1、第十五章第十五章本章内容1.傅里叶级数傅里叶级数2.以以2l为周期的函数的展开式为周期的函数的展开式3.收敛定理的证明收敛定理的证明2022-12-51一、一、三角级数三角级数 三角函数系三角函数系的的正交性正交性二、函数展开成二、函数展开成傅里叶级数傅里叶级数三、三、收敛定理收敛定理2022-12-52一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性在数学分析学习当中，接触两类在数学分析学习当中，接触两类基函数基函数：,1 :)(32nnnxxxxxxu nnnxxaxf)()(00 nxnxxx,x,x,nxnxxuncos,sin2cos2sincossin,1 cossi
2、n)(周期函数周期函数（整体性质）（整体性质）Fourier级数级数函数在函数在一点一点的性质的性质 三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数三角函数系三角函数系2022-12-53 10)sin()(nnntnAAtf 谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 称为三角级数称为三角级数.简单的周期运动简单的周期运动 :)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动 :为振幅，为振幅，A为角频率，为角频率，.为初相为初相 得级数得级数1.1.三角级数三角
3、级数 2022-12-541757年，法国数学家年，法国数学家克莱罗克莱罗在研究太阳引起的摄动时在研究太阳引起的摄动时,.cos2)(10 nnnxAAxf大胆地采用了三角级数表示函数大胆地采用了三角级数表示函数:.dcos)(2120 xnxxfAn其中其中1759年，年，拉格朗日拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数在对声学的研究中使用了三角级数.1777年，年，欧拉欧拉在天文学的研究中，用三角函数的正交在天文学的研究中，用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数性得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中也就是现今教科书中傅立叶级数傅立叶级数的系数的系数.2022-
4、12-55 在历史上，在历史上，三角级数三角级数的出现和发展与求解微分方的出现和发展与求解微分方 1753年，丹年，丹 伯努利伯努利首先提出将弦振动方程的解表首先提出将弦振动方程的解表程是分不开的程是分不开的.为为三角级数的形式为为三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物这为傅立叶级数题奠定了物理理 1822年，傅立叶傅立叶在在 热的解析理论热的解析理论 一书中对于一书中对于对于欧拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形对于欧拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理，发展成一般理论采用的三角级数方法进行加工处理，发展成一般理论.基础，促进了它的发展基础，促进了它的发展
5、.2022-12-56其中其中.)2,1(dsin)(1 nxnxxfbn,.)2,1,0(dcos)(1 nxnxxfan.)sincos(210 nnnnxbnxaa)(xf傅立叶傅立叶指出指出:)(),(xf上的有界函数上的有界函数任意定义在任意定义在 可以展开成级数可以展开成级数2022-12-57.2)i为周期的函数为周期的函数则它的和一定是以则它的和一定是以若三角级数收敛，若三角级数收敛，.|)|(|2|1)ii10上绝对收敛且一致收敛上绝对收敛且一致收敛则三角级数在则三角级数在收敛，收敛，）若级数）若级数（定理（定理Rbaannn 2.2.三角级数的收敛性三角级数的收敛性 10)
6、sincos(2nnnnxbnxaa三角级数三角级数 证证:用用M判别法判别法.2022-12-583.3.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx:正交性正交性,0cos nxdx,0sin nxdx三角函数系三角函数系),3,2,1(n,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在 ),2,1,(nm其其中中2022-12-591.三角级数的系数与其和函数的关系三角级数的系数与其和函数的关系 问题
7、问题:01()(cossin)2kkkaf xakxbkx若有0(1)?a 01()(cossin)2kkkaf x dxdxakxbkx dx02,2a01()af x dx011cossin2kkkkadxakxdxbkxdx我们形式地计算：我们形式地计算：要一致收敛二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数.2)(的周期函数的周期函数是周期为是周期为设设xf2022-12-510(2)?na 0()coscos2af xnxdxnxdx1()cosnaf xnxdx(1,2,3,)n(3)?nb 1 ()sinnbf xnxdx(1,2,3,)n 要一致收敛dcossindcosc
8、os1 xnxkxbxnxkxakkk xnxandcos2,nadsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk,nb xnxaxnxxfdsin2dsin)(02022-12-511由上述讨论，有：由上述讨论，有：2022-12-5122.Fourier系数和系数和Fourier级数级数 EulerFourier公式：公式：1()cos,kaf xkxdx 0,1,2,k 1()sin,kbf xkxdx1,2,k 为EulerFourier公式。公式。称由EulerFourier 22,ccf如 是以为周期的函数 则可换为2022-12-51301cossin,2nnnaa
