1、第 1 页 共 21 页 2020 届北京市海淀区高三上学期期末数学试题届北京市海淀区高三上学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1 已知集合 已知集合1,2,3,4,5,6U ，13,5A,，2,3,4B ， 则集合， 则集合 U AB是是( ) A1,3,5,6 B1,3,5 C1,3 D1,5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 U AB. 【详解】 集合1,2,3,4,5,6U ，13,5A,，2,3,4B ，则1,5,6 UB ， 因此，1,5 U AB . 故选：D. 【点睛】 本题考查交集与补集的混合运算， 熟悉交集和补集的定义是解题的关键， 考
2、查计算能力， 属于基础题. 2抛物线抛物线 2 4yx的焦点坐标为（的焦点坐标为（ ） A1,0 B1,0 C0, 1 D0,1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p ， 可得： 1 2 p ，即焦点坐标为1,0 . 本题选择 B 选项. 3下列直线与圆下列直线与圆 22 112xy相切的是（相切的是（ ） Ay x By x C2yx D2yx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方 程即可. 【详解】 由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为1,
3、1，圆心与原点连线的斜率为1， 第 2 页 共 21 页 所以，圆 22 112xy在原点处的切线方程为y x . 故选：A. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4已知已知a、bR，且，且ab，则（，则（ ） A 11 ab Bsinsinab C 11 33 ab D 22 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】 对于 A 选项，取1a ，1b ，则ab成立，但 11 ab ，A 选项错误； 对于 B 选项，取a ，0b ，则ab成立，但sinsin0，即sinsinab ，B 选项错误
4、； 对于 C 选项，由于指数函数 1 3 x y 在R上单调递减，若ab，则 11 33 ab ，C 选项正确； 对于 D 选项，取1a ，2b ，则ab，但 22 ab，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】 本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断， 考查推理能力，属于中等题. 5在在 5 1 x x 的展开式中，的展开式中， 3 x的系数为（的系数为（ ） A5 B5 C10 D10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】写出二项展开式的通项，令x的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算 出 3 x的系数. 【详解】 5 1 x x 的展开式通项为 55
5、2 55 1 1 k k kkkk CxCx x ， 令5 23k， 得1k . 因此， 3 x的系数为 1 5 15C . 第 3 页 共 21 页 故选：A. 【点睛】 本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算， 考查计算能力，属于基础题. 6 已知平面向量 已知平面向量a、b、c满足满足 0abc ， 且， 且1abc， 则， 则a b 的值为 （的值为 （ ） ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由等式 0abc 得a bc ，等式两边平方可求出a b 的值. 【详解】 由 0abc 可得a bc ，
6、等式两边平方得 222 2caba b ，即 221a b ， 因此， 1 2 a b . 故选：A. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属 于中等题. 7已知已知、是三个不同的平面，且是三个不同的平面，且 m ， n ，则，则“/m n”是是“/ ” 的（的（ ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断 出“/m n”是“/ ”的必要而
7、不充分条件. 【详解】 如下图所示，将平面、视为三棱柱的三个侧面，设a，将a、m、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“/m n”“/ ”； 第 4 页 共 21 页 另一方面，若/ ，且 m ， n ，由面面平行的性质定理可得出/m n. 所以，“/ ”“ /m n”，因此，“/m n”是“ / ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断， 同时也考查了空间中平行关系的判断， 考查推理能力， 属于中等题. 8已知等边已知等边ABC边长为边长为3，点，点D在在BC边上，且边上，且BDCD，7AD .下列结论下列结论 中错误的是（中错误的是（ ） A2 BD CD
