1、探究型问题的解题策略探究型问题探究 探究型问题是近年中考比较常见的题目，解探究型问题是近年中考比较常见的题目，解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强“一题多解一题多解”、“一题多变一题多变”等的训练；需要有等的训练；需要有较较强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操作来打
2、开思路。作来打开思路。探究型问题探究探究型问题探究型问题规律型问题规律型问题实验操作题实验操作题动态型问题动态型问题探究型问题探究1.1.条件的不确定性条件的不确定性2.2.结构的多样性结构的多样性3.3.思维的多向性思维的多向性4.4.解答的层次性解答的层次性5.5.过程的探究性过程的探究性6.6.知识的综合性知识的综合性探究型问题探究 规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题探究型问题探究1 1数式规律数式规律 例1：一组按规律排列的式子：（ab0），其中第7个式子是
3、，第n个式子是 （n为正整数）25811234,bbbbaaaa 本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点.归纳与猜想归纳与猜想探究型问题探究1 1数式规律数式规律 例2 观察下列各式：13=1221；24=2222；35=3223；请你将猜想到的规律用正整数n 表示出来：_.1n 方法总结：横向熟悉代数式、算式的结构；纵向观察、对比，研究各式之间的关系，寻求变化规律；按要求写出算式或结果。归纳与猜想归纳与猜想探究型问题探究 例例3 3 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式用同样大
4、小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n n个图形需个图形需棋子棋子 枚（用含枚（用含n n的代数式表示）的代数式表示）.2 2图形规律图形规律第1个图第2个图第3个图方法一方法一:除第一个图形有除第一个图形有4 4枚棋子外枚棋子外,每多一个图形每多一个图形,多多3 3枚棋子枚棋子.4 43 3（n n1 1）=3=3 n+1+1归纳与猜想归纳与猜想探究型问题探究2 2图形规律图形规律 例例3 3 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n n
5、个图形需个图形需棋子棋子 枚（用含枚（用含n n的代数式表示）的代数式表示）.第1个图第2个图第3个图3n+1方法二方法二:每个图形每个图形,可看成是序列数与可看成是序列数与3 3的倍数的倍数 又多又多1 1枚棋子枚棋子归纳与猜想归纳与猜想探究型问题探究2 2图形规律图形规律 例例3 3 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n n个图形需个图形需棋子棋子 枚（用含枚（用含n n的代数式表示）的代数式表示）.第1个图第2个图第3个图方法三方法三:2n+(n+1)=3n+1:2n+(n+1)=3n+
6、1方法总结：认真观察 研究图案（形）提取数式信息 仿照数式规律得到结论归纳与猜想归纳与猜想探究型问题探究复练复练1：探究型问题探究复练复练2：探究型问题探究探究规律题的一般步骤为：探究规律题的一般步骤为：(1)观察（发现特点）观察（发现特点）(2)猜想（可能的规律）猜想（可能的规律）(3)实验（用具体数值代入猜想）实验（用具体数值代入猜想）探究型问题探究 实验操作型问题是让学生在实际操作实验操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：的基础上设计问题，主要有：裁剪、折裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性质相联系；对称性质相联系；与画图
7、、测量、猜想、与画图、测量、猜想、证明等有关的探究型问题。证明等有关的探究型问题。探究型问题探究实验操作型问题实验操作型问题 主要考查：（1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何操作变换的若干方法和技巧；(2）综合运用相关知识解决应用问题折纸与剪纸 分割与拼合 展开与叠合 探究型问题探究 动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在1.1.基础题型基础题型探究型问题探究1.1.折纸问题折纸问题例例4 4 如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以
