1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法教学目标：教学目标：1，了解向量法在几何中的应用2，以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论3，掌握数形结合的思想方法重点重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”难点难点：实际问题转化为向量问题 平行、垂直、夹角、距离、全等、平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来量积表示出来.因此，平面几何中的某些因此
2、，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结在实践中去探究、领会和总结.新课引入：新课引入：ks5u精品课件复习复习：.坐标表示向量垂直和平行坐标表示向量垂直和平行1122(,),(,),axybxy 则则：121200aba bx xy y 1.向量垂直1221/0abbax yx y 2.向量共线(,),|ax ya 已已知知求求22|axy 3，探究（一）：探究（一）：推断线段长度关系推断线段长度关系 求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的
3、的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB2|AB ,ABa ADb 证证明明：设设2|a 2|AD 2|b 22|ACab 2()ab 222aa bb 2a 2b 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD 原原命命题题成成立立例例1，结论：平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍结论：平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.例例2 2 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC的中点，的中点，BEB
4、E、BFBF分别与分别与ACAC相交于点相交于点M M、N N，试推断，试推断AMAM、MNMN、NCNC的长的长度具有什么关系，并证明你的结论度具有什么关系，并证明你的结论.A AB BC CD DE EF FM MN N 结论结论:AM=MN=NC:AM=MN=NC 三等分.gsp解：设解：设 则则,ABa ADb ARr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此A
5、BCDEFRT102()()mnm anb 即即,由于向量不共线a b0102nmmn ，1 1解解 得得：n n=m m=3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT练习：用向量证明三角形中位线定理用向量证明三角形中位线定理ABCFE1/2E FB CE FB C 求求 证证：且且,EAa AFb 证证明明：设设EFEAAFab BCBAAC 22EAAF 22ab 2()ab 12EFBC 1/2E FB CE FB C 且且2，/A B C DEFGHE FH GE FH G 如如 图图，在在 四四 边边 形形中中，点点、分分
6、 别别 为为 四四 条条 边边 的的 中中 点点，求求 证证：且且DAGHCBFE:EFEBBF 证证明明1122ABBC 1()2ABBC 12AC 1:2HGAC 同同理理EFHG /E FH GE FH G 且且探究（二）：探究（二）：推断直线位置关系推断直线位置关系 思考思考1 1：三角形的三条高线具有什么位置三角形的三条高线具有什么位置关系？关系？交于一点交于一点思考思考2 2：如图，设如图，设ABCABC的两条高的两条高ADAD与与BEBE相交于点相交于点P P，要说明，要说明ABAB边上的高边上的高CFCF经过点经过点P P，你有哪些办法？，你有哪些办法？A AB BC CD D
7、E EF FP P证明证明PCAB.PCAB.c(ab)0 0.思考思考3 3：设向量设向量 a，b，c，那么那么PCBAPCBA可转化为什么向量关系？可转化为什么向量关系？PA=uuu rPB=uuu rPC=uuu rA AB BC CD DE EF FP Pabc思考思考4 4：对于对于PABCPABC，PBACPBAC，用向量观，用向量观点可分别转化为什么结论？点可分别转化为什么结论？a(cb)0 0，b(c)0 0.思考思考5 5：如何利用这两个结论如何利用这两个结论:a(cb)0 0，b(ac)0 0 推出推出c(ab)0 0？A AB BC CD DE EF FP P探究（三）：
8、探究（三）：计算夹角的大小计算夹角的大小 思考思考1 1：如图，在等腰如图，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分分别是两条腰别是两条腰ABAB、ACAC的中点，若的中点，若CDBECDBE，你认为你认为A A的大小是否为定值？的大小是否为定值？A AB BC CD DE E三角形.gsp思考思考2 2：设向量设向量 a，b，可以利，可以利用哪个向量原理求用哪个向量原理求A A的大小？的大小？A B=uuu rA C=uuu rA AB BC CD DE Eabcos|a bAab=思考思考3 3：以以a，b为为基底，向量基底，向量 ，如如何表示？何表示？B Euuu rC Duuu rA
9、 AB BC CD DE Eab12B Eba=-uuu r12C Dab=-uuu r思考思考4 4：将将CDBECDBE转化为向量运算可得转化为向量运算可得什么结论？什么结论？ab=（a2b2）25思考思考5 5：因为因为ABCABC是等腰三角形，则是等腰三角形，则|a|=|=|b|，结合上述结论，结合上述结论:ab=(a2b2),cosA),cosA等于多少？等于多少？254cos|5a bAab=A AB BC CD DE Eab1.1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化
10、向量关系几何化2 2用向量方法解决几何问题的用向量方法解决几何问题的“三步曲三步曲”：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形.3.3.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既它既是一种数学思想，也是一种数学能力是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.小结：小结：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
11、元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：形到向量简述：形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形作业：作业：P113P113习题习题2.5A2.5A组：组：1 1，2.2.B B组：组：3.3.练习、证明直径所对的圆周角练习、证明直径所对的圆周角是直角是直
12、角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab练习：练习：如图，如图，ABCABC的三条高分别为的三条高分别为ADAD，BEBE，CFCF，作，作DGBEDGBE，DHCFDHCF，垂足分别，垂足分别为为G G、H H，试推断，试推断EFEF与与GHGH是否平行是否平行.A AB BC CD DE EF FP PG GH H 结论结论:EFGH:EFGH ks5u精品课件