8、B 2 ABD ACD S S C cos 2 cos BAD CAD Dsin2 sin BAD CAD 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用余弦定理计算出BD，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行 判断. 【详解】 如下图所示： 点D在BC边上，且BDCD， 13 22 BDBC， 由余弦定理得 222 2cos 3 ADABBDAB BD ，整理得 2 320BDBD， 3 2 BD ，解得2BD ，1CD ，则 2 ABD ACD SBD SCD ， 第 5 页 共 21 页 由正弦定理得sin sin sin 3 BDADCD BADCAD ，所以， sin 2 sin
9、BADBD CADCD . 由余弦定理得 222 2 7 cos 27 ABADBD BAD AB AD ， 同理可得 5 7 cos 14 CAD ， 则 cos2 7144 2 cos755 7 BAD CAD . 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理 的应用，考查计算能力，属于中等题. 9声音的等级声音的等级 f x（单位：（单位：dB）与声音强度）与声音强度x（单位：（单位： 2 /Wm）满足 ）满足 12 10 lg 1 10 x f x . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般
10、说话时，；一般说话时， 声音的等级约为声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （ ） A 6 10倍 倍 B 8 10倍 倍 C 10 10倍倍 D 12 10 倍倍 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 1 x、 2 x，根据题 意得出 1 140f x， 2 60f x，计算出 1 x和 2 x的值，可计算出 1 2 x x 的值. 【详解】 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 1 x、 2 x， 由题意可得 1 1 12 10
11、lg140 1 10 x f x ，解得 2 1 10x ， 2 2 12 10 lg60 1 10 x f x ，解得 6 2 10x ，所以， 8 1 2 10 x x ， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 8 10倍， 故选：B. 【点睛】 本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属 于中等题. 第 6 页 共 21 页 10若点若点N为点为点M在平面在平面上的正投影，则记上的正投影，则记 NfM .如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方的正方 体体 1111 ABCDABC D中，记平面中，记平面 11 ABC D为为，平面，平面A
12、BCD为为，点，点P是棱是棱 1 CC上上 一动点（与一动点（与C、 1 C不重合）不重合） 1 QffP ， ， 2 QffP .给出下列三个结论： 给出下列三个结论： 线段线段 2 PQ长度的取值范围是长度的取值范围是 12 , 22 ； 存在点存在点P使得使得 1/ PQ平面平面； 存在点存在点P使得使得 12 PQPQ . 其中，所有正确结论的序号是（其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系Dxyz， 设点P的坐标为0,1,01aa， 求出点 1 Q、
13、 2 Q的坐标， 然后利用向量法来判断出命题的正误. 【详解】 取 1 C D的中点 2 Q， 过点P在平面 11 ABC D内作 1 PEC D， 再过点E在平面 11 CC D D 内作 1 EQCD，垂足为点 1 Q. 在正方体 1111 ABCDABC D中，AD 平面 11 CC D D，PE 平面 11 CC D D， PEAD， 又 1 PEC D， 1 ADC DD，PE 平面 11 ABC D， 即PE， fPE ， 同理可证 1 EQ，CQ，则 1 ffPfEQ ， 2 ffPfCQ . 第 7 页 共 21 页 以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x轴、
14、y轴、z轴建立空间直角 坐标系Dxyz， 设01CPaa， 则0 , 1 ,Pa，0,1,0C， 11 0, 22 aa E ， 1 1 0,0 2 a Q ， 2 1 1 0, 2 2 Q . 对于命题， 2 2 11 42 PQa ，01a，则 111 222 a，则 2 11 0 24 a ，所以， 2 2 1112 , 4222 PQa ，命题正确； 对于命题， 2 CQ，则平面的一个法向量为 2 1 1 0, 2 2 CQ ， 1 1 0, 2 a PQa ，令 21 11 3 0 424 aaa CQPQ ，解得 1 0,1 3 a ， 所以，存在点P使得 1/ PQ平面，命题正确
