1、 2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法复习复习 3已知a(5,10)，b(3，4)，c(2,3)，且clakb，则l_，k_.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景的几何背景,平面几何图形的许多性质平面几何图形的许多性质,如平移、如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用体实
2、例，说明向量方法在平面几何中的运用.1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：_abab(或x1y2x2y10)(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式_.(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解
3、决几何问题abab0(或x1x2y1y20)思考思考1 1 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是否的长是否确定？确定？A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，设向量中，设向量 则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什等于什么？么？ABa，ADbACDB DBab,ACab.A AB BC CD D2222222,4,24,24,1.2abababaa bbaa bba b 由得=4即（）:2,1,-23,?aba ba
4、bAC利用如何求思考等于多少？22222|()226.ACababaa bbaa bb A AB BC CD D例例1.1.平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图几何模型，如图2.5-12.5-1，你能发现平行四边形对角线的长度与两条你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？邻边长度之间有何关系吗？A AB BC CD DACAB AD,DBAB AD,.ABa ADbACab DBab 设，则图图2.5-12.5-1222()()2(1)ACAC ACababa aa bb ab baa bb 2222(2)DBaa bb 同理222
5、222(1)(2)2()2().得 ACDBabABAD 平行四边形两条对角线长的平方和等平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍于两条邻边长的平方和的两倍.（1 1）建立平面几何与向量的联系，）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；将平面几何问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；之间的关系，如距离、夹角等问题；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元成几何元素素.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决
6、平面几何问题的“三步曲三步曲”：总结总结几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化变式变式 2 2、例例2.2.如图如图2.5-22.5-2，ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC边的中点，边的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR、RTRT、TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TC图图2.5-22.5-2ABa,ADb,ARr,ACab.解设：则由于由于 与与 共线
7、，故设共线，故设因为因为ARA C rn(a b),nR，又因为又因为 共线，共线，所以设所以设EREB 与1ERmEBm(ab).2 因为因为 所以所以ARAEER ，11rbm(ab).221122()()因此，n abbm ab 1EBABAEab,2 A AB BD DE EF FR RT TC C图图2.5-22.5-2m1(nm)a(n)b0.2即a,b 向 量不 共 线,nm0m1n0.2，nm.1解得：=3111ARAC,TCAC,RTAC.333ATRTTC.所以同理于是故 利用待定系数法，结合向利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定量共线定理和平面向量基本定理，将
8、问题转化为求理，将问题转化为求m m、n n的值，的值，是处理线段长度关系的一种常是处理线段长度关系的一种常用手段用手段.总结总结AOBCFEGNML .GNFMELNMLGFE于一点且互相平分交、边的中点，求证：线段分别是所在、如图点变式 3、TAOBCFEGNML .rOC,qOB,pOA设)rqp(41)OGON(21OTTTTELMFNG21，则：、分别为的中点、又设 T:解),rqp(41OT1同理：)rqp(41OT2例例3.3.若正方形若正方形OABCOABC的边长为的边长为1 1，点，点D D、E E分别为分别为ABAB、BCBC的中点，试求的中点，试求cosDOE.A AB
9、BC CO Oxy解：解：以以O O为坐标原点，以为坐标原点，以OAOA、OCOC所在所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，坐标系，分析：分析：建立坐标系，利用向量的坐建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角标运算求夹角.探究二（角度问题）探究二（角度问题）E ED D11(1),(,1)2211(1),(,1)22DEODOE 则，cos1111422.55522OD OEDOEOD OE A AB BC CO OxyE ED D 建立适当的坐标系，利用向量运建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁
10、过程简洁.总结总结如右图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP、EF，求证：DPEF.1.ABCDAB BC=0AB=DCABCD .A.B.C.D.在四边形中，且，则四边形是（）平行四边形矩形菱形正方形BAB=DCABCDAB BC=0ABBCABC=90.ABCD.由可知，四边形为平行四边形，又，即四边形解：为矩形析OBOC)OBOC-2OA)=0(OBOAOC-OA)0CB(ABAC)0CB(2AM)0(MBCCBAMABC.(，CB，解，为的中点)，为等腰：三角形析2 22OABC(OBOC)(OBOC2OA)0ABCA.B.C.D.(01济南高一检测)是三角形内一点，且则三角形的形状为（）等腰三角形 等边三角形直角三角形 以上皆错A A1.1.用向量方法证明几何问题时用向量方法证明几何问题时,首先选取首先选取恰当的基底恰当的基底,用来表示待研究的向量用来表示待研究的向量,在在此基础上进行运算此基础上进行运算,进而解决问题进而解决问题.2.2.要掌握向量的常用知识要掌握向量的常用知识共线；垂直；共线；垂直；模；夹角；向量相等模；夹角；向量相等.变式变式4 4、
