1、第 1 页 共 17 页 2019 届上海市青浦区高三届上海市青浦区高三 4 月质量调研（二模）数学试题月质量调研（二模）数学试题 一、单选题一、单选题 1 设 设, 是两个不同的平面，是两个不同的平面，b是直线且是直线且b 则 则“b”是是“”的 （的 （ ） ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可 【详解】 解：由线面垂直的定义得若b ，则b时，成立，即充分性成立， 反之若，则b不一定成立，即必要性不成立，
2、故“b”是“ ”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解 决本题的关键 2若已知极限若已知极限 sin lim0 n n n ，则则 3sin lim sin2 n nn nn 的值为（的值为（ ） A3 B 3 2 C1 D 1 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为 sin lim0 n n n ，对 3sin sin2 nn nn 分子分母同时除以n，再求极限即可 【详解】 因为 sin lim0 n n n ，所以 3sin 1 3sin1 01 limlim sin sin2022 2 nn n nn
3、 n n nn n .故选：D. 【点睛】 本题主要考查极限的运算，对目标式的合理化简是求解的关键，侧重考查数学运算的核 心素养. 3 已知函数 已知函数 ( )f x是 是R上的偶函数， 对于任意上的偶函数， 对于任意xR都有都有(6)( )(3)f xf xf成立，成立， 第 2 页 共 17 页 当当 12 ,0,3x x ，且，且 12 xx时，都有时，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx 给出以下三个命题：给出以下三个命题： 直线直线6x 是函数是函数 ( )f x图像的一条对称轴 图像的一条对称轴； 函数函数 ( )f x在区间 在区间9, 6上为增函数；上为增函数；
4、 函数函数 ( )f x在区间 在区间9,9上有五个零点上有五个零点 问：以上命题中正确的个数有（问：以上命题中正确的个数有（ ） ） A0个个 B1个个 C2个个 D3个 个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意，利用特殊值法分析可得 ( 36)( 3)(3)fff ，结合函数的奇偶 性可得(3)0f， 进而可得(6)( )f xf x，所以 ( )f x的周期为 6；据此分析三个命题，综合即可得 答案 【详解】 解：根据题意，对于任意xR，都有(6)( )(3)f xf xf成立， 令3x ，则 ( 36)( 3)(3)fff ， 又 ( )f x是R上的偶函数， 所以(3)0f
5、， 则有(6)( )f xf x， 所以 ( )f x的周期为 6； 据此分析三个命题： 对于，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为 6， 则直线6x 是函数 ( )f x图象的一条对称轴，正确； 对于，当 1 x， 2 0x ，3，且 12 xx时，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ， 则函数( )yf x在0，3上为增函数， 因为 ( )f x是R上的偶函数，所以函数( )yf x 在 3 ，0上为减函数， 而 ( )f x的周期为 6，所以函数( )yf x 在 9， 6 上为减函数，错误； 对于，f（3）0， ( )f x的周期为 6， 所以 (
6、9)( 3)(3)(9)0ffff ， 函数( )yf x在 9，9上有四个零点；错误； 三个命题中只有是正确的； 第 3 页 共 17 页 故选：B 【点睛】 本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出(3)f的值，分析函数的周期与对称性 二、填空题二、填空题 4不等式不等式|3| 2x的解集为的解集为_ 【答案】【答案】15xx或1,5 【解析】【解析】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|3| 2x的解集 【详解】 解：不等式|3| 2x，即232x ，求得15x， 故答案为：15xx或(1,5) 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的基本性质，属于基础题 5若
7、复数若复数z满足满足231 5iz （i是虚数单位） ，则是虚数单位） ，则z _ 【答案】【答案】 5 2 2 i 【解析】【解析】由已知求得z，再由共轭复数的概念求得z 【详解】 解：由2315zi ，得245zi， 5 2 2 zi，则 5 2 2 zi 故答案为： 5 2 2 i 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 6若若 1 sin 3 ，则，则cos 2 _ 【答案】【答案】 1 3 【解析】【解析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可得结果 【详解】 解：若 1 sin 3 ，则 1 cos()cos()sin 223 ， 第 4 页 共
