故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：.252121*ttttAyYy 例例66 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。tttyy21211解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.21tAY 由于由于,21,21baba故可设其特解为：故可设其特解为：.*ttktby 代入方程，解得
17、代入方程，解得：,2bck故原差分方程通解为：故原差分方程通解为：.21211*tttttAyYy设差分方程设差分方程(7)具有形如具有形如)(10*nnsttBtBBty 的特解的特解.).11;01(sasa时时取取时时取取将特解代入差分方程将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数后比较两端同次项系数.,10nBBB确定系数确定系数)()(ncf tct 三为常数，则差分方程为1(7)nttyayct 例例7 7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。2132tyytt解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.2tAY 由于由于,12 a故可设其特解为故可设其特解为2*D
18、tCtByt 代入方程，得代入方程，得,3222)1()1(222tDtCtBtDtCB 比较系数比较系数：02 BDCB022 CDC32 DD原差分方程通解为原差分方程通解为.36922*ttAyYyttt 解得解得.3,6,9 DCB故方程特解为故方程特解为.3692*ttyt 例例7 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。213tyytt解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.AY 由于由于,1a故可设其特解为故可设其特解为)(2*DtCtBtyt代入方程，得代入方程，得,3)1()1()1(23232tDtCtBttDtCtB比较系数比较系数：0330320DDCDC
19、BDCBDCB原差分方程通解为原差分方程通解为.232132*tttAyYytt解得解得.1,23,21DCB故方程特解为故方程特解为.232132*tttyt)8()(1tmtttPayy 设差分方程具有形如设差分方程具有形如的特解的特解.综上所述，有如下结论：综上所述，有如下结论：若若()()tmf tPt ()mPtm 其中 为常数为 次多项式，则方程为*(),()tnntyQ tQ tn 为 次多项式当当 时，时，(*)式左端为式左端为 次多项式，要使次多项式，要使 (*)式成立，则要求式成立，则要求a 1 n.1mn t 约去得：*(8),ty将代入方程得：1(1)()(),tttn
20、nmQ taQ tPt(1)()(),(*)nnmQ taQ tPt 01()(0),nnnnQtaa ta ta 假设(1)(),nnnQ tQ ta 则和的最高次项系数均为故可设差分方程故可设差分方程（8）具有形如）具有形如tmsttQty)(*的特解的特解.前面三种情况都是差分方程（前面三种情况都是差分方程（8）的特殊情形：）的特殊情形：当当 时，取时，取 否则，取否则，取 a ,1 s.0 s.1,0)1(m.0)2(m.1)3(例例8 8 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。ttttyy34221解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.2tAY 由于由于,31ba故
21、可设其特解为故可设其特解为ttDtCtBy3)(2*代入方程消去代入方程消去,4222)1(3)1(33222tDtCtBtDtCB比较系数比较系数：02333BDCB0263CDC423 DD,3t得得原差分方程通解为原差分方程通解为.3)42460(22*ttttttAyYy解得解得.4,24,60DCB故方程特解为故方程特解为.3)42460(2*tttty例例9 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。ttttyy2321解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.AY 由于由于,1a故可设其特解为故可设其特解为ttDtCtBy2)(2*代入方程消去代入方程消去 ，得，得,3
22、)1(2)1(22222tDtCtBtDtCB比较系数比较系数：320420222DDCDCBDCBt2原差分方程通解为原差分方程通解为.2)31218(2*tttttAyYy解得解得.3,12,18DCB故方程特解为故方程特解为.2)31218(2*tttty例例1010 求差分方程求差分方程 的通解。的通解。ttttyy23221解解 对应齐次差分方程的通解为对应齐次差分方程的通解为.2tAY 由于由于,2ba故可设其特解为故可设其特解为ttDtCtBty3)(2*代入方程消去代入方程消去,3222)1(2)1(2)1(223232tDtCtBttDtCtB比较系数比较系数：,2t0223
23、222026420222DDCDCBDCBDCB得得原差分方程通解为原差分方程通解为.2)234943(232*tttttttAyYy解得解得.23,49,43DCB故方程特解为故方程特解为.2)234943(32*tttttytSttSr,)1(1ttttSrrSSS ,2,1,0 ttS,)1(0SrStt ,2,1,0 t0S例例8（存款模型（存款模型)为为 期存款总额，期存款总额，利率，按年复利计息，则利率，按年复利计息，则与与有如下关系式：有如下关系式：这是关于这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中其中为初始存款总额为初始存款总额.为存款为存款其通解为其通解为设设r三、三、差分方程在经济问题中的简单应用差分方程在经济问题中的简单应用