8、AB的中点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 基础基础题型题型 解题策略解题策略1 1：重过程重过程“折折”温馨提示温馨提示:看清步骤，仔细操作看清步骤，仔细操作.操作与探究操作与探究D探究型问题探究ABCD 复练：复练：将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（片展开，得到的图形是（）试一试：试一
9、试：温馨提示温馨提示:带齐工具。带齐工具。C探究型问题探究.拼图问题拼图问题 例例5 5 如图如图1 1，ABCABC是直角三角形，如果是直角三角形，如果 用四张与用四张与ABCABC全等的三角形纸片恰好拼成全等的三角形纸片恰好拼成 一个等腰梯形，如图一个等腰梯形，如图2 2，那么在，那么在RtRtABCABC中，中，的值是的值是 ACBC方法一:观察边长,两条较短的直角边的和等于斜边的长方法二:观察角度,两个较小的锐角的和等于较大的锐角基础基础题型题型 操作与探究操作与探究探究型问题探究.拼图问题拼图问题基础基础题型题型 例例6 6 如图如图,这是一张等腰梯形纸片这是一张等腰梯形纸片,它的上
10、底长为它的上底长为2,2,下底长为下底长为4,4,腰长为腰长为2,2,这样的纸片共有这样的纸片共有5 5张张.打算用其打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图分别画出它们的示意图,并写出并写出它们的周长它们的周长.2224操作与探究操作与探究探究型问题探究.拼图问题拼图问题基础基础题型题型 223420222242探究型问题探究3.3.展开与折叠展开与折叠 例例7 7 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个
11、展开中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（图是（）基础基础题型题型 本题考查立体图形 的 展开与折叠，同时考查空间想象能力和动手实践能力。动手制作 模型，通过实验来验证不失为 一种好方法。操作与探究操作与探究探究型问题探究4.4.网格问题网格问题 例8 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长_.1 12 2基础基础题型题型 操作与探究操作与探究探究型问题探究4.4.网格问题网格问题 例8 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60的小
12、菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长_.1 12 2基础基础题型题型 评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔网格试题具有操作性，趣味性，体现了和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得在玩中学，在学
13、中思，在思中得”的课标理念的课标理念操作与探究操作与探究探究型问题探究 动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的数学实践能力和创新设计才能数学实践能力和创新设计才能2.2.综合题型综合题型探究型问题探究 现有现有10个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：个新的正方形要求：在图在图4
14、中画出分割线中画出分割线,并在图并在图5的正方形网格图（图中的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形）中用实线画出拼接成的新正方形 说明：直接画出图形，不要求写分析过程说明：直接画出图形，不要求写分析过程.例例9 请阅读下列材料请阅读下列材料:问题问题:现有现有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图1,请把它们分割后拼请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新
15、正方形）中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是小东同学的做法是:设新正方形的边长为设新正方形的边长为x（x 0）.依题意，割补前后依题意，割补前后图形面积相等，有图形面积相等，有x2=5,解得解得 由此可知新正方形的边长等于两个小正由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图于是，画出如图2所示的分割线所示的分割线,拼出如图拼出如图3所所示的新正方形示的新正方形5x图 3图 2图 1图 3图 2图 1请你参考小东同学的做法，解请你参考小东同学的做法，解决如下问题决如下问题:图图题型一：题型一：画图与拼图画图与拼图综合综合题型题型 操