8、17 页 故答案为： 1 3 【点睛】 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题 7已知两个不同向量已知两个不同向量112OAm OBm， ，若若OA OB， 则实数则实数m _. 【答案】【答案】 1 3 【解析】【解析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若OA OB， 则有 1 2310OmOBmmA ，易得m. 【详解】 因为OA OB， 所以 1 2310OmOBmmA ，解得 1 3 m .故答案为： 1 3 . 【点睛】 本题主要考查平面向量数量积的应用，利用向量垂直可得数量积为零，题目较为简单， 侧重考查数学运算的核心素养. 8在等比数列在等比数列 n a中
9、，公比中，公比2q =，前，前n项和为项和为 n S，若，若 5 1S ，则，则 10 S_. 【答案】【答案】33 【解析】【解析】利用等比数列的求和公式和 5 1S 可求出 1 a，从而再利用求和公式求出 10 S即 可. 【详解】 依题意， 55 11 5 (1)(1 2 ) 1 11 2 aqa S q ，解得 1 1 31 a ， 所以 10 10 1 10 1 (1 2 ) (1) 31 33 11 2 aq S q . 故答案为：33. 【点睛】 本题考查等比数列的基本量运算和求和公式的应用，要求认真计算，熟记公式，属基础 题. 9若若 , x y满足 满足 2, 10, 20,
10、 x xy xy 则则2zxy的最小值为的最小值为_ 第 5 页 共 17 页 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【详解】 解：由约束条件 2 1 0 2 0 x xy xy 作出可行域， 联立 20 10 xy xy ，解得 1 (2A， 3) 2 ， 化目标函数2zxy为2yxz， 由图可知， 当直线2yxz过A时， 直线在y轴上的截距最大，z有最小值为 1 2 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题 10如图所示，一个圆柱
11、的主视图和左视图都是边长为如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径的正方形，俯视图是一个直径 为为1的圆，那么这个圆柱的体积为的圆，那么这个圆柱的体积为_ 第 6 页 共 17 页 【答案】【答案】 4 【解析】【解析】利用已知条件，直接求解几何体的体积即可 【详解】 解：一个圆柱的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个圆柱的体积为 2 1 ( )1 24 故答案为： 4 【点睛】 本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能力 11 6 2 1 11x x 展开式中展开式中 2 x的系数为 的
12、系数为_ 【答案】【答案】30 【解析】【解析】先将问题转化为二项式 6 (1)x的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出 展开式的第1r 项，令x的指数分别等于 2，4，求出特定项的系数。 【详解】 由题可得： 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数等于二项式 6 (1)x展开式中x的指数为 2 和 4 时的系数之和， 由于二项式 6 (1)x的通项公式为 16 rr r TC x ， 令2r =，得 6 (1)x展开式的 2 x的系数为 2 6 15C ， 令4r ，得 6 (1)x展开式的 4 x的系数为 4 6 15C ， 所以 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数1
13、5 1530 ， 故答案为 30. 【点睛】 本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题， 考查学生的转 化能力，属于基础题。 12高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、 第 7 页 共 17 页 政治科目考试中达政治科目考试中达A的概率分别为的概率分别为 7 8 、 3 4 、 5 12 ，这三门科目考试成绩的结果互不影，这三门科目考试成绩的结果互不影 响，则这位考生至少得响，则这位考生至少得2个个A的概率是的概率是_ 【答案】【答案】 151 192 【解析】【解析
