1、高等数学 第第 四四 节节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、函数极值的求法二、函数极值的求法四、小四、小 结结三、最值问题三、最值问题高等数学一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA高等数学证证
2、),(,21baxx ,21xx 且且应用中值定理应用中值定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 高等数学例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函
3、数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又高等数学问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的的分界点分界点方法方法:.,)()(0
4、)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 函数单调区间的求法函数单调区间的求法高等数学例例2 2解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1
5、,(，2,1).,2高等数学例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 高等数学例例4 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0
6、 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上上单单调调增增加加但但在在 高等数学练习练习提示提示.1arctan)1ln(,0成成立立试试证证有有时时当当xxxx ,arctan)1ln()1()(xxxxf 技巧：去分母技巧：去分母.高等数学.0arctan4有有且且只只有有一一个个实实根根证证明明方方程程 xxxxxfarctan4)(设设1)1(,4)0(ff至至少少有有一一个个零零点点函函数数)(xf至多有一个零点至多有一个零点)(xf单调增加单调增加)(x
7、f证明证明 0111)(2xxf又又由连续函数的零点存在定理知：由连续函数的零点存在定理知：.0)(有有且且只只有有一一个个实实根根 xf例例5 5高等数学.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间
8、设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 回顾定义回顾定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.高等数学二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点 0 x处具有导数处具有导数,且在且在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的
9、极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x高等数学(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有;0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf 符号相同符号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件
10、)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)高等数学xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)高等数学例例5 5解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极
11、小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx高等数学593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下高等数学 设设)(xf在在 0 x处处具具有有二二阶阶导导数数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那那末末 (1 1)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在 0 x处处取取得得极极大大值值;(2 2)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在 0 x处处取取得得极极小小值值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0
12、时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值高等数学例例5 5另解另解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx,66)(xxf012)3(,012)1(ff注意注意:.2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 高等数学例例6 6解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(
13、,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M高等数学例例7 7.010)(2的极值的极值求出函数求出函数 xxxxxfx)ln1(2)(02xxxfxx 时，时，.)(,0可可能能不不存存在在时时当当xfx ,1 ex得驻点得驻点无驻点，无驻点，时，时，,1)(0 xfx,01 exx有两个可能点：有两个可能点：是极小值是极小值的极大值，的极大值，为为经判断知，经判断知，)()(1)
14、0(1 efxff.)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf解解高等数学例例8 8解解.,3213中中的的最最大大值值项项，求求数数列列nn.)(自自然然数数时时的的函函数数值值取取当当首首先先将将数数列列对对应应为为函函数数xxxfx 值值来来讨讨论论数数列列，然然后后通通过过讨讨论论函函数数的的极极时，时，当当ex ;0)(xf时时，当当ex .0)(xf.)()(的最大值的最大值为为得得xfef),1,ln1)(2 xxxxxfx.33,2332数数列列的的最最大大值值项项为为的的值值，得得到到，通通过过比比较较返返回回数数列列nn高等数学三、最值问题三、最值问题1、求函数在闭区间上的最
15、值、求函数在闭区间上的最值2、实际问题的最值、实际问题的最值oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在为为零零的的点点，则则并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导，上上连连续续，除除个个别别点点外外处处在在若若函函数数baxfbaxf高等数学步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则
16、这个极值就是最值是最值(最大值或最小值最大值或最小值).高等数学例例9 9解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较可得比较可得.7)1(f最小值最小值高等数学14123223 xxxy高等数学实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或或最最小小函函数数值值即即为为所所求求的的最最点点，则则该该点点的的若若目目标标函
