1、第 1 页 共 12 页 2020 届北京市西城区第四中学高三上学期届北京市西城区第四中学高三上学期 10 月月考数学试月月考数学试 题题 一、单选题一、单选题 1tan690的值为（的值为（ ） A 3 3 B3 C 3 3 D3 【答案】C 【解析】【解析】试题分析：因 0000 30tan)30720tan(690tan 3 3 ,故应选 C. 【考点】诱导公式及运用. 2设数列设数列an是等差数列，若是等差数列，若 a3+a4+a512，则，则 a1+a2+a7（ ） A14 B21 C28 D35 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据等差数列性质得到 4 4a ，再计算 1274
2、 7aaaa得到答案. 【详解】 数列an是等差数列，则 34544 3142aaaaa； 1247 728aaaa 故选：C 【点睛】 本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3设设，则，则“”是是“”的（的（ ） ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 ，得 成立；若 ，得 【详解】 若 ，得 成立；反之，若 第 2 页 共 12 页 ，得 故选：C. 【点睛】 本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.
3、 4定义：定义： ab adbc cd ，若复数，若复数 z 满足满足 1 1 2 z i ii ，则，则 z 等于（等于（ ） A1+i B1i C3+i D3i 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据定义得到 1z zii ii ，代入数据化简得到答案. 【详解】 根据题意知： 1 1 1 21 z i ziiizi iii 故选：B 【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5 已知集合 已知集合 5 12,1, 1 Mx xxRPxxZ x ， 则， 则MP等于 （等于 （ ） ） A0 3,xxxZ B03,xxxZ C1 0,xxxZ D10,xxxZ 【答案】【
4、答案】B 【解析】【解析】解绝对值不等式可得集合 M,解分式不等式可得集合 P,即可求得MP。 【详解】 集合12,Mx xxR 解绝对值不等式12x ,可得13Mxx 集合 5 1, 1 PxxZ x 解分式不等式 5 1, 1 xZ x ,可得 14,PxxxZ 第 3 页 共 12 页 则 1314,03,MPxxxxxZxxxZ 故选:B 【点睛】 本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。 6在同一坐标系内，函在同一坐标系内，函数数 11 ( )2, ( )2 xx f xg x 的图象关于（的图象关于（ ） A原点对称原点对称 Bx 轴对称轴对称 C
5、y 轴对称轴对称 D直线直线 y=x 对称对称 【答案】【答案】C 【解析】【解析】因为 1 ( )2() x g xfx ，所以两个函数的图象关于 y 轴对称，故选 C。 7函数函数 11 2 ln x y （） 在点在点 P（2，k）处的切线是（）处的切线是（ ） Ax2y0 Bxy10 Cx2y10 D2x2y30 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求导得到 1 21 y x ，当2x 时， 11 , 22 yy，计算得到切线方程. 【详解】 1 ln11 221 x yy x （） ，当2x 时， 11 , 22 yy 故切线方程为： 11 2210 22 yxxy 故选：C 【点睛
6、】 本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力. 8 函数 函数在定义域在定义域 内可导， 若内可导， 若， 且当， 且当时，时， 设， 设， ，则（，则（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解：x（-，1）时，x-10，由（x-1）f（x）0，知 f（x）0， 所以（-，1）上 f（x）是增函数 f（x）=f（2-x） ， f（3）=f（2-3）=f（-1） 所以 f（-1）（0）， 第 4 页 共 12 页 因此 cab 故选 B 9已知已知 f x是定义在是定义在R上的周期为上的周期为4的奇函数，当的奇函数，当 0,2x时，时， 2 lnf xxx， 则则2
7、019f（ ） A1 B0 C1 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由函数 yf x的周期性和奇函数的性质可得出 201911fff ，代入解析式可得出2019f的值. 【详解】 由于函数 yf x定义在R上的周期为4的奇函数，且当0,2x时， 2 lnf xxx， 2 20194 505 1111ln11ffff ，故选 A. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一 般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运 算求解能力，属于中等题. 10设函数设函数 f（x）3sin x m ，若存在，若存在 f（x
8、）的极值点）的极值点 x0满足满足 x02+f（x0）2m2， 则则 m 的取值范围的取值范围是（是（ ） A （ （，6）（6，+） B （ （，4）（4，+） ） C （ （，2）（2，+） D （ （，1）（1，+） ） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求导得到 3cos x fx mm ，计算得到 0 , 2 m xmk kZ，代入式子化 简得到 22 3 30 4 kkm ，取0k 或1k 时计算得到答案. 【详解】 3sin x f x m ，则 3cos x fx mm 故 00 00 3cos0, 22 xxm fxkxmk kZ mmm 第 5 页 共 12 页 2 22