14、】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的事件分别为A，B，C， 则P（A） 7 8 ，P（B） 3 4 ，P（C） 5 12 ，这位考生至少得 2 个A的概率： ()()()()PP ABCP ABCP ABCP ABC 【详解】 解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的事件分别为A，B，C， 这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为 7 8 、 3 4 、 5 12 ， P（A） 7 8 ，P（B） 3 4 ，P（C） 5 12 ， 这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得 2 个A的概率：()()()()PP ABCP ABCP ABCP ABC 73
15、7715135735151 8412841284128412192 故答案为： 151 192 【点睛】 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 13已知已知 f x是定义在是定义在2 2 ,上的奇函数，当上的奇函数，当 0,2x时，时， 21 x f x ，函数，函数 2 2g xxxm,如果对于任意的如果对于任意的 1 2,2x ，总存在，总存在 2 2,2x ，使得，使得 12 f xg x ，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】5m 【解析】【解析】分别求出 ( )f
16、x和( )g x在 2,2 上的最大值,然后将问题转化为 maxmax ( )( )f xg x即可得到. 【详解】 当0,2x时， 21 x f x ，函数( )f x为递增函数, 第 8 页 共 17 页 又因为 f x是定义在2 2 ,上的奇函数，所以函数 ( )f x在 2 2 ,上也是递增函数, 所以2x 时,函数 ( )f x取得最大值,且 2 max ( )(2)213f xf , 因为 2 ( )2g xxxm 2 (1)1xm的对称轴为1x ,| 21| | 21| 所以2x 时,( )g x取得最大值,且最大值为 2 ( 2)( 2)g 2( 2)m8m, 因为对于任意的
17、1 2,2x ，总存在 2 2,2x ，使得 12 f xg x ， 所以 maxmax ( )( )f xg x,所以3 8m,即5m. 故答案为:5m. 【点睛】 本题考查了函数最值的求法,用最值解决不等式恒成立和能成立问题,属于中档题. 14已知曲线已知曲线 2 9Cyx ： ，直线，直线2ly ：，若对于点，若对于点(0,)Am，存在，存在C上的上的点点P 和和l上的点上的点Q，使得，使得0APAQ，则，则m取值范围是取值范围是_ 【答案】【答案】 1 ,1 2 【解析】【解析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0APAQ，说明A是PQ的中点，结 合y的范围，求出m的范围即可 【详解】 解
18、：曲线 2 :9C yx ，是以原点为圆心，3 为半径的半圆（圆的下半部分） ， 并且 3 P y ，0， 对于点(0,)Am， 存在C上的点P和l上的Q使得 0APAQ ， 说明A是PQ的中点，Q的纵坐标2y ， 2 1 ,1 22 p y m 故答案为： 1 ,1 2 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想 15已知已知 2 2 s1 ( ,0) cos1 aa in Maa aa R，则，则M的取值范围是的取值范围是_ 第 9 页 共 17 页 【答案】【答案】 47 47 , 33 【解析】【解析】化 2 2 sin1 cos1 aa M aa
19、为 2 cossin(1)(1)0aMaMa，可得直线 2 (1)(1)0aMxayMa与圆 22 1xy有公共点，即 2 2 |1|(1) 1 |1 Ma aM ，得到 2 2 |1|1 12 1 Ma a M 剟 ，转化为关于M的不等式求解 【详解】 解：化 2 2 sin1 cos1 aa M aa 为 2 cossin(1)(1)0aMaMa， 可得直线 2 (1)(1)0aMxayMa与圆 22 1xy有公共点， 2 2 |1|(1) 1 |1 Ma aM ，得到 2 2 |1|1 12 1 Ma a M 剟 （当且仅当| 1a 时，等号成立） 故 2 383 0MM 解得： 474
20、7 33 M 剟 M的取值范围是 47 3 ， 47 3 【点睛】 本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题 16如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方 形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星设正八角星的中心为形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星设正八角星的中心为 O， 并且并且 1 OAe， 2 OBe，若将点，若将点 O 到正八角是到正八角是 16 个顶点的向量都写成个顶点的向量都写成 12 ee， R、的形式，则的形式，则的取值范围为（的