16、作与探究操作与探究探究型问题探究 小东同学的做法是：小东同学的做法是：设新正方形的设新正方形的边长为边长为x(x0).依题意，割补前后图形的依题意，割补前后图形的面积相等，有面积相等，有x2=5,解得解得x=.由此可知由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长形对角线的长.于是，画出如图于是，画出如图2所示的分所示的分割线，如图割线，如图3所示的新正方形所示的新正方形.5再现操作情境再现操作情境 小东同学的做法是：小东同学的做法是：设新正方形的设新正方形的边长为边长为x(x0).依题意，割补前后图形的依题意，割补前后图形的面积相等，有面积相
17、等，有x2=5,解得解得x=.由此由此可知新正方形的边长等于三个小正方形组成可知新正方形的边长等于三个小正方形组成的矩形对角线的长的矩形对角线的长.于是，画出如图于是，画出如图4所示所示的分割线，的分割线，如图如图5所示的新正方形所示的新正方形.51010理清操作步骤理清操作步骤发现变化，发现变化，类比迁移类比迁移 小东同学的做法是：小东同学的做法是：设新正方形的设新正方形的边长为边长为x(x0).依题意，割补前后图形的依题意，割补前后图形的面积相等，有面积相等，有x2=5,解得解得x=.由此由此可知新正方形的边长等于三个小正方形组成可知新正方形的边长等于三个小正方形组成的矩形对角线的长的矩形
18、对角线的长.于是，画出如图于是，画出如图4所示所示的分割线，的分割线，如图如图5所示的新正方形所示的新正方形.51010理清操作步骤理清操作步骤发现变化，发现变化，类比迁移类比迁移析解：析解：本例是将矩形分割后拼成正方形，而试题又提供了拼接方法，解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还要密切关注 试题中的阅读材料母题母题:如图，将矩形如图，将矩形ABCDABCD沿沿AEAE折叠，使点折叠，使点D D落在落在边边BCBC上的上的F F处，如果处，如果BAF=30BAF=30，AD=AD=，则则DAE=_DAE=_，EF=_EF=_32302人教版八年级人教版八年级(下下)第第115页数学活动
19、页数学活动1题型二：题型二：折叠与变换折叠与变换探究型问题探究ABCDFE透过现象看本质透过现象看本质:折折叠叠轴轴对对称称实质实质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：由折叠可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂线线探究型问题探究变式一变式一:如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边ADAD，点，点D D落在落在BCBC边的点边的点F F处，已知处，已知A
20、B=8cmAB=8cm，AD=10cmAD=10cm，求，求ECEC的长。的长。ABCDFE810106x48-x反思：反思：折叠问题中构造方程的方法：折叠问题中构造方程的方法：（2 2）寻找相似三角形，根据）寻找相似三角形，根据 相似比得方程。相似比得方程。（1 1）把条件集中到一）把条件集中到一RtRt中，中，根据勾股定理得方程。根据勾股定理得方程。体会方程思想的价值。体会方程思想的价值。2.将分块学习的知识有机整合。将分块学习的知识有机整合。设计意图设计意图:探究型问题探究34ABCEOxyB已知已知tantanOB OB C C（1 1）求出）求出B B点的坐标；点的坐标；（2 2）求
21、折痕）求折痕CECE所在直线的解析式。所在直线的解析式。变式二变式二:如图，在直角坐标系中放入一边长如图，在直角坐标系中放入一边长OC为为6的的矩形纸片矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点，将纸翻折后，使点B恰好落在恰好落在x轴上，轴上，记为记为B,折痕为折痕为CE，6（1）B（8，0）8102xx6-x解法一：在解法一：在RtAEB中，用勾股定理解。中，用勾股定理解。解法二：解法二：由由CO BBAE来解。来解。探究型问题探究34已知已知tantanOB OB C C （2 2）求折痕）求折痕CECE所在直线的解析式。所在直线的解析式。变式二变式二:如图，在直角坐标系中放入一边长如图，在直角坐
22、标系中放入一边长OC为为6的的矩形纸片矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点，将纸翻折后，使点B恰好落在恰好落在x轴上，轴上，记为记为B,折痕为折痕为CE，解法三：记直线解法三：记直线CE交交X轴于轴于F点点,求得求得F点点坐标与坐标与C点的坐标点的坐标,求得直线求得直线CE的解析式。的解析式。探究型问题探究变式三变式三:(:(0808湖州湖州24(3)24(3)已知：在矩形已知：在矩形AOBCAOBC中，中，OB=4,OA=3OB=4,OA=3分别以分别以OB,OAOB,OA所在直线为所在直线为x x轴和轴和y y轴，建立如图所示的平面直角坐标系轴，建立如图所示的平面直角坐标系F F是边是边BC