9、2222 00 3 330, 24 m mxf xkmkkmkZm （ ） 当0k 或1k 时得： 2 3 302 4 mm 或2m 故选：C 【点睛】 本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力. 二、填空题二、填空题 11函数函数 f（x） 1 2 1 21logx （）的定义域是 的定义域是_ 【答案】【答案】 （ 1 2 ，0）（0，+） 【解析】【解析】根据定义域定义得到 1 2 210 log210 x x （） 计算得到答案. 【详解】 函数 1 2 1 2log1 f x x （）的定义域满足： 1 2 210 1 00, log210 2 x x x ， （）
10、 故答案为： 1 00, 2 ， 【点睛】 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 12 曲线曲线 x ye在点在点 2 2,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 【答案】【答案】 2 2 e 【解析】【解析】解析：依题意得 y=ex，因此曲线 y=ex在点 A（2，e2）处的切线的斜率等于 e2， 相应的切线方程是 y-e2=e2（x-2） ，当 x=0 时，y=-e2即 y=0 时，x=1，切线与坐标轴所 围成的三角形的面积为： 2 2 1e Se1 22 13已知等比数列已知等比数列 n a的公比为的公比为 2,前前 n 项和为项和为 n
11、S,则则 4 2 S a =_. 第 6 页 共 12 页 【答案】【答案】15 2 【解析】【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4= 2 a q a2a2qa2q2， 得 4 2 S a 1 q 1qq2=15 2 . 14如图，设如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在的同侧，在 A 所在的河岸边选定所在的河岸边选定 一点一点 C，测出，测出 AC 的距离为的距离为 50 m，ACB45 ，CAB105 后，则后，则 A，B 两点的距两点的距 离离 为为 m 【答案】【答案】 【解析】【解析】由正弦定理得 15已知函数已知函数 2 (
12、 )lnf xxxx，且，且 0 x是函数是函数( )f x的极值点。给出以下几个命题：的极值点。给出以下几个命题： 0 1 0x e ； 0 1 x e ； 00 ()0f xx； 00 ()0f xx 其中正确的命题是其中正确的命题是_ （填出所有正确命题的序号） （填出所有正确命题的序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】试题分析：的定义域为，所以有 ，所以有即即 ，所以有； 因为，所以有 。 【考点】导数在求函数极值中的应用 第 7 页 共 12 页 16设函数设函数 f（x） 21 421 x ax xaxax ， （）（）， ， 若若 a1，则，则 f（x）的最小值为）的最小值为
13、_； 若若 f（x）恰有）恰有 2 个零点，则实数个零点，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】1 1 2 a1，或 a2 【解析】【解析】分别计算1x 和1x 的最小值，比较得到答案. 设 h（x）2xa，g（x）4（xa） （x2a） ，讨论 h x有一个零点和没有零点两 种情况，计算得到答案. 【详解】 当 a1 时，f（x） 211 4121 x x xxx ， （）（）， ， 当 x1 时，f（x）2x1 为增函数，f（x）1， 当 x1 时，f（x）4（x1） （x2）4（x23x+2）4（x 3 2 ）21， 当 1x 3 2 时，函数单调递减，当 x 3 2
14、时，函数单调递增， 故当 x 3 2 时，f（x）minf（ 3 2 ）1，故最小值为1 设 h（x）2xa，g（x）4（xa） （x2a） 若在 x1 时，h（x）与 x 轴有一个交点， 所以 a0，并且当 x1 时，h（1）2a0，所以 0a2， 而函数 g（x）4（xa） （x2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 1 2 a1， 若函数 h（x）2xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点， 则函数 g（x）4（xa） （x2a）有两个交点， 当 a0 时，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去） ， 当 h（1）2a0 时，即 a2 时，g（x）的两个交点
15、满足 x1a，x22a，满足题意的 综上所述：a 的取值范围是 1 2 a1，或 a2 故答案为：-1； 1 2 a1，或 a2 【点睛】 本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 三、解答题三、解答题 第 8 页 共 12 页 17已知：已知：an是公比大于是公比大于 1 的等比数列，的等比数列，Sn为其前为其前 n 项和，项和，S37，且，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列构成等差数列 （1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式； （2）令）令 bnlog2a3n+1，求数列，求数列bn的前的前 n 项和项和 Tn 【答案】【答案】 （1）a
16、n2n 1，nN（2）Tn3 2 （n2+n） 【解析】【解析】 （1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案. （2）计算得到3 n bn，直接利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】 （1）an是公比 q 大于 1 的等比数列，Sn为其前 n 项和，S37，可得 a1（1+q+q2）7， a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列，可得 6a2a1+3+a3+4，即 6a1qa1+a1q2+7， 由可得 a11，q2，则 an2n1，nN； （2） 3 2312 logl23og n nn ban ， 数列bn的前 n 项和 Tn3（1+2+n）3 1 2 n（n+1） 3 2 （n
