1、第 1 页 共 17 页 2020 届安徽省十四校联盟高三上学期届安徽省十四校联盟高三上学期 11 月段考月段考 数学（理）数学（理）试题试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 2 |931Axx，|2By y，则，则 R C AB I（ ） A 2 ,2 3 B C 22 ,2 33 D 2 2 , 3 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先化简集合A，求出 R C A，即可求出结果. 【详解】 由题意得， 22 33 Axx ，则 22 33 R C Ax xx 或， 22 ,2 33 R C AB . 故选:C. 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 2已知向量已知向
2、量a与与b方向相反，方向相反，1,3a ，2b ，则，则ab（ ） A2 B4 C8 D16 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由a与b关系，求出b，即可求出结果. 【详解】 1,3a ，2a ，又向量a与b方向相反， 且2b ，a b rr ，24abb . 故选:B. 【点睛】 本题考查向量间的关系，以及向量的坐标表示，属于基础题. 3若若, ,a b cR，且，且ab，则下列不等式一定成立的是（，则下列不等式一定成立的是（ ） ） Aacbc B 22 lg1lg1acbc 第 2 页 共 17 页 C 2 0 c ab D50 c ab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】取特殊值排
3、除选项，然后再用不等式性质证明其它选项. 【详解】 取1a ，0b ，2c ，排除 A； 取0c =，排除 B，C，故选 D. 或推导选项 D 正确如下： ,0,50,() 50 cc ababab . 故选:D 【点睛】 本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题. 4下列命题中正确的是（下列命题中正确的是（ ） A 0 xR， 0 0 x e BxR ， 2 2xx C若若pq是真命题，则是真命题，则p q 是假命题是假命题 D10是假命题是假命题 【答案】【答案】C 【解析】【解析】取特殊值判断 A,B 选项不正确；根据或且非的命题关系，判断选项 C 正确； 选项 D 不正
4、确. 【详解】 xR ，0 x e ，故 A 错误； 当3x 时， 2 2xx ，故 B 错误； pq是真命题，p是假命题，q是真命题， pq 是假命题，故 C 正确； 选项 D 显然错误 . 故选:C. 【点睛】 本题考查判断命题的真假，属于基础题. 5“中国剩余定理中国剩余定理”又称又称“孙子定理孙子定理”.1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经 中中“物不知数物不知数”问题的问题的解法传至欧洲解法传至欧洲.1874 年， 英国数学家马西森指出此法符合年， 英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由年由 高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，
5、 因而西方称之为高斯得到的关于同余式解法的一般性定理， 因而西方称之为“中国剩余定理中国剩余定理”.“中国剩余中国剩余 第 3 页 共 17 页 定理定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到到 2019 这这 2019 个数个数 中，能被中，能被 3 除余除余 1 且被且被 4 除余除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 n a，则，则 此数列的项数为（此数列的项数为（ ） A167 B168 C169 D170 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意得出 n a的通
6、项，即可求解. 【详解】 由题意得，被 3 除余 1 且被 4 除余 1 的数就是能被 12 除余 1 的数， 1211 n an， * nN ，由2019 n a ，得 1 169 6 n ， * nN，此数列的项数为 169. 故选:C. 【点睛】 本题考查数列模型在实际问题中的应用， 考查等差数列的通项公式， 以及考查计算能力， 属于基础题. 6已知函数已知函数 tancosf xaxxxx aR为奇函数，则为奇函数，则 6 f （ ） A 12 B 3 12 C 12 D 3 12 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据奇函数的定义，求出a的值，即可求出结论. 【详解】 函数 f x
