1、28.2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用(1)三边之间的关系三边之间的关系A C B cab直角三角形各元素之间的关系直角三角形各元素之间的关系a2b2=c2(勾股定理勾股定理)(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系 (3)边角之间的关系边角之间的关系AB=90斜边斜边A的对边的对边acsinA=cosA=斜边斜边A的邻边的邻边=bctanA=A的邻边的邻边A的对边的对边=ab 黄之涣在楼上要看到千里远黄之涣在楼上要看到千里远.鹳雀楼得有多高？鹳雀楼得有多高？OB在平面图形中，用什么图形可表示地球在平面图形中，用什么图形可表示地球?AP如图，用如图，用 O 表示地球表示地球.设点设点
2、 O为地球球心，为地球球心，BO为地球的半径，为地球的半径，BO=6370km.用什么图形表示鹳雀楼？用什么图形表示鹳雀楼？用线段用线段AB表示鹳雀楼表示鹳雀楼.设黄之涣在楼上的点设黄之涣在楼上的点 A看到千里远的点看到千里远的点P.显然显然AP是是 O 的切线，的切线，点点 P为切点为切点.PB=500km.OAPB如图，用如图，用 O 表示地球表示地球.设点设点 O为地球球心，为地球球心，BO为地球的半径，为地球的半径，BO=6370km.线段线段AB表示鹳雀楼表示鹳雀楼.设黄之涣在楼上的点设黄之涣在楼上的点A看到千里远的点看到千里远的点P.显然显然AP是是 O的切线，的切线，点点 P为切
3、点为切点.PB=500km.怎样求怎样求AB的长？的长？OAPB怎样求怎样求AB的长？的长？连接连接OP，AP是是 O 的切线，的切线，OPAP，BOP=?求求AB的长？的长？求求AO的长？的长？OAPB连接连接OP，AP是是 O 的切线，的切线，OPAP.PB=，180n Rn=180 50063704.5.即即AOP=4.5.PB=500km，cosAOP=OPAOAO=20(km).cos4.56370=6390.AB=AOOB=63906370鹳雀楼得有多高？鹳雀楼得有多高？要看到千里之外的远处，要登上要看到千里之外的远处，要登上20km的高楼，可能吗？的高楼，可能吗？“神舟神舟”九号
4、与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球表一号的组合体在离地球表面面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少点的距离是多少(地地球半径约为球半径约为 6 400 km，取取 3.142，结果取整数，结果取整数)？从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视从组合体中能直接看
5、到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图 分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点应是视线与地球相切时的切点OQFP 如图，如图，O表示地球，点表示地球，点F是飞船的位置，是飞船的位置，FQ是是 O的切线，切点的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点。是从飞船观测地球时的最远点。PQ 的长就是地面上的长就是地面上P、Q两点间的
6、距离两点间的距离.为计算为计算 的长需先求出的长需先求出POQ(即即).PQ解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离远点距离P点约点约2051km.cos=OQOF6400 34364000.9491，18.36.180 6400 18.362051.PQ的长为的长为OQFP=铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做夹角叫做仰角仰角；仰角仰角从上往下看，视线与水平线的夹角
7、叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.俯角俯角 例例:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高热气球与高楼的水平距离为楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高，这栋高楼有多高?=30=60120ABCD =30=60120ABCD RtABD中，中，a=30，AD120，所以利用解直角三，所以利用解直角三角形的知识求出角形的知识求出BD；类似地可以求出类似地可以求出CD，进而求出，进而求出BC解：如图，解：如图，a=30，=60，AD120，ADBC.答：这栋楼
8、高约为答：这栋楼高约为277m.=30=60ABCDtan=BDADtan =CDADBD=ADtan30=，=120 3340 3=.=120 3120 3BC=BDCD=403=160 3120 3CD=ADtan60277.=1601.7 1.建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC 40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角50，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度，求旗杆的高度(精确到精确到0.1m).ABCD40m5045ABCD40m5045解：在解：在 BCD中中,ACD=90,BDC=45，DC=BC=40m.在在RtACD中中A
9、B=ACBC=47.640=7.6.答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为7.6m.DBC=BDC，tanADC=ACDCAC=DCtan5047.6.=401.19 ABCD40m5045 2.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多多远正好能使远正好能使A，C，E成一直线成一直线(精确到精确到0.1m).50140520mABCED50140520mABCEDBED=ABDD=90.答：开挖点答：开挖点
10、E离点离点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，则在同一直线上，则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角.cosBDE=DEBDDE=BDcos50332.8.=5200.64 应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：(1)将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化画出平面图形，转化为解直角三角形的问题为解直角三角形的问题)；(2)根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案得到实际问题的答案如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量中的量如图，如图，PA 切切 O 于点于点 A，PO 交交 O 于点于点 B，O 的半径为的半径为 1 cm，PB=1.2 cm，则，则AOB=，=OAPBAB