21、取值范围为（ ） A 2 2,2 B 2 2,12 C 12,12 D 12,2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出的最大值和最小值即可 第 10 页 共 17 页 【详解】 解：以 O 为原点，以 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设圆 O 的半径为 1，则 OM1，过 M 作 MNOB，交 x 轴于 N，则 OMN 为等腰直角 三角形， 22ONOM ， 2OMOAOB ，此时12 同理可得： 2OPOAOB ，此时12 的最大值为1 2 ，最小值为 12 故选：C 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题 三、解答题三、解答题
22、 17如图，在正四棱锥如图，在正四棱锥PABCD中，中， 2 2PAAB ，E，F分别为分别为PB，PD的中的中 点点 （1）求正四棱锥）求正四棱锥PABCD的全面积；的全面积； （2）若平面）若平面AEF与棱与棱PC交于点交于点M，求平面，求平面AEMF与平面与平面ABCD所成锐二面角的所成锐二面角的 大小（用反三角函数值表示） 大小（用反三角函数值表示） 第 11 页 共 17 页 【答案】【答案】(1) =88 3S 全 (2) 2 5 arccos 5 【解析】【解析】 （1）根据正四棱锥的性质，用勾股定理求得侧面三角形的高，进而求得侧面积 和底面积，即可得出答案. （2）由题意，可建
23、立空间直角坐标系，分别表示出平面AEMF与平面ABCD的法向 量，求出两个法向量的夹角，即可得出答案. 【详解】 解： （1）因为正四棱锥PABCD，取AB中点G，连接PG， 2 2PAAB ， 6PG ， 2 1 =(2 2)42 2688 3 2 SSS 侧全底 （2）连接AC，连接BD，记ACBDO，因为OA，OB，OP两两互相垂直 如图建立空间直角坐标系-O xyz 因为 2 2PBAB ，所以Rt RtPOBAOB 所以2OAOP 所以(2,0,0)A，(0,2,0) B ，( 2,0,0)C ， (0, 2,0)D ，(0,0,2)P，(0,1,1)E，(0, 1,1) F 所以(
24、 2,1,1)AE ，( 2, 1,1)AF 设平面AEMF的法向量为( , , )nx y z，所以 0, 0, n AE n AF 即 20, 20. xyz xyz 所以0y 令1x ，2z ，所以(1,0,2)n 因为平面平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m 设m与n的夹角为， 22 5 cos 515 m n mn 2 5 arccos 5 第 12 页 共 17 页 所以平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小是 2 5 arccos 5 【点睛】 本题主要考查空间几何体中的正四棱锥面积计算，二面角的计算，熟练掌握多面体的性 质和求解二面角的方法是解决此类题的关键. 18
25、已知向量已知向量(cos, 1) 2 x m ， 2 ( 3sin,cos) 22 xx n ，设函数，设函数( )1f xm n （1）若）若0, 2 x ， 11 ( ) 10 f x ，求，求x的值；的值； （2）在）在 ABC中，角中，角A，B，C的对边分别是的对边分别是, ,a b c且满足且满足2 cos23 ,bAca求求 ( )f B的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 3 arcsin 65 x ； （2） 1 0, 2 【解析】【解析】 （1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数 ( )f x的解 析式为 1 sin() 62 x ，由 11 (
26、 ) 10 f x ，求得 3 sin() 65 x ，可得 3 arcsin 65 x ，求得x 结果 （2）在ABC中，由条件2 cos23bAca 可得2sincos3sinABA，故 3 cos 2 B， (0B ， 6 ，由此求得( )f B的取值范围 【详解】 解： （1）函数 2 31cos1 ( )13sincoscos1sin1sin() 2222262 xxxx f xm nxx 11 ( ) 10 f x ， 3 sin() 65 x 又0, 2 x ， 3 arcsin 65 x ， 即 3 arcsin 65 x （2）在ABC中，由2 cos23bAca，可得2si