23、BC上的一上的一个动点（不与个动点（不与B,CB,C重合），过重合），过F F点的反比例函数点的反比例函数 的图象与的图象与ACAC边交于点边交于点E E请探索：是否存在这样的点请探索：是否存在这样的点F F，使得将，使得将CEFCEF沿沿EFEF对折对折后，后，C C点恰好落在点恰好落在OBOB上？上？若存在，求出点若存在，求出点F F的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由(0)kykxNM(4,)4k（,3）3k34k43k学生两大思维障碍：学生两大思维障碍：1.知识欠整合知识欠整合 2.数感很迟钝数感很迟钝 探究型问题探究探究型问题探究变式四变式四:在矩形纸片在矩形纸片
24、ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=4BC=4，现将该纸，现将该纸片折叠，使点片折叠，使点A A与点与点C C重合，折痕交重合，折痕交ADAD、BCBC分别与分别与点点E E、F F，则，则EF=EF=.24？探究型问题探究24？xx4-x2G方法一：归纳：归纳：1、全等形、全等形2、勾股定理、勾股定理方法二：24？O552归纳：归纳：1、辅助线：连结对应点、辅助线：连结对应点2、轴对称性质、轴对称性质3、相似三角形性质、相似三角形性质探究型问题探究变式五变式五:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H
25、（1）如果P为AB边的中点，探究 PBE的三边之比.正方形的边长为2axaxa2xa2452,43axaax所以解得可得 PBE的三边之比3:4:5.探究型问题探究变式五变式五:将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F，边CD折叠后与AD边交于点H（1）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢?aPBEHAPHQF可求出梯形DCEF的面积:aM由CMECBPa45N由FNE CBPa41a253BAEFDCEFSS梯形梯形a探究型问题探究变式六变式六:将边长为将边长为2a2a的正方形的正方形ABCDABCD折叠，使顶点折叠，使顶点C C与与ABAB
26、边上的点边上的点P P重合，折痕交重合，折痕交BCBC于于E E，交，交ADAD于于F F，边边CDCD折折叠后与叠后与ADAD边交于点边交于点H H(2)(2)若若P P为为ABAB边上任意一点边上任意一点，还能求得，还能求得 PBE PBE的三边的三边之比吗之比吗?正方形的边长为正方形的边长为2ayxya2ya2不能求得三边之比解得.4422axayyayxCBEPEPBAHPHPAyxaBEPAAPH22aCAPH41贯彻从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想。贯彻从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想。2在在“变变“过程中的过程中的“不变不变”。xa2PBEHAP变式七变式七:将边长为将边
27、长为2a2a的正方形的正方形ABCDABCD折叠，使顶点折叠，使顶点C C与与ABAB边上的点边上的点P P重合，折痕交重合，折痕交BCBC于于E E，交，交ADAD于于F F，边边CDCD折折叠后与叠后与ADAD边交于点边交于点H H(3)(3)若若P P为为ABAB边上任意一点边上任意一点，四边形，四边形PEFQPEFQ的面积为的面积为S,PBS,PB为为x,x,试探究试探究S S与与x x的函数关系的函数关系,关求关求S S的最小值的最小值.正方形的边长为2ayxya2ya2xa2由PBEHAP?由PBEHQF?“科学是科学是在不断改变思维角度的探索中前进的。在不断改变思维角度的探索中前
28、进的。”变式训练让变式训练让中考复习课常新、善变中考复习课常新、善变,化枯燥为奇妙化枯燥为奇妙.中考中考命题命题“源于课本，高于课本源于课本，高于课本”，而变式训练通过课本题目，而变式训练通过课本题目的演变使学生了解命题的来龙去脉，丰富学生的考试经验。的演变使学生了解命题的来龙去脉，丰富学生的考试经验。变式训练能连一变式训练能连一串知识串知识,学生做题少学生做题少,收获大，真正摆脱题海战术收获大，真正摆脱题海战术;且能发且能发展学生的求异思维，发散思维，逆向思维，从而培养学展学生的求异思维，发散思维，逆向思维，从而培养学生多角度，全方位考虑问题的能力。生多角度，全方位考虑问题的能力。教师只有教