15、； 对于命题， 2 1 12 0, 22 a PQ ，令 12 211 0 42 aaa PQ PQ ， 整理得 2 4310aa ，该方程无解，所以，不存在点P使得 12 PQPQ，命题错 误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义， 利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 第 8 页 共 21 页 二、填空题二、填空题 11在等差数列在等差数列 n a中中,若若 25 5,2aa,则则 7 a . 【答案】【答案】0 【解析】【解析】试题分析：设等差数列 n a的公差为d，由已知得 52 33aad ，所以
16、1d ，所以 72 5550aad 【考点】等差数列的通项公式. 12若复数若复数 1i i z + =，则，则z _. 【答案】【答案】 2 【解析】【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算 出z的值. 【详解】 2 11 11 iii zi ii ii ，因此， 2 2 112z . 故答案为： 2. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题. 13已知点已知点0, 3A，点，点B、C分别为双曲线分别为双曲线 22 2 10 3 xy a a 的左、右顶点的左、右顶点.若若 ABC为正三角形，则该双曲线的离心率
17、为为正三角形，则该双曲线的离心率为_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】根据ABC为等边三角形求出a的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲 线的离心率. 【详解】 由于ABC为正三角形，则 3 tan3 OA ABC OBa ，得1a . 所以，双曲线的半焦距为 2 32ca ，因此，该双曲线的离心率为 2 2 1 c e a . 故答案为：2. 【点睛】 第 9 页 共 21 页 本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算 能力，属于基础题. 14已知函数已知函数 a f xx x 在区间在区间1,4上存在最小值，则实数上存在最小值，则实数a的的取值范围
18、是取值范围是 _. 【答案】【答案】1,16 【解析】【解析】由题意可知，函数 yf x在区间1,4上存在极小值，分0a 和0a 两 种情况讨论，分析函数 yf x在区间1,4上的单调性，在0a 时求出函数 yf x的极值点xa，可得出14a，解出即可. 【详解】 a f xx x ， 2 22 1 axa fx xx . 当0a 时，对任意的1,4x， 0fx ，此时，函数 yf x在区间1,4上为 增函数，则函数 yf x在区间1,4上没有最小值； 当0a 时，令 2 2 0 xa fx x ，可得x a， 当0xa时， 0fx ，当xa时， 0fx ， 此时，函数 yf x的极小值点为x
19、a，由题意可得14a，解得116a. 因此，实数a的取值范围是1,16. 故答案为：1,16. 【点睛】 本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查 运算求解能力，属于中等题. 15用用“五点法五点法”作函数作函数 sinf xAx的图象时，列表如下：的图象时，列表如下： x 1 4 1 2 5 4 2 11 4 x 0 2 3 2 2 f x 0 2 0 2 0 第 10 页 共 21 页 则则1f _， 1 0 2 ff _. 【答案】【答案】2 0 【解析】【解析】根据表格中的数据求出A、的值，可得出函数 yf x的解析式，然 后代值计算可得出1f 和
20、1 0 2 ff 的值. 【详解】 由表格中的数据可知， max2Af x， 函数 yf x的最小正周期为 111 3 44 T ， 22 3T ， 2 2sin 3 f xx ，当 1 2 x 时，则 21 322 ，解得 6 ， 则 2 2sin 36 f xx ， 2 12sin2sin2 632 f ， 1 02sin2sin0 266 ff . 故答案为：2；0. 【点睛】 本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查 计算能力，属于中等题. 16已知曲线已知曲线 4422 :1C xymx y（m为常数）为常数）. （i）给出下列结论：）给出下列结论
21、： 曲线曲线C为中心对称图形；为中心对称图形； 曲线曲线C为轴对称图形；为轴对称图形； 当当1m 时，若点时，若点,P x y在曲线在曲线C上，上，则则1x 或或1y . 其中，所有正确结论的序号是其中，所有正确结论的序号是_. （ii） 当） 当2m时， 若曲线时， 若曲线C所围成的区域的面积小于所围成的区域的面积小于， 则， 则m的值可以是的值可以是_. （写出一个即可）（写出一个即可） 【答案】【答案】 2m均可 第 11 页 共 21 页 【解析】【解析】 （i）在曲线C上任取一点,P x y，将点 1 ,Pxy、 2 ,P xy、 3 ,Px y 代入曲线C的方程， 可判断出命题的正