27、ncos2sin3sinBACA， 2sincos2sin()3sinBAABA， 2sincos2(sincoscossin)3sinBAABABA，即2sincos3sinABA， 3 cos 2 B， (0, 6 B ， 1 sin()(,0 62 B ， 又 1 ( )sin() 62 f BB ， 第 13 页 共 17 页 1 ( )(0, 2 f B 【点睛】 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两 角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 19 已知椭圆 已知椭圆 22 22 C1(0) xy ab ab ：的一个顶点坐标的一
28、个顶点坐标为为 (2,0)A， 且长轴长是短轴， 且长轴长是短轴 长的两倍长的两倍 （1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2）过点）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于且斜率存在的直线交椭圆于GH、，G关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 G ，求，求 证：直线证：直线G H 恒过定点恒过定点4,0 【答案】【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明见解析； 【解析】【解析】 （1）根据椭圆长短轴得出a，b的值即可； （2）设直线GH的斜率为k，求出G H的方程，把(4,0)代入方程验证即可 【详解】 解： （1）椭圆的焦点在x轴上，且(2,0)A为椭圆的顶点，2a ， 又长
29、轴长是短轴长的两倍，1b 椭圆的方程为： 2 2 1 4 x y （2）证明：设GH的直线方程为 (1)yk x ， 1 (G x， 1) y， 2 (H x， 2) y，则 1 (G x， 1) y， 联立方程组 2 2 (1) 1 4 yk x x y ，消元得： 2222 (14)8440kxk xk， 2 12 2 8 14 k xx k ， 2 12 2 44 14 k x x k ， 直线G H的方程为： 21 11 21 () yy yyxx xx ， 当4x 时， 21 11 21 (4) yy yyx xx 1212121212 2121 4()5()28y xx yyykx
30、xx x xxxx 第 14 页 共 17 页 22 22 21 844 (528) 1414 0 kk k kk xx ， 直线G H恒过定点(4,0) 【点睛】 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题 20设函数设函数 2 ( )5f xaxa x R （1）求函数的零点；）求函数的零点； （2）当）当3a 时，求证：时，求证： ( )f x在 在区间区间, 1 上单调递减；上单调递减； （3）若对任意的正实数）若对任意的正实数a，总存在，总存在 0 1,2x ，使得，使得 0 ()f xm，求实数，求实数m的取值范的取值范 围围 【答案】【答案】 （1）见解析（2）证明见
31、解析； （3） 8 3 m 【解析】【解析】 （1）讨论0a ， 25 8 a且 0a ， 25 8 a ，解方程可得零点； （2） 可令 2 ( )35g xx x ， 运用单调性的定义， 证得( )g x在1x 递减， 可得( )6g x ， 即可得到证明； （3）由题意可得 0 ()maxf xm，由绝对值的含义，化简( )f x，得到在 0x 的单调性， 即有( ) (1),(2) max f xmax ff，运用绝对值不等式的性质，可得( )f x的最大值，即可得 到m的范围 【详解】 解： （1）当0a 时， 2 ( ) |5|f x x 的零点为 2 5 x ； 当 25 8 a
32、且 0a 时，由 2 50ax x 得 2 520axx， 由一元二次方程求根公式得， ( )f x的零点为 5258 2 a x a ； 当 25 8 a 时，方程 2 520axx中的判别式25 80a ，故 ( )f x无零点； （2）证明：当3a 时， 2 ( ) |35|f xx x ，可令 2 ( )35g xx x ， 任取 12 1xx ， 1212 12 22 ( )()3535g xg xxx xx 2112 12 ()(23)xxx x x x ， 第 15 页 共 17 页 由 12 1xx ，可得 21 0xx， 12 0x x ，进而 2112 12 ()(23)
33、0 xxx x x x ， 即 12 ()()0g xg x，可得( )g x在(, 1) 上递减， 可得1x 时， ( )( 1)6g xg ， 则 2 ( ) |35|( )f xxg x x ， 即 ( )f x在区间(, 1) 上单调递减； （3）对任意的正实数a，总存在 0 1x ，2，使得 0 ()f xm，则 0 ()maxf xm， 当0x 时， 25258 5,0 2 ( ) 25258 5, 2 a axx xa f x a axx xa ， 则 ( )f x在 5258 (0,) 2 a a 递减，在 5258 ( 2 a a ， )递增， 可得( ) (1),(2)|7