29、师只有钻研习题钻研习题,一题多变一题多变,才会使习题教学事半功倍才会使习题教学事半功倍,这个过程这个过程中中,教师的解题能力教师的解题能力,分析习题的能力也从中得到了切实分析习题的能力也从中得到了切实的提高的提高.解题策略解题策略2 2：重结果重结果“叠叠”心得：心得：先标等量，再构造方程。先标等量，再构造方程。折叠问题中构造方程的方法：折叠问题中构造方程的方法：（2 2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。）寻找相似三角形，根据相似比得方程。（1 1）把条件集中到一）把条件集中到一RtRt中，根据勾股定理得方程。中，根据勾股定理得方程。探究型问题探究重结果重结果折叠问题折叠问题折折叠叠程过重程
30、过重利用利用Rt利用利用相似相似方程思想方程思想轴对称轴对称全等性全等性对称性对称性质本质本精髓精髓探究型问题探究 例例11 11 把两个全等的等腰直角板把两个全等的等腰直角板ABCABC和和OPQOPQ叠放在一起，叠放在一起，如图如图1 1，且使三角板，且使三角板OPQOPQ的直角顶点的直角顶点O O与三角板与三角板ABCABC的斜边中点重合的斜边中点重合 现将三角板现将三角板OPQOPQ绕点绕点O O按顺时针方向旋转（旋转角按顺时针方向旋转（旋转角 满足条件满足条件 ），四边形），四边形CDOECDOE是旋转过程中两三角板的重叠部是旋转过程中两三角板的重叠部 分（如图分（如图2 2，图，图
31、3 3所示），已知两个三角板的直角边长均为所示），已知两个三角板的直角边长均为4 4 探究：（探究：（1 1）在上述旋转过程中，线段）在上述旋转过程中，线段ODOD与与OEOE之间有怎样的数量关之间有怎样的数量关 系系,以图以图2 2为例证明你的猜想为例证明你的猜想.题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索综合综合题型题型 图3 图2 图1 Q Q E E D D O O A A B B Q Q E E D D O O A A B B Q Q O O A A B B C C C C C C P P P P P P实验与推理实验与推理090 例例11 11 把两个全等的等腰直角板把两个全等的等腰直角
32、板ABCABC和和OPQOPQ叠放在一起，叠放在一起，如图如图1 1，且使三角板，且使三角板OPQOPQ的直角顶点的直角顶点O O与三角板与三角板ABCABC的斜边中点重合的斜边中点重合 现将三角板现将三角板OPQOPQ绕点绕点O O按顺时针方向旋转（旋转角按顺时针方向旋转（旋转角 满足条件满足条件 ），四边形），四边形CDOECDOE是旋转过程中两三角板的重叠部是旋转过程中两三角板的重叠部 分（如图分（如图2 2，图，图3 3所示），已知两个三角板的直角边长均为所示），已知两个三角板的直角边长均为4 4 探究：（探究：（2）连接）连接DEDE，在上述旋转过程中，设，在上述旋转过程中，设BDB
33、D ，OEDOED的面积的面积为为 ，求，求 与与 之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；的取值范围；题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索综合综合题型题型 图3 图2 图1 Q Q E E D D O O A A B B Q Q E E D D O O A A B B Q Q O O A A B B C C C C C C P P P P P P实验与推理实验与推理090 xxxyyx 例例11 11 把两个全等的等腰直角板把两个全等的等腰直角板ABCABC和和OPQOPQ叠放在一起，叠放在一起，如图如图1 1，且使三角板，且使三角板OPQOPQ的直角顶点的
34、直角顶点O O与三角板与三角板ABCABC的斜边中点重合的斜边中点重合 现将三角板现将三角板OPQOPQ绕点绕点O O按顺时针方向旋转（旋转角按顺时针方向旋转（旋转角 满足条件满足条件 ），四边形），四边形CDOECDOE是旋转过程中两三角板的重叠部是旋转过程中两三角板的重叠部 分（如图分（如图2 2，图，图3 3所示），已知两个三角板的直角边长均为所示），已知两个三角板的直角边长均为4 4 探究：（探究：（3 3）在（）在（2 2）的前提下，是否存在某一位置，使）的前提下，是否存在某一位置，使OED的面的面积恰好等于积恰好等于ABCABC面积的面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，？若存在
35、，求出此时的值；若不存在，说明理由。说明理由。题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索综合综合题型题型 图3 图2 图1 Q Q E E D D O O A A B B Q Q E E D D O O A A B B Q Q O O A A B B C C C C C C P P P P P P实验与推理实验与推理090516【点评】上面这题是通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探上面这题是通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探 索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜 想、证明等数学活动方面的能力此题关注了学生认识数学对
