1、-1-1 1.5 5平面直角坐标系中的距离公式平面直角坐标系中的距离公式1.两点间的距离公式若两点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有做一做1点A(2,3)到点B(3,5)的距离是到点C(4,7)的距离的()答案:B 2.点到直线的距离公式【做一做2】点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()答案:C 3.解析法根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这种方法叫坐标的方法,也称为解析法.知识拓展解析法中建立平面直角坐标系的原则:如果有对称中心,那么可选择对称中心为坐标原点;如果有对称轴,那么可选择对称轴为坐标轴;使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
2、例如,通常以直角三角形的两条直角边所在直线为坐标轴;以斜三角形的一边为x轴,以这一边的中点为原点;以矩形的相邻两边为坐标轴;以平行四边形的一边为坐标轴,该边的一个端点为原点;以菱形的对角线所在的直线为坐标轴等等.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)平面直角坐标系中两点间的距离公式不适用于两点在坐标轴上的情形.()(2)点A(x0,y0)关于直线y=x对称点A的坐标为(y0,x0).()(3)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.()(4)(x-5)2+(y-1)2的几何意义是动点P(x,y)与定点A(5,1)之间的距离.()答
3、案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三易错辨析探究探究一两点间的距离公式及应用两点间的距离公式及应用 【例1】已知ABC三个顶点的坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)求证ABC是直角三角形;(2)求ABC的面积.分析:先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度,根据边长之间的关系判断其形状,再用面积公式求ABC的面积.探究一探究二探究三易错辨析(1)证明:由已知得 因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形.(2)解:因为角A是直角,探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.已知两点的坐标求两点间的距离时,要注意距离公式的
4、正确应用,被开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和,不能将横、纵坐标混用.2.在判断平面图形的形状时,可以利用边长的关系,也可以利用角的关系,同时要注意合理运用相关图形的一些性质.3.本题判定ABC为直角三角形时解法多样,也可利用直线AB,AC的斜率乘积为-1,得到两直线垂直,进而得出ABC是直角三角形.探究一探究二探究三易错辨析变式训练1已知点A(-1,2),B(2,|PA|=|PB|,并求|PA|的 值.探究一探究二探究三易错辨析探究探究二点到直线的距离公式及其应用点到直线的距离公式及其应用 【例2】(1)求点P(-1,2)到直线3x=2的距离;(2)求点P(3,-2)到直线 的距离.
5、探究一探究二探究三易错辨析反思感悟在求点到直线的距离时,注意以下几点:(1)若直线方程不是一般式,应先将其化为一般式;(2)如果所给直线是与坐标轴平行或垂直的直线,那么这时可套用点到直线的距离公式求解,也可利用简化的公式求解.探究一探究二探究三易错辨析变式训练2若点(1,a)到直线4x-3y-4=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.0,5 B.0,15C.-5,5 答案:C 探究一探究二探究三易错辨析两条平行直线间的距离公式及应用两条平行直线间的距离公式及应用【例3】导学号91134049求与直线3x-4y-20=0平行,且距离为3的直线的方程.分析:利用平行直线系方程设出直线方程再套用
6、公式求解.即|C+20|=15,解得C=-5或C=-35,故所求直线的方程为3x-4y-5=0或3x-4y-35=0.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟怎样求两条平行直线间的距离1.求两条平行直线间距离的两种方法:(1)转化为点到直线的距离,即在其中一条直线上取一特殊点,利用点到直线的距离公式求该点到另一条直线的距离.(2)直接使用两条平行线间的距离公式 ,但应注意两个直线方程中x,y的系数分别对应相等.2.一般地,与已知直线l距离为d(d0)的直线有两条,且都与l平行.求其方程时,可利用平行直线系方程的设法,设出其方程,再利用两条平行直线的距离公式求解;与两条平行直线l1,l2距离相等的直线
7、只有一条,且与l1,l2均平行,求其方程时,也是先利用平行直线系方程的设法设出方程,再求解.探究一探究二探究三易错辨析变式训练3求直线l1:24x-10y+5=0与l2:12x-5y-4=0之间的距离.探究一探究二探究三易错辨析未考虑直线斜率不存在的情形而致误 典例求经过点A(1,2)且原点到直线的距离等于1的直线方程.错解:所求直线过点A(1,2),可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.原点到此直线的距离为1,所求直线的方程为y-2=(x-1),即3x-4y+5=0.探究一探究二探究三易错辨析正解:当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时,直线方程为x=1,原点(0,0)到
8、直线的距离等于1,满足题意.当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.原点到此直线的距离等于1,即3x-4y+5=0.综上所述,所求直线的方程为x=1或3x-4y+5=0.探究一探究二探究三易错辨析纠错心得1.在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.2.本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.123451.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5,那么
9、实数m的值为()A.4 B.-2C.-4或2D.4或-2答案:D 123452.已知点A(-3,-4)和点B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()答案:C 12345123454.已知ABC的三个顶点的坐标为 B(0,1),C(0,3),则BC边上 的高线AD的长为.解析:高线AD的长即为点A到直线BC的距离,由已知得BC的方程为x=0,因此点A到BC的距离为123455已知AO是ABC中BC边上的中线,证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).证明:以O为原点,BC所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(b,c),B(-a,0),
10、C(a,0).由两点间的距离公式,得|AB|2+|AC|2=(b+a)2+c2+(b-a)2+c2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=b2+c2+a2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。”而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一
11、些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文
12、件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上司，海归，虽然她
13、有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某
14、天悄悄放了几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加
15、上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给
16、人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；
17、播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到什么，你必须知道现在应该先放弃什么！把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机！人人都有两个门：一个是家门，成长的地方；一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！