17、2+n） 【点睛】 本题考查了等比数列通项公式， 等差数列求和， 意在考查学生对于数列公式的综合应用. 18设函数设函数 f(x)sin(2x)(0 知： 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa， 又当 x(0，a)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 20 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 在在ABC中，内角中，内
18、角, ,A B C对边分别是对边分别是, ,a b c，若，若 4 cos,2. 5 Bb （1）当）当 5 , 3 a 求角求角A的度数； （的度数； （2）求）求ABC面积的最大值。面积的最大值。 【答案】【答案】 （1）30 .A（2）3. 【解析】【解析】第一问利用正弦定理得到 43 cos,sin, 55sinsin ab BB AB 5 215 3 sin,2,(0,),30 . 3 sin232 5 AAA A 第二问中 13 sin, 210 SacBac 2222222 8 2cos ,416 5 bacacBacacac 得 2222 20,202,10acacacac 解
19、： （1） 43 cos,sin, 55sinsin ab BB AB 5 215 3 sin,2,(0,),30 . 3 sin232 5 AAA A 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 （2） 13 sin, 210 SacBac 2222222 8 2cos ,416 5 bacacBacacac 第 11 页 共 12 页 得 2222 20,202,10acacacac 所以ABC面积的最大值为3.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 21某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传
20、，在一年内，预计年销量 Q（万（万 件）与广告费件）与广告费 x（万元）之间的函数关系为（万元）之间的函数关系为 Q 31 1 x x （x0） 已知生产此产品的年固） 已知生产此产品的年固 定投入为定投入为 3 万元， 每生产万元， 每生产 1 万件此产品仍需后期再投入万件此产品仍需后期再投入 32 万元， 若每件售价为万元， 若每件售价为“年平均年平均 每件投入的每件投入的 150%”与与“年平均每件所占广告费的年平均每件所占广告费的 50%”之和 （注： 投入包括之和 （注： 投入包括“年固定投入年固定投入” 与与“后期再投入后期再投入”） ） （1）试将年利润）试将年利润 w 万元表示
21、为年广告费万元表示为年广告费 x 万元的函数，并判断当年广告费投入万元的函数，并判断当年广告费投入 100 万万 元时，企业亏损还是盈利？元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 【答案】【答案】 （1）w 2 9835 21 xx x （） ,企业亏损（2）当年广告费投入 7 万元时，企业年利 润最大 【解析】【解析】 （1）先计算售价为 996 2 Qx Q ，再计算利润为 996 332 2 Qx wQxQ Q ，化简得到答案. （2）化简得到 164 (1)50 21 wx x ，利用均值不等式计算得到答案.
22、 【详解】 （1）由题意，每件售价为 332Q Q 150% x Q 50% 996 2 Qx Q ， 则 2 99699626649835 3 32 222(1) QxQxxQxx wQxQ Qx ， 则当 x100 时，w 10000980035 2 101 0，故企业亏损 （2） 2 9835164 (1)5050842 2(1)21 xx wx xx （当且仅当 x7 时等号成立） 故当年广告费投入 7 万元时，企业年利润最大 【点睛】 第 12 页 共 12 页 本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22已知：函数已知：函数 f（x）2lnxax2+3
23、x，其中，其中 aR （1）若）若 f（1）2，求函数，求函数 f（x）的最大值；）的最大值； （2）若）若 a1，正实数，正实数 x1，x2满足满足 f（x1）+f（x2）0，证明：，证明： 12 317 2 xx 【答案】【答案】 （1）f（x）max2ln2+2（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）计算得到1a ，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案. （2）代入数据得到 2 2ln3f xxxx=，得到 2 12121212 32lnxxxxx xx x，设 lnh ttt 得到函数的最小值得到不 等式（x1+x2）2+3（x1+x2）2，计算得到答案. 【详解】 （1）f
24、（1）2，a+32，a1，f（x）2lnxx2+3x， f（x） 2 x 2x+3 212xx x （）（） ， 由 f（x）0 得，0x2，有 f（x）0 得，x2， f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+）为减函数， f（x）maxf（2）2ln2+2； （2）证明：当 a1，f（x）2lnx+x2+3x， f（x1）+f（x2）2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x20， （x1+x2）2+3（x1+x2）2（x1x2lnx1x2） ， 令 h（t）tlnt，h（t）1 11t tt ， 由 h（x）0 得，t1，由 h（x）0 得，0t1， h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数， h（x）minh（1）1，（x1+x2） 2+3（x 1+x2）2， （x1+x2）2+3（x1+x2）20， 解得： 12 317 2 xx 【点睛】 本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数 lnh ttt 是解题的关键.