36、想、证明等数学活动方面的能力此题关注了学生认识数学对 象的过程与方法象的过程与方法 为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来 越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解 这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用探究型问题探究例例12如图如图1 1，四边形，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是是CDCD边上的一个动点
37、边上的一个动点(点点G G与与C C、D D不重合不重合)，以，以CGCG为一边在正方形为一边在正方形ABCDABCD外作正方形外作正方形CEFGCEFG，连结连结BGBG，DEDE我们探究下列图中线段我们探究下列图中线段BGBG、线段、线段DEDE的长度关系及的长度关系及所在直线的位置关系：所在直线的位置关系：（1 1）猜想如图猜想如图1 1中线段中线段BGBG、线段、线段DEDE的长度关系及所在直线的的长度关系及所在直线的位置关系；位置关系；将图将图1 1中的正方形中的正方形CEFGCEFG绕着点绕着点C C按顺时针按顺时针(或逆时针或逆时针)方向旋转方向旋转任意角度，得到如图任意角度，得
38、到如图2 2、如图、如图3 3情形请你通过观察、测量等方情形请你通过观察、测量等方法判断法判断中得到的结论是否仍然成立中得到的结论是否仍然成立,并选取图并选取图2 2证明你的判证明你的判断断题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索综合综合题型题型 实验与推理实验与推理题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索综合综合题型题型（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由评析：本题考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力。学生在探究时的猜想一般来说都是一些可预见的结果
39、，如：大小关系一般是相等或和差相等，平面内两直线关系一般是平行、垂直等。因此，学生的猜想可有一个大方向。同时，此类题型由于条件的变化，其探索过程也由简到难，可运用类比的方法依次求出，从而使学生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量。实验与推理实验与推理综合综合题型题型【点评】【点评】这些试题均体现新课标所倡导的“操作猜想探究证明”理念。每题在课本中均能找到落脚点，但改变了过去直接要求学生对命题证明的形式，而是按照：“给出特例猜想一般推理论证再次猜想”要求呈现，这对考查学生的创新意识是十分有益的，对教学也起到了正确的引导作用题型三：题型三：旋转与探索旋转与探索 动态探究题能够真实的
40、考查学生的知识水动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习数线段、动图问题），能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性。学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与综合题形式出现，有时也会主要以中档题与综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现。以选择题形式出现。题型一：题型一：点动型探索点动型探索综合综合题型题型 例13（2009年江西省）25如图1，在等腰梯形ABCD中AD平行BC
41、,E是AB的中点，过点E作EF平行BC交CD于点F.AB=4,BC=6,B=60度.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN平行AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=X.当点N在线段AD上时（如图2）,垂直PMN的形状是否发生改变？若不变，求出垂直PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使垂直PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值；若不存在，请说明理由.ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM解题策略解题策略