22、误， 利用反证法和不等式的性质可判断出命 题的正误； （ii）根据2m时，配方得出 22 1xy，可知此时曲线C为圆，且圆的面积为， 从而得知当2m时，曲线C所表示的图形面积小于. 【详解】 （i）在曲线C上任取一点,P x y，则 4422 1xymx y， 将点 1 ,Pxy代入曲线C的方程可得 4422 1xymxy ， 同理可知，点 2 ,P xy、 3 ,Px y都在曲线C上，则曲线C关于原点和坐标轴对称， 命题正确. 当1m 时， 2 4422222 13 1 24 xyx yxyy ，反设1x 且1y ， 则 2 01x， 2 01y，所以， 22 111 222 xy，则 2
23、22 11 0 24 xy ， 所以， 2 4422222 13 1 24 xyx yxyy ，这与 4422 1xyx y矛盾. 假设不成立，所以，1x 或1y ，命题正确； （ii）当2m时，曲线C的方程为 4422 21xyx y，即 2 22 1xy，即 22 1xy， 此时，曲线C表示半径为1的圆，其面积为. 当2m时，且当0xy 时，在圆 22 1xy上任取一点,P x y，则 2 2244224422 12xyxyx yxymx y，则点P在曲线外，所以，曲线C 的面积小于圆的面积. 故答案为：；2m均可. 【点睛】 本题考查曲线中的新定义， 涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问
24、题， 考查推理能力， 属于难题. 三、解答题三、解答题 第 12 页 共 21 页 17已知函数已知函数 2 1 cos3sin cos 2 f xxxx . （）求函数）求函数 f x的单调递增区间；的单调递增区间； （）若）若 f x在区间在区间0,m上的最大值为上的最大值为1，求，求m的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （）, 36 kkkZ ； （） 6 . 【解析】【解析】 （） 利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数 yf x的解析式变形为 sin 2 6 f xx ，然后解不等式222 262 kxkkZ ，即可 得出函数 yf x的单调递增区间； （）由0,xm，2,2 6
25、66 xm ，结合题意得出2 62 m ，即可求出 实数m的最小值. 【详解】 （） 1 cos23131 sin2sin2cos2sin 2 222226 x f xxxxx ， 因为 sinyx 的单调递增区间为2,2 22 kkk Z， 令22,2 622 xkkk Z，得, 36 xkkk Z. 所以函数 yf x的单调递增区间为, 36 kkk Z； （）因为0,xm，所以2,2 666 xm . 又因为0,xm， sin 2 6 f xx 的最大值为1， 所以2 62 m ，解得 6 m ，所以m的最小值为 6 . 【点睛】 本题考查三角函数的单调性以及最值的求解， 解题的关键就是
26、利用三角恒等变换思想将 三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题. 第 13 页 共 21 页 18如图，在三棱锥如图，在三棱锥VABC中，平面中，平面VAC 平面平面ABC，ABC和和VAC均是等腰均是等腰 直角三角形，直角三角形，ABBC，2ACCV，M、N分别为分别为VA、VB的中点的中点. （）求证：）求证：/AB平面平面CMN； （）求证：）求证：ABVC； （）求直线）求直线VB与平面与平面CMN所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （）证明见解析； （）证明见解析； （） 2 2 3 . 【解析】【解析】 （）由中位线的性质得出/MN AB，然后利用直线与平面平行
27、的判定定理可 证明出/AB平面CMN； （）由已知条件可知VCAC，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC 平面 ABC，即可得出ABVC； （）以C为原点，CA、CV所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，利用 空间向量法求出直线VB与平面CMN所成角的正弦值. 【详解】 （） 在VAB中，M、N分别为VA、VB的中点， 所以MN为中位线， 所以/MN AB. 又因为AB 平面CMN，MN 平面CMN，所以/AB平面CMN； （）在等腰直角三角形VAC中，ACCV，所以VCAC. 因为平面VAC 平面ABC，平面VAC平面ABCAC， VC 平面VAC， 所以VC 平面ABC. 又因为A
28、B平面ABC，所以ABVC； （）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC，由（）知，VC 平面ABC， 因为CH 平面ABC，所以VCCH. 如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz. 第 14 页 共 21 页 则0,0,0C，0,0,2V，1,1,0B，1,0,1M， 1 1 ,1 2 2 N . 1,1, 2VB ，1,0,1CM ， 1 1 ,1 2 2 CN . 设平面CMN的法向量为, ,nx y z，则 0 0 n CM n CN ，即 0 11 0 22 xz xyz . 令1x 则1y ，1z ，所以()1,1,1n=-. 直线VB与平面CMN所成角大小为， 2 2 sinc