7、为奇函数， ()( )fxf x ， tancoscoscosaxxxxaxxxx ，解得0a ， cosf xxx，则 3 612 f . 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的应用，考查特殊角的三角函数，属于基础题. 7 曲线 曲线 2 2f xx， 2 2g xxx以及直线以及直线 1 4 x 所围成封闭图形的面积为 （所围成封闭图形的面积为 （ ） ） 第 4 页 共 17 页 A 1 32 B 1 16 C 1 8 D 1 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用定积分的几何意义，即可得到结论. 【详解】 由题意得 1 0 4 222 1 0 4 11 22 232 Sxx
8、xdxx . 故选 A. 【点睛】 本题考查区域面积的计算，根据定积分的几何意义，是解题的关键，属于基础题. 8在在ABC中，内角中，内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b， ，c，已知，已知 2 3 C ， sin3sinBA，若，若ABC的面积为的面积为6 3，则，则c （ ） A2 2 B2 26 C2 14 D4 7 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解. 【详解】 由题意得，3ba，. 又 2 133 sin6 3 222 ABC aSbCa ，解得 2 8a ， 222222 2cos10310381cabab
9、Caaa， 2 26c . 故选:B. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题. 9已知函数已知函数 1f xx， logag xx，当，当1ae时，时， f x与与 g x的图象可的图象可 能是（能是（ ） A B 第 5 页 共 17 页 C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据函数 f x、 g x的性质，利用排除法即可得出选项. 【详解】 由题意得，函数 f x， g x均为偶函数，故排除 A 选项； 当0,x时， 1 logagxe x ， 1logage， 当1ae时， 11g， f x与 g x的图象在1,上有一个交点， 故选：D
10、【点睛】 本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性，综合性比较强. 10已知数列已知数列 n a的通项公式为的通项公式为 1 * 2 21 1 n nn n anN n ，则数列，则数列 n a的前的前 2020 项和为（项和为（ ） A 2022 2021 B 2021 2020 C 2020 2021 D 2019 2020 【答案】【答案】C 【解析】【解析】化简通项公式，即可求解. 【详解】 11 2 2111 11 1 nn n n a nnnn ，当n为偶数时， 12 111111111 1 22334451 n aaa nn 1 1 11 n nn ， 数列 n a
11、的前 2020 项和为 2020 2021 . 故选:C. 【点睛】 本题考查裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题. 第 6 页 共 17 页 11已知函数已知函数 3sin 23cos2 6 xf xx ，现有如下命题：，现有如下命题： 函数函数 f x的最小正周期为的最小正周期为 2 ； 函数函数 f x的最大值为的最大值为3 3； 5 12 x 是函数是函数 f x图象的一条对称轴图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为（其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】 由题意得，
12、函数 f x的最小正周期为 2 ，故正确； 当0,12x 时， 3sin 23cos23 3cos 2 66 f xxxx ； 当, 12 4 x ， 3sin 23cos23sin 2 66 xxf xx ； 当, 4 2 x 时， 3sin 23cos23 3cos 2 66 f xxxx . 作出函数 f x的图象如图所示，可知正确. 故选:D. 第 7 页 共 17 页 【点睛】 本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题. 12已知函数已知函数 1 lnf xxax x ，若存在，若存在m，n，使得，使得 0fmfn，且，且 1 0,m e ，则，则 f mf n的
13、最小值为（的最小值为（ ） A 4 e B 2 e C 2 4 e D 2 2 e 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求导，确定m，n的关系，把 f mf n表示成关于m的函数，再利用求 导的方法，求出最小值. 【详解】 2 22 1 1 1axax xxx fx ，由题意得， 方程 2 10xax 的两正根分别为m，n， 2 40 0 aa a ，解得0a ， 且mna ，1mn ， 1 n m ， 1 am m ， 则 11 2lnmmm m f mf n m ， 1 0,m e ； 令 11 2lnxxxx xx ， 1 0,x e ， 则 22 2 111 21 lnln xx xx