42、2 2：分类画出图形：分类画出图形解题策略解题策略1 1：化动为：化动为“静静”题型一：题型一：点动型探索点动型探索小结小结 一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化，即确定整个单点运动线段、三角形等）随之运动变化，即确定整个单点运动变化过程中图形中的变化过程中图形中的变量和不变量变量和不变量如本题中线段如本题中线段PMPM和和PMNPMN是两个不变量，线段是两个不变量，线段PNPN、MNMN是两个变量，以及是两个变量，以及MPNMPN的形状也在变化的形状也在变化 三要结合具体问题，建立方程或函数等数学模型，三要结合具
43、体问题，建立方程或函数等数学模型，达到解决问题的目的如本题中，假设达到解决问题的目的如本题中，假设PMN为等腰为等腰三角形，则分三角形，则分PM=PN,PM=MN,PN=MNPM=PN,PM=MN,PN=MN三种情况建立相等关三种情况建立相等关系，列出方程求解系，列出方程求解 二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一变量变量x x，表示图形中其它的变量，表示图形中其它的变量题型二：题型二：线动型探索线动型探索例例1414：已知：如图，AB是O的一条弦，点C为AB的中点，CD是 O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交O 于点F.(1)判断
44、图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论；(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋 转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出l在不 同位置时，使(1)的结论仍然成立的图 形，标上相应字母，选其中一个图形给 予证明.综合综合题型题型 例例15 15 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的
45、值（2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值 4t 题型三：题型三：图动型探索图动型探索综合综合题型题型 小结小结 一解答此类题要先画出各个关键时刻的图形，再由一解答此类题要先画出各个关键时刻的图形，再由“动动”变变“静静”设法分别求解，用分类思想画图的方法设法分别求解，用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，击破难点。击破难点。二要搞清楚图形的变化过程，探索图形运动的特点二要搞清楚图形的变化过程，探索图形运动的特点和规律，作出几种符合条件的草图并抓住图形在变化过和规律，作出几种符合条件的草图并抓住图形在变化过
46、程中的不变量，然后根据不同的情况来确定程中的不变量，然后根据不同的情况来确定T T值的分界值的分界点及变化范围，从而分类求出。点及变化范围，从而分类求出。复练：复练：60解题思路点拨解题思路点拨:1.特殊值特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）2.反演推理法反演推理法(反证法反证法)假设假设“存在存在”演绎推理演绎推理得出结论（合理或矛盾）。若合理，就得出结论（合理或矛盾）。若合理，就“存在存在”，这种方法为演绎法；，这种方法为演绎法；若矛盾，就若矛盾，就“不存在不存在”。3.分类讨论法分类讨论法（如以某边构建等腰三角形，就以该边为底、（如以
47、某边构建等腰三角形，就以该边为底、为腰两种情况来讨论等）为腰两种情况来讨论等）4.类比猜想法类比猜想法（即由一个问题的结论或解题方法类比猜想出即由一个问题的结论或解题方法类比猜想出另一类似问题的结论或解题方法另一类似问题的结论或解题方法,并加以证明并加以证明）1.1.融一些基本的、重要的知识于探索问题中。融一些基本的、重要的知识于探索问题中。2.2.结合探索型问题对数学思想进行考查。结合探索型问题对数学思想进行考查。3.3.与图形的三种变换结合在一起。与图形的三种变换结合在一起。4.4.与运动型问题相结合综合考查学生数学与运动型问题相结合综合考查学生数学 知识的应用能力。知识的应用能力。1.认真学习新课标，用课改理念来统领我们的教学。2.转变学习方式，注重过程教学，注重解题后的回 顾与反思，积极思考“能否变换条件”、“还能得到 哪些结论”等提升性问题3.以数学知识为载体，加强数学思想方法的教学。5.加强对学生自信心的培养。对任何一题都不抛弃，不放弃。4.加强对学生直觉思维能力和发散思维能力的培养。注意教学时的一题多解，鼓励创新，大力培养学生 的质疑精神，以提高学生分析问题的能力。6.应用现代教育技术于教学，让学生产生直观形象的 感觉，能大大提高学生的学习热情及学习效果。