29、os, 3 n VB n VB n VB . 所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为 2 2 3 . 【点睛】 本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直 线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19某市城市总体规划（某市城市总体规划（20162035年） 提出到年） 提出到2035年实现年实现“15分钟社区生活圈分钟社区生活圈” 全覆盖的目标， 从教育与文化、 医疗与养老、 交通与购物、 休闲与健身全覆盖的目标， 从教育与文化、 医疗与养老、 交通与购物、 休闲与健身4个方面构建个方面构建“15 分钟社区生活圈分钟社区生活圈”指
30、标体系，并依据指标体系，并依据“15分钟社区生活圈分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质指数高低将小区划分为：优质 小区（指数为小区（指数为0.61） 、良好小区（指数为） 、良好小区（指数为0.40.6） 、中等小区（指数为） 、中等小区（指数为0.20.4） 以及待改进小区 （指数为以及待改进小区 （指数为00.2）4个等级个等级.下面是三个小区下面是三个小区4个方面指标的调查数据：个方面指标的调查数据： 第 15 页 共 21 页 注： 每个小区注： 每个小区“15分钟社区生活圈分钟社区生活圈”指数指数 1 1223344 TwTw TwTw T， 其中， 其中 1 w、 2 w、
31、3 w、 4 w为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的权重， 1 T、 2 T、 3 T、 4 T为该小区四个方面的指标值（小区每为该小区四个方面的指标值（小区每 一个方面的指标值为一个方面的指标值为01之间的一个数值）之间的一个数值）. 现有现有100个小区的个小区的“15分钟社区生活圈分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组分组 0,0.2 0.2,0.4 0.4,0.6 0.6,0.8 0.8,1 频数频数 10 20 30 30 10 （）分别判断）分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；三个小区是否是优质小区，并说明
32、理由； （） 对这） 对这100个小区按照优质小区、 良好小区、 中等小区和待改进小区进行分层抽样，个小区按照优质小区、 良好小区、 中等小区和待改进小区进行分层抽样， 抽取抽取10个小区进行调查，若在抽取的个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，个小区做深入调查， 记这记这2个小区中为优质小区的个数为个小区中为优质小区的个数为，求，求的分布列及数学期望的分布列及数学期望. 【答案】【答案】 （）A、C小区不是优质小区；B小区是优质小区；见解析； （）分布列 见解析，数学期望 4 5 . 【解析】【解析】 （）计算出每个小区的指数值，根据判断三
33、个小区是否为优质小区； （）先求出10个小区中优质小区的个数，可得出随机变量的可能取值，然后利用 超几何分布的概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率， 可得出随机变量的分 布列，利用数学期望公式可计算出随机变量的数学期望值. 第 16 页 共 21 页 【详解】 （）A小区的指数0.7 0.20.7 0.20.5 0.320.5 0.280.58T ， 0.580.60，所以A小区不是优质小区； B小区的指数0.9 0.20.6 0.20.7 0.320.6 0.280.692T ， 0.6920.60，所以B小区是优质小区； C小区的指数0.1 0.20.3 0.20.2 0.320.1
34、0.280.172T ， 0.1720.60，所以C小区不是优质小区； （） 依题意， 抽取10个小区中， 共有优质小区 30 10 104 100 个， 其它小区1046 个. 依题意的所有可能取值为0、1、2. 2 6 2 10 151 0 453 C P C ， 11 46 2 10 248 1 4515 C C P C ， 2 4 2 10 62 2 4515 C P C . 则的分布列为： 0 1 2 P 1 3 8 15 2 15 1824 012 315155 E . 【点睛】 本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要 结合题意得出随机变量所满