14、 x x x ； 当 1 0,x e 时， 0x恒成立， 第 8 页 共 17 页 x在 1 0, e 上单调递减， min 14 x ee ，即 f mf n的最小值为 4 e . 故选 A. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值，构造函数是解题的关键，考查等价转化 数学思想，是一道综合题. 二、填空题二、填空题 13已知实数已知实数x，y满足满足 330 30 0 xy xy x ，则目标函数，则目标函数52zxy的最大值是的最大值是_. 【答案】【答案】15 【解析】【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值. 【详解】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示
15、， 其中0,1A，3,0B，0,3C. 作直线l： 5 2 yx ，平移直线l， 当其经过点B时，z取得最大值，即 max 15z. 故答案为:15 【点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 14平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E是线段是线段BC的中点，若的中点，若AEDBDA，则，则 _. 第 9 页 共 17 页 【答案】【答案】 5 2 【解析】【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理， 可得 3 2 AEADBD，利用对应系数相等即可求解. 【详解】 11 22 AEABADADBDAD 3 2 ADBD，
16、5 2 . 故答案为： 5 2 【点睛】 本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行四边形法则、向量的减法，属于 基础题. 15 设 设 n S为数列为数列 n a的前的前n项和， 已知项和， 已知 1 2a ， 对任意， 对任意 * , p qN， 都有， 都有 p qpq aaa ， 则则 11 4260 nn n SS a （1n 且且 * nN）的最小值为）的最小值为_. 【答案】【答案】32 【解析】【解析】取1q ，得出 n a是等比数列，求出, nn aS，转化为关于n的函数，利用求 最值的方法即可求解. 【详解】 当1q 时， 11 2 ppp aaaa ， 数列 n a
17、是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2n n a ， 1 2 21 22 2 1 n n n S ， 1 22 n n S ， 11 42222 nn nn SS 2 24 n ， 2 11 42602256 2 n nn n n SS a 256 22 25632 2 n n ， 第 10 页 共 17 页 当且仅当216 n ，即4n 时，等号成立. 故答案为:32 【点睛】 本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，考查基本不等式的应用，属于中 档题. 16 若直线 若直线y kxb 既是曲线既是曲线lnyx的切线， 又是曲线的切线， 又是曲线 2x ye 的切线， 则的切线，
18、 则b _. 【答案】【答案】0或1 【解析】【解析】设两曲线的切点坐标，各自求出切线方程，利用两切线重合关系，即可求解. 【详解】 令 lnf xx， 2x g xe ，则 1 fx x ， 2 x gxe . 设切点分别 11 ,P x y， 22 ,Q xy， 则切线方程为 11 1 1 lnyxxx x ，即 1 1 1 ln1yxx x ； 22 22 2 xx yeexx ，即 22 22 2 1 xx yexxe ， 2 2 2 1 2 12 1 ln11 x x e x xxe ，即 2 12 2 12 ln2 ln11 x xx xxe ， 2 2 2 110 x xe ，
19、2 1x 或 2 2x . 当 2 1x 时，切线方程为 1 yx e ，0b ； 当 2 2x 时，切线方程为1yx，1b . 综上所述，0b 或1b . 故答案为: 0b 或1b 【点睛】 本题考查函数图像的切线求法，考查导数的几何意义，考查计算能力，属于较难题. 三、解答题三、解答题 17已知已知p： 2 11mtm ，q：函数：函数 3 logf xxt在区间在区间 1 ,9 9 上没有零点上没有零点. （）若）若0m ，且命题，且命题pq 为真命题，求实数为真命题，求实数t的取值范围；的取值范围； （）若）若p是是q成立的充分不必要条件，求实数成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围
