1、1.掌握一些简单的数列求和的方法掌握一些简单的数列求和的方法.2.能应用数列求和解决一些数列问题能应用数列求和解决一些数列问题.思考探究思考探究 用裂项相消法求数列前用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？项和的前提是什么？提示：提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提裂项相消法的前提.一般地，形如一般地，形如 (an是等差数列是等差数列)的数列可选用此法来求的数列可选用此法来求.1.设设f(n)2242723n1(nN*)，则，则f(n)()A.(8n1)B.(8n11)C.(8n21)D.(8n31)解析：解析：f(n)
2、(8n11).答案：答案：B2.数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若an ，则，则S5 等于等于 ()A.1 B.C.D.解析：解析：anS5a1a2a3a4a5答案：答案：B3.数列数列(1)nn的前的前2 010项的和项的和S2 010为为()A.2 010 B.1 005 C.2 010 D.1 005解析：解析：S2 010123452 0082 0092 010(21)(43)(65)(2 0102 009)1 005.答案：答案：D解析：解析：由于由于q所以所以a3a4a5(a2a3a4)()1，a6a7a8(a3a4a5)()3 ，于是于是a3a4a5a6a7a8 .4
3、.等比数列等比数列an中，已知中，已知a1a2a34，a2a3a42，则则a3a4a5a6a7a8.答案：答案：5.数列数列1,，前前10项的和为项的和为.解析：解析：1 (14728)()答案：答案：若数列若数列anbncn，且数列，且数列bn、cn为等差数列或为等差数列或等比数列，常采用分组转化法求数列等比数列，常采用分组转化法求数列an的前的前n项和，即先项和，即先利用等差或等比数列的前利用等差或等比数列的前n项和公式分别求项和公式分别求bn和和cn的前的前n项和，然后再求项和，然后再求an的前的前n项和项和.求特殊数列的和：求特殊数列的和：Sn1(1 )(1 )(1 ).思路点拨思路点
4、拨课堂笔记课堂笔记和式中第和式中第n项为项为an=1+Sn=2=2=2=2n-2+求求1 ,2 ,3 ,4 ，n 的前的前n项和项和.解：解：ann1=，Sn(123n)(+1.一般情况下，若一般情况下，若an是等差数列，则是等差数列，则2.根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和.3.常见的裂项技巧有：常见的裂项技巧有：特别警示特别警示利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项
5、后，有时候需要调整前面剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等.在等差数列在等差数列an中，中，a55，S36.(1)若若Tn为数列为数列 的前的前n项和，求项和，求Tn；(2)若若an1Tn对任意的正整数对任意的正整数n都成立，求实数都成立，求实数的最的最大值大值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，则，则解得：解得：a11，d1，所以所以ann，所以所以(2)若若an1Tn，即，即n1又又 n 24，当且仅当，当且仅当n ，即，即n
6、1时取时取等号等号.任意任意nN*，不等式成立，故，不等式成立，故4，的最大值为的最大值为4.1.一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，求数是等比数列，求数 列列anbn的前的前n项和时，可采用错位相减法项和时，可采用错位相减法.2.用乘公比错位相减法求和时，应注意用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的 情形；情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对错项对 齐齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出
7、“SnqSn”的表达式的表达式.特别警示特别警示利用错位相减法求和时，转化为等比数列求利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和和.若公比是个参数若公比是个参数(字母字母)，则应先对参数加以讨论，一般，则应先对参数加以讨论，一般分等于分等于1和不等于和不等于1两种情况分别求和两种情况分别求和.(2009全国全国)在数列在数列an中，中，a11，an1(1)设设bn ，求数列，求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)由已知得由已知得b1a11，且，且即即bn1bn ，从而，从而b2b1 ，b3b2 ，bnbn1 (n2)
