1、数学专题二一一.引入两个重要的空间向量引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是2121 21(,)A B x x y y z z zxyAB2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面平面的法向量的法向量.n 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直
2、线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.abn(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.11122200 xx yy zzxx y y z z 例例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xy
3、z,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=120 xzy解得:2020 x yzx yz 得:1OA1OD 由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.若ab,即a=b,则ab.若ab,即ab=0,则ababab 例例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD
4、=,求证:C C1BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是 a b =c(a b)=ca cb =|c|a|cos|c|b|cos=0 C C1BDCDCB1CCBDCBCD 1CCBD(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L .若an,即a=n,则 L 若an,即an=0,则a .nanaLL 例例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D
5、-xyz.则 A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E 平面DBC1(2),而 n=-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx)1,0,2(1EA)2,3,1(1AB1AB(3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为n1,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则 若n1n2,即n1 n2=0,则n2n1n1n2 例例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
6、,求证:平面AED平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,0202yzx021yzx平平面AED平面A1FDn1 n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得)1,0,2(AE)0,2,0(AD于是 ，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向
7、量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.BC A MxzyB1C1D1A1CD 解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么 M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),30153452444041042cos=|cos|CM1DB设DB1与CM所成角为,与 所成角为,)0,2,1(CM)2,2,2(1DB于是：(2)直线与与平面所成的角 若n是平面的法向量,a是直线L的方向向量,设L与所成的角,n
8、与与a所成的角 则 =-或=-于是,因此n|cos|sinnananana|arcsinnana22naa 例例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。a2zxyC1A1B1ACBO 解:建立如图示的直角坐标系,则 A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得 由 ，解得 ，取y=,得n=(3,0)，设 与n夹角为夹角为 而 故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.2aa23a22a2a)2,0,0(),0,23,2(1aAAaaAB0200232azayxa03zyx33)2
9、,0,(1aaAC21332320039|003|cos|sin22aaaaa.30（3）二面角 设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2n1n2 例例7 在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1
10、，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .)0,1,1(),1,1,1(CDSC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,66610014111,coscos21nn66arccos3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条
11、异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值线的方向向量模的比值.nabAB,|nnABnnABd 例例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-
12、1,-1,2).,异面直线AC1与BD间的距离)0,1,1(),1,1,1(1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0,0,1(AB66411|001|nnABd(2)点到平面的距离 A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值的比值.|,cos|sin|nABABABAH|nABnABAB|nnABnABH|nnABd 例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,
13、AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.2zxyCC1A1B1AB 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则 C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(-,0,1).,或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.22),0,1,0(),2,0,1(1CBCA得取得,1,02,002zyzxyzx)2,0,0(1BB2363212|200|1nnBBd)0,1,1(11BA363212|002|11nnBAd)2,1,0(1CB363212|200|1nnCBd 会求了
14、点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.xzyPBEADCF解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2 ,0),C(2,2 ,0),D(-2,2 ,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1,2).n 2+6-8=0，故PC面BED,PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.333),2,32,2(),2,0,4(DEBE得取得,2,232,02322024zzyzxzyxzx)4,32,2(PC3PC)2,0,0(EP24314|nnEPd 空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