9、nxbnx记为记为 01()cossin.2nnnaf xanxbnx01:()cossin?2nnnaf xanxbnx问吗题:!未必不能把答换为案2022-12-514三、收敛定理三、收敛定理 1.按段光滑函数按段光滑函数 2022-12-515 按段光滑函数的按段光滑函数的性质性质：0()(0)lim(0)tf xtf xfxt0()(0)lim(0)tf xtf xfxt(用Lagrange中值定理证明)2022-12-5162.收敛定理收敛定理(证明放到以后进行证明放到以后进行)2022-12-517x1x2x3x4x()Fourierf x函数与它的级数的和函数的关系如图所示()f
10、 x和函数(0)(0),()2f xf xxf x当 为连续点时2022-12-5183.函数的周期延拓函数的周期延拓()fx(),(,f xx (2),(21),(21)f xkxkk1,2,3,k 如图所示，如图所示，Fourier级数。oxy3-352022-12-5193-355oxy01()af x dx01xdx;21()cosnaf xnxdx01cosxnxdx01sinxnxn01sinnxdxn21cos1nn解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像如图及其周期延拓后的图像如图所示所示,2022-12-520na22,nn当 为奇数时,0,n当 为偶数时,1()sinnbf
11、 xnxdx01sinxnxdx01cosxnxn 01cosnxdxn1(1)nn()(,),f x 函数在区间内连续且按段光滑,(,):x 因此 当时,有2121()cossinsin2cos3sin3+4293f xxxxxx2022-12-5211211(1)()(1)1 cossin,4nnnf xnxnxnn,:x 在时 上式右端收敛于(0)(0)2ff02.2f的傅里叶级数的和函数的图象3-355oxy2022-12-5223-355oxy(),f x 是上的奇函数,1()cos0,kaf xkxdxkb1sinxkxdx02sinxkxdx002cos1cosxkxkxdxkk
12、1(1)2kk解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像如图及其周期延拓后的图像如图所示所示.2022-12-52311sin2(1)nnnxn(),f xx 0,.x 3-355oxy11sin,()2(1).nnnxf xn因此2022-12-524解所给函数满足收敛定理条件.延拓的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于 .()f x,xyo221sinnbxnxdx0,01ax dx02xdx,2022-12-5251cosnaxnxdx02cosxnxdx22(cos1)nn22(1)1nn2141cos(21)2(21)nxnxn()x所求函数的所求函数的Fourier展开式为展开式为24,
13、21,1,2,(21)nkkk0,2,1,2,nk k2022-12-526利用利用Fourier展开式求级数的和展开式求级数的和2141cos(21),2(21)nxnxn0,x 当时 得222111835,x若令2141 2(21)kk就有2211.(21)8kk2022-12-527解所给函数满足收敛定理条件.(0,1,2,).xkk 在点处不连续2mmEE收敛于()2mmEE 0,otumE mE,().xkf x当时 收敛于1()cosnau tntdt02cosmEntdt0(0,1,2,)n 2022-12-5282(1cos)mEnn21(1)nmEn 14()sin(21)(
14、21)mnEu tntn(;0,2,)tt 所求函数的傅里叶展开式为1()sinnbu tntdt02sinmEntdt4,21,1,2,(21)mEnkkk0,2,1,2,nk k2022-12-529:解2001()af x dx222011x dxxdx22;201()cosnaf xnxdx222011coscosxnxdxxnxdx2022-12-5302320122sincosxxnxnxnnn2232122sincosxxnxnxnnn24(1)1nn201()sinnbf xnxdx222011sinsinxnxdxxnxdx2022-12-5312320122cossinxx
15、nxnxnnn2232122cossinxxnxnxnnn223221(1)nnnn()(,),f x 函数在区间内连续且按段光滑,(0,)(,2):x因此 当时,有2022-12-5322214()(1)1 cosnnf xnxn 223221(1)sin,nnxnnn,x当时(0)(0)0.2ff2222111 08135 0,2,x当或时(00)(00)2ff240222 22222111 28135 2022-12-533傅里叶傅里叶(1768 1830)法国数学家法国数学家.他的他的著作著作热的解析热的解析 理论理论(1822)是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分,他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献,他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响.2022-12-534