20、的取值范围. 第 11 页 共 17 页 【答案】【答案】 （）实数t的取值范围是 1,1 ； （）实数m的取值范围是3,. 【解析】【解析】 （）首先求出命题p、q为真命题时t的取值范围，然后再根据“且”命题的真 假判断方法确定p、q的真假性即可求解. （）由p是q成立的充分不必要条件，得出两命题中的集合之间的包含关系，从而求 出参数m的取值范围. 【详解】 （）当0m 时，p：11t ， 由函数 3 logf xxt在区间 1 ,9 9 没有零点， 得 1 0 9 f 或 90f， 解得2t 或2t ， pq 为真命题， p为真命题，q为假命题， 当q为假命题时，22t ， 实数t的取值范
21、围是 1,1. （）p是q成立的充分不必要条件，又 2 11mm 恒成立， 12m 或 2 12m ，解得3m， 实数m的取值范围是 3,. 【点睛】 本题主要考查命题的真假求参数的取值范围， 解题的关键是根据命题的关系推出集合之 间的关系，属于基础题. 18把正弦函数函数图象沿把正弦函数函数图象沿x轴向左平移轴向左平移 6 个单位，向上平移个单位，向上平移 1 2 个单位，然后再把所个单位，然后再把所 得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来 1 0，所得曲线是，所得曲线是 f x.点点 ,P Q R是直线是直线0ym m与函数与函数 f x的
22、图象自左至右的某三个相邻交点，且的图象自左至右的某三个相邻交点，且 1 23 PQQR . （1）求）求 f x解析式；解析式； （2）求）求m的值的值. 第 12 页 共 17 页 【答案】【答案】(1) 1 sin 2 62 fxx (2) 1m 【解析】【解析】 （1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出 f x； （2）根据函数性质 1 23 PQQR ，求出,P Q R三点横坐标之间关系，代入函数 即可求解. 【详解】 （1）由题意可得 1 sin0 62 f xx ， TPQQR， 2 T ，且0， 2. 1 sin 2 62 fxx . （2）设 0, P x
23、m， 0 , 3 Q xm ， 则 00 11 sin 2sin 2 62362 xx ， 即 00 5 sin 2sin 2 66 xx 则 00 5 222, 66 xxkkZ 解得 0 2 k x kZ，则 1 sin 62 mk ， 0m 1m. 【点睛】 此题考查三角函数图像性质，平移变换和伸缩变换，尤其结合图像特征求解参数对数形 结合能力要求较高. 19已知函数已知函数 2 222 ln0f xxaxax a . （）当）当1a 时，证明：时，证明： f x有且只有一个零点；有且只有一个零点； （）求函数）求函数 f x的极值的极值. 第 13 页 共 17 页 【答案】【答案】
24、（）详见解析； （）当01a时，极大值为 2 22 lnaaaa ，极小 值为1 2a ；当1a 时，无极值；当1a 时，极大值为1 2a ，极小值为 2 22 lnaaaa . 【解析】【解析】 （1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对a分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解. 【详解】 （）当1a 时， 2 42lnxxxxf，定义域为0,， 21 2422xxx xx f 22 212(1) 20 xxx xx ， f x在0,上单调递增， f x至多有一个零点. 又 11 4030f ， 416 162ln42ln40f， 则 140
25、ff， f x在0,上有且只有一个零点. （）由题意得，0,x， 212 222 xxaa fxxa xx ， 当01a时，当0,xa时， 0fx ， 当,1xa时， 0fx ，当1,x时， 0fx ， 函数 f x在 0,a和1,上单调递增，在,1a上单调递减， 极大值为 22 222 ln22 lnaaaaaaaaaf a ， 极小值为 11 221 2faa ； 当1a 时， 2 21 0 x fx x ， 函数 f x在 0,上单调递增，无极值； 当1a 时，当0,1x时， 0fx ，当1,xa时， 0fx ， 当,xa时， 0fx ， 函数 f x在 0,1和, a 上单调递增，在1
26、,a上单调递减， 第 14 页 共 17 页 极大值为 11 2fa ，极小值为 2 22 lnaafaaa . 【点睛】 本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于 中档题. 20已知已知 n S为数列为数列 n a的前的前n项和，项和， * 1 1 n SnanN . （）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （）若）若 1 3n nn ba ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （）21 n an； （） 1 3n n Tn . 【解析】【解析】 （1）由前n项和与通项关系，即可求出通项公式； （2）根据数列