35、足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中 等题. 20已知椭圆已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右顶点的右顶点 2,0A，且离心率为，且离心率为 3 2 （）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （）设）设O为原点，过点为原点，过点O的直线的直线l与椭圆与椭圆C交于两点交于两点P、Q，直线，直线AP和和AQ分别分别 与直线与直线4x 交于点交于点M、N，求，求APQ与与AMN面积之和的最小值面积之和的最小值. 【答案】【答案】 （） 2 2 1 4 x y； （）最小值为4. 第 17 页 共 21 页 【解析】【解析】 （）设椭圆C的焦距为20c c ，根据题意列出
36、关于a、b、c的方程组， 求出这三个量的值，即可求出椭圆C的方程； （）设点 00 ,Q xy，可得出点P坐标为 00 ,xy，求出点M、N的坐标，求出 APQ与 AMN面积之和的表达式，结合等式 22 00 44xy，利用基本不等式可求出 APQ与 AMN面积之和的最小值. 【详解】 （） 设椭圆C的焦距为20c c ， 依题意， 得 222 2 3 2 0 a c a cabab ， 解得 2 1 a b . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； （）设点 00 ,Q xy，依题意，点P坐标为 00 ,xy， 满足 2 2 0 0 1 4 x y（ 0 22x 且 0 0y ） ，
37、 直线QA的方程为 0 0 2 2 y yx x ，令4x ，得 0 0 2 2 y y x ，即 0 0 2 4, 2 y N x . 直线PA的方程为 0 0 2 2 y yx x ，同理可得 0 0 2 4, 2 y M x . 设B为4x 与x轴的交点. 00 0 00 221111 222 222222 APQAMNPQMN yy SSOAyyAByyy xx 0000 2 000 114 2222 224 yyyy xxx . 又因为 22 00 44xy， 0 0y ，所以 0000 2 000 122 2222 24 APQAMN SSyyyy yyy . 当且仅当 0 1y
38、取等号，所以 APQAMN SS 的最小值为4. 【点睛】 第 18 页 共 21 页 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算 能力，属于中等题. 21已知函数已知函数 2 10 x f xeaxa . （）求曲线）求曲线( )yf x在点在点 0,0f处的切线方程；处的切线方程； （）若函数）若函数 f x有极小值，求证：有极小值，求证： f x的极小值小于的极小值小于1 . 【答案】【答案】 （） 1yx； （）证明见解析. 【解析】【解析】 （）求出函数 yf x的导数 fx ，求出 0f和 0 f 的值，然后利用 点斜式可写出所求切线的方程； （）
39、设函数 yf x的两个极值点分别为 1 x、 2 x，且 12 xx，由韦达定理可得知 12 0xx，然后利用函数 yf x在区间 2,0 x上的单调性可证明出结论成立. 【详解】 （）由已知得 2 21 x fxeaxax，因为 01f， 01 f ， 所以直线l的方程为 1yx； （） 2 21 x fxeaxax，令 2 21g xaxax， 2 44aa . （i）当0 时，即当01a时，xR ， 0fx ， 所以，函数 yf x在R上是单调递增函数，此时，函数 yf x在R上无极小值； （ii）当时，即当1a 时，记 1 x、 2 x是方程 2 210axax 的两个根，不妨设 12
40、 xx，则 12 12 20 1 0 xx x x a ，所以 12 0xx. 此时 fx ， f x随x的变化如下： x 1 ,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以，函数 yf x的极小值为 2 f x， 第 19 页 共 21 页 又因为函数 yf x在 2,0 x单调递增，所以 2 01f xf. 所以，函数 yf x的极小值小于1. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的切线方程， 同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等 式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 22给定整数给定整数2n n ，数列，数列 211 : n Ax 、 2
41、 x、 21n x 每项均为整数，在每项均为整数，在 21n A 中去中去 掉一项掉一项 k x，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之 差的最大值记为差的最大值记为1,2,21 k mkn. 将将 1 m、 2 m、 21n m 中的最小值称为数列中的最小值称为数列 21n A 的特征值的特征值. （）已知数列）已知数列 5:1 A、2、3、3、3，写出，写出 1 m、 2 m、 3 m的值及的值及 5 A的特征值；的特征值； （）若）若 1221n xxx ，当，当110injn ，其中，其中i、 1,2,21jn且且i j 时，判断时，判断 ij mm与与 ij xx的大小关系，并说明理由；的大小关系，并说明理由； （）已知数列）已知数列 21n A 的特征值为的特征值为1n，求，求 121 ij ijn xx 的最小值的最小值. 【答案】【答案】