17、函数数只只有有唯唯一一驻驻)(高等数学例例1010某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每套公寓要出租，当租金定为每月月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增元时，公寓会全部租出去当租金每月增加加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x高等数学 1068)
18、20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 高等数学例例1111形形面面积积最最大大所所围围成成的的三三角角及及线线处处的的切切线线与与直直使使曲曲线线在在该该点点上上求求一一点点，曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxyTxyoPABC8 x2xy 高等数学解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为
19、则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x8 x2xy 高等数学,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316(s.0.2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s高等数学四、小结四、小结一、单调性一、单调性u单调性的判别是拉格朗日中值定理定理单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用的重要应用.u定理
20、中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.u应用：利用函数的单调性可以确定某些应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式方程实根的个数和证明不等式.高等数学二、极值二、极值u极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极极大值可能小于极小值小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.u驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.u函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)要点：一阶导数看左右，二阶
21、导数看一点。要点：一阶导数看左右，二阶导数看一点。高等数学三、最值三、最值u注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.u最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.u实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.高等数学 作作 业业P125:1(3)(4),2(单单),3(1)(4),5,6,8,9*,10.高等数学例例(扩展扩展)解解.)0(ln有有几几个个根根讨讨论论方方程程 aaxx,lnaxxy 设设xaxaxy 11则则.,0,1,0,10单单调调减减少少即即当当单单调调增增加加；即即当当yyxayyax ,limlim,1ln11ln)1(00 yyaaayxx又又分
22、分情情况况：方程有两个根，方程有两个根，时，时，当当ea10 ,1方方程程有有一一个个根根当当ea .,1方方程程没没有有根根当当ea 注注:单调性也可用于讨论方程根的个数。单调性也可用于讨论方程根的个数。高等数学例例6.5:3.100km20km路路运运费费之之比比为为每每千千米米的的铁铁路路运运费费与与公公处处所所需需运运费费最最省省？已已知知运运货货到到工工厂厂在在何何处处才才能能从从原原料料站站应应选选问问处处向向工工厂厂修修一一条条公公路路，修修建建一一车车站站，再再由由车车站站中中间间某某处处现现要要在在铁铁路路处处有有一一原原料料供供应应站站为为距距离离，铁铁路路线线上上，垂垂足
23、足为为到到铁铁路路线线的的垂垂直直距距离离为为设设工工厂厂ACDDDBCCBBA于于是是总总运运费费为为则则铁铁路路运运费费为为设设公公路路运运费费则则解解：设设,53,100,400,2aaxCDxADxBD .1000),100(534002 xxaxay处处。应应修修建建在在离离所所以以车车站站kmAD15,15,053400)(2 xaxaxxf得得由由BCDA高等数学例例5 5证证.!3sin,03成立成立试证试证时时当当xxxx ,!3sin)(3xxxxf 设设,21cos)(2xxxf 则则0sin)(xxxf上单调增加；上单调增加；在在),0)(xf,0)0(f时，时，当当0
24、 x,0)(xf.!3sin,0)(3xxxxf 即即,),0)(上单调增加上单调增加在在xf,0)0(f高等数学.)10(,11 2 xxxex证明不等式证明不等式(*)0)1()(1 2 xexx变形为变形为原不等式原不等式)1()(1)(2xexxfx 设设1)2(1)(2 xexxf内单调减少内单调减少在在0,1)(xf(0,1)0,)0()(xfxf单调减少单调减少时，时，当当)(0,1 xfx 0(0)(0,1)fxfx时，时，当当即（即（*）式成立）式成立证明证明 04)(2xxexf例例6 6高等数学例例1111呢？呢？又若又若的拐点？的拐点？是否是是否是的极值点的极值点是否是
25、是否是问问有有设设0)(,0)()()()()(,?()(,0)(,0)()()(0)4(000000000 axfxfxfxfxfxfxxfxaxfxfxfxf)()(!3)()()(303000 xxoxxxfxfxf .)(0的的极极值值点点不不是是xfx)()(!4)()()(40400)4(0 xxoxxxfxfxf .)(0的的极极值值点点是是xfx解解.)()().()()(,)()(lim)(000000000是拐点是拐点，的两侧变号，故（的两侧变号，故（在点在点于是于是xfxxxfxxoxxaxfaxxxfxfxfxx 高等数学思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定
26、定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？1.2.下命题正确吗？下命题正确吗？3.如果函数在一点的一阶和二阶导数都为如果函数在一点的一阶和二阶导数都为 零，而三阶导数不为零，问：能否断定该零，而三阶导数不为零，问：能否断定该点是否是极值点？点是否是极值点？4.高等数学思考题解答思考题解答1.不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于是是0 x为为)(xf的的极极小小值值点点高等数学当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因
27、而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(高等数学2.不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 ,)212(11时时当当 kxk21)212(2)212(1)(kkxfk kxfkxkk21)(,2122时时当当).()(,1212kkkkxfxfNkxx 但但显然显然由于由于 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf高等数学3.提示：利用泰勒公式提示：利用泰勒公式.P126:10？0
28、,1cos21sin41)(xxxxxf因为因为在在 x=0 处不连续处不连续.高等数学4.结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f高等数学补充题补充题.,1成成立立有有时时证证明明：当当baababab 提示：取对数后再变形提示：取对数后再变形.1ln)(xxxf令令高等数学？0,1cos21sin41)(xxxxxf因为因为在在 x=0 处不连续处不连续.高等数学例例6 6解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下高等数学Mm