27、 n b的通项公式特征，可用错位相减法或裂项相消法求前n项和. 【详解】 （）令1n ，得 11 2aa ， 11 210aa，解得 1 1a ， n Sn，即 2 n Sn； 当2n时， 1 21 nnn aSSn ， 当1n 时， 1 1a 适合上式，21 n an. （）方法一：由题意得，21 3n n bn， 1234 3 35 37 39 321 3n n Tn ， 23451 33 35 37 39 321 3n n Tn ， 两式相减得， 12341 23 32333321 3 nn n Tn 1 11 9 31 3 3221 3 3 1 n n n ， 整理得， 1 3n n
28、Tn . 方法二：由题意得， 1 21 331 3 n n nn nnnb ， 12nn Tbbb 2321 1 302 31 331 3 nn nn 第 15 页 共 17 页 1 3nn . 【点睛】 本题考查已知数列的前n和求通项公式，以及用错位相减法或裂项相消法求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题. 21 在 在ABC中， 内角中， 内角A，B，C的对边分别是的对边分别是a，b，c， 已知， 已知 3 cossin 3 baCcA， 点点M是是BC的中点的中点. （）求）求A的值；的值； （）若）若3a ，求中线，求中线AM的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （） 3 A ；
29、 （） 3 2 . 【解析】【解析】 （1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解； （2）根据余弦定理求出, b c边的不等量关系，再用余弦定理把AM用, b c表示，即可求 解；或用向量关系把AM用,AB AC表示，转化为求|AM的最值. 【详解】 （）由已知及正弦定理得 3 sinsincossinsin 3 BACCA . 又sinsinsincoscossinBACACAC， 且sin0C ，tan3,0AA，即 3 A . （）方法一：在ABC中，由余弦定理得 22 3bcbc， 22 2 bc bc ，当且仅当bc时取等号， 22 6bc . AM是BC边
30、上的中线，在ABM和ACM中， 由余弦定理得， 22 33 2cos 42 cAMAMAMB， 22 33 2cos 42 bAMAMAMC . 由，得 22 2 39 244 bc AM ， 当且仅当3bc时，AM取最大值 3 2 . 第 16 页 共 17 页 方法二：在ABC中，由余弦定理得 22 3bcbc ， 22 2 bc bc ，当且仅当bc时取等号， 22 6bc . AM是BC边上的中线， 2 ABAC AM ，两边平方得 222 1 4 AMbcbc， 22 2 39 244 bc AM ， 当且仅当3bc时，AM取最大值 3 2 . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在
31、三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵 活运用，是一道综合题. 22已知函数已知函数 1cosf xxax， 0, 2 x . （）若）若 1 2 a ，判断函数，判断函数 f x的单调性；的单调性； （）若对于）若对于0, 2 x ， sin0f xx恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （） f x在0, 2 x 上单调递增； （）,2. 【解析】【解析】 （1）求导，判断导函数的正负，即可求解； （2）构造函数，不等式恒成立，转化为求函数的最小值不小于零，对a分类讨论，求 导，求出函数的单调区间，即可求解. 【详解】 （）由题意得， 1 1co
32、s 2 xxfx ， 则 11 1cossin 22 xxxfx ， 当0, 2 x 时， 1 1cos0 2 x， 1 sin0 2 xx ， 0fx ， 函数 f x在 0, 2 上单调递增. 第 17 页 共 17 页 （）由题意得，cossin0xaxxx在0, 2 上恒成立； 0, 2 x ，sin0x ，cos0x . 当0a 时，cos sin0xaxxx在0, 2 上恒成立； 当0a 时，设 sincosg xxxaxx， 则 1 coscossinxaxaxxgx 11cossinaxaxx ， 1 当0 2a时，1 11a ，则11cos0ax， 又sin0axx ， 0g
33、x ， g x在0, 2 上单调递增， 00g xg，符合题意； 2 当 2a 时，令 11cossinh xgxaxaxx ， 则 21 sincoshxaxaxx， 0hx 在区间0, 2 上恒成立， gx在区间0, 2 上单调递增， min 020gxga， max10 22 a gxg ， 存在 0 0, 2 x ，使得 0 0gx. 当 0 0xx时， 0gx ， g x单调递减， 00g xg，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是,2. 【点睛】 本题考查函数的导数研究函数的单调性，以及函数的导数在求函数最值的应用，解题的 关键是将恒成立问题转化为函数的最值问题解决，体现了转化的思想和分类讨论的思 想，属于难题.