34、|,|62 | max f xmax ffmaxaa， 由于0a ，设 |7|,|62 |tmaxaa ，可得|7 |at ，|6 2 |at ， 可得|14 2 |62 |3aat ，即有|14 2 |62 |14262 | 8aaaa ，可得 8 3 t ， 则 8 3 m 【点睛】 本题考查含绝对值函数的零点和单调性，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思 想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于难题 21给定数列给定数列 n a，若数列，若数列 n a中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称 该数列是该数列是“封
35、闭数列封闭数列”. （1）已知数列）已知数列 n a的通项公式为的通项公式为3n n a ，试判断，试判断 n a是否为封闭数列，并说明理由；是否为封闭数列，并说明理由； （2）已知数列）已知数列 n a满足满足 21 2 nnn aaa 且且 21 2aa，设，设 n S是该数列是该数列 n a的前的前n项项 和，试问：是否存在这样的和，试问：是否存在这样的“封闭数列封闭数列” n a，使得对任意，使得对任意 * nN都有都有 0 n S ，且，且 12 111111 818 n SSS ，若存在，求数列，若存在，求数列 n a的首项的首项 1 a的所有取值；若不存在，的所有取值；若不存在，
36、 说明理由；说明理由； （3） 证明等差数列） 证明等差数列 n a成为成为“封闭数列封闭数列”的充要条件是： 存在整数的充要条件是： 存在整数1m ， 使， 使 1 amd 【答案】【答案】 （1）不是；见解析（2） 1 4a 或 1 6a ； （3）证明见解析 第 16 页 共 17 页 【解析【解析】（1） 数列 n a不为封闭数列 由1n ， 2 时，1 2 3912aa， 可得 12 3maa， * mN ，可得 12 n aaa，即可得出结论 （2）数列 n a满足 21 2 nnn aaa 且 21 2aa，可得数列 n a为等差数列，公差 为 2 1 2(1) n aan 又
37、n a是“封闭数列”， 得： 对任意m， * nN ， 必存在 * pN 使 111 2(1)2(1)2(1)anamap，得 1 2(1)apmn，故 1 a是偶数， 又由已知， 12 111111 818 n SSS ，故 1 1111 88S ，可得 1 a （3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二 是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性 【详解】 解： （1）数列 n a不为封闭数列 1n ，2 时， 12 3912aa， 23 3123， 可得 12 3maa， * mN ， 12 n aaa，因此 n a不是封闭数列 （2
38、）数列 n a满足 21 2 nnn aaa 且 21 2aa， 数列 n a是以 2 为公差的等差数列，则 1 2(1) n aan 又 n a是“封闭数列”， 对任意m， * nN，必存在 * pN使 111 2(1)2(1)2(1)anamap， 得 1 2(1)apmn，故 1 a是偶数， 又由已知， 12 111111 818 n SSS ，故 1 1111 88S ，可得： 1 8 8 11 S， 可得 1 4a 或 1 6a 或 1 2a ， 经过验证可得： 1 4a 或 1 6a （3）证明： （必要性）若存在整数1m，使 1 amd，则任取等差数列的两项 s a， () t
39、a st， 于是 111 (1)(1)(2) sts m t aaasdmdtdasmtda ， 由于3st ，1m， * 1stmN 为正整数， 1 s m tn aa ， n a是封闭数列 第 17 页 共 17 页 （充分性）任取等差数列的两项 s a，() t a st，若存在 k a使 stk aaa， 则 111 2(2)(1)(1)astdakdakstd ， 故存在1mkstZ ，使 1 amd， 下面证明1m 当0d 时，显然成立 对0d ，若1m ，则取 2pm ，对不同的两项 1 a和 p a，存在 q a使 1pq aaa ， 即2 (1)(1)0mdmdmdqdqd ，这与0q ，0d 矛盾， 故存在整数1m，使 1 amd 【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、充要条件，考查 了推理能力与计算能力，属于难题