8、，于是于是bnb1 (n2).又又b11，故所求的通项公式，故所求的通项公式bn2 (2)由由(1)知，知，an令令Tn于是于是Tn2TnTn又又 (2k)n(n1)，所以，所以Snn(n1)4.=2n则则2Tn 以选择题或填空题的形式考查公式法求和或以解以选择题或填空题的形式考查公式法求和或以解答题的形式考查公式法求和、裂项求和以及错位相减答题的形式考查公式法求和、裂项求和以及错位相减法求和是高考对本节内容的常规考法法求和是高考对本节内容的常规考法.09年广东高考将年广东高考将裂项求和与函数、不等式等内容结合考查，是高考命裂项求和与函数、不等式等内容结合考查，是高考命题的一个新方向题的一个新
9、方向.考题印证考题印证 (2009广东高考广东高考)(12分分)已知点已知点(1，)是函数是函数f(x)ax(a0，且，且a1)的图象上一点的图象上一点.等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为f(n)c.数列数列bn(bn0)的首项为的首项为c，且前，且前n项和项和Sn满足满足SnSn1 (n2).(1)求数列求数列an和和bn的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列 的前的前n项和为项和为Tn，问满足，问满足Tn的最小正整数的最小正整数n是多少？是多少？【解解】(1)点点(1，)是函数是函数f(x)ax(a0，且，且a1)的图的图象上一点，象上一点，f(1)a .已知等比数列已知等比数
10、列an的前的前n项和为项和为f(n)c，则当则当n2时，时，anf(n)cf(n1)can(1a1)(2分分)an是等比数列，是等比数列，an的公比的公比qa2 a1q(f(1)c)，解得解得c1，a1故故an (n1).(4分分)由题设知由题设知bn(bn0)的首项的首项b1c1，其前其前n项和项和Sn满足满足SnSn1 (n2)，由由SnSn1 是首项为是首项为1，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列，即即 nSnn2.bnSnSn12n1(n2)，又，又b11211，故数列故数列bn的通项公式为：的通项公式为：bn2n1(n1).(6分分)(2)bn2n1(n1)，(8分分)(10分分
11、)要要Tn故满足条件的最小正整数故满足条件的最小正整数n是是112.(12分分)自主体验自主体验 已知已知Sn为数列为数列an的前的前n项和，且项和，且Sn2ann23n2，n1,2,3，.(1)求证：数列求证：数列an2n为等比数列；为等比数列；(2)设设bnancosn，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Pn；(3)设设Cn 数列数列cn的前的前n项和为项和为Tn，求证：，求证：Tn解：解：(1)证明：证明：Sn12an1(n1)23(n1)2.Sn2ann23n2an12an2n2即即an12(n1)2(an2n)an2n是以是以q2的等比数列的等比数列.(2)a1S12a1132，a
12、14an2n2n，an2n2n讨论讨论()当当n为偶数时，为偶数时，Pnb1b2b3bn(b1b3b5bn1)(b2b4b6bn)(212)(2323)(2525)(2n12(n1)(2222)(2424)(2626)(2n2n)(2n _1)+n()当当n为奇数时，为奇数时，Pn=n为奇数为奇数n为偶数为偶数Tn=c1+c2+cn=(3)cn=1.数列数列 的前的前n 项和为项和为 ()A BC D 答案：答案：B解析：解析：an=Sn=2.(2019抚顺模拟抚顺模拟)已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是an ，其，其 前前n项和项和Sn ，则项数，则项数n等于等于 ()A.13 B
13、.10 C.9 D.6解析：解析：答案：答案：D观察可得出观察可得出n6.3.(2009广东高考广东高考)已知等比数列已知等比数列an满足满足an0，n1,2，且，且a5a2n522n(n3)，则当，则当n1时，时，log2a1log2a3 log2a2n1 ()A.n(2n1)B.(n1)2 C.n2 D.(n1)2解析：解析：由由a5a2n522na ，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.答案：答案：C2n4.数列数列1，的前的前n项和项和Sn.解析：解析：由于由于an答案：答案：5.若数列若数列
14、an是正项数列，且是正项数列，且 n2 3n(nN*)，则，则 .解析：解析：令令n1得得 4，即，即a116，当当n2时，时，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以所以an4(n1)2，当当n1时，也适合，所以时，也适合，所以an4(n1)2(nN*).于是于是 4(n1)，故，故 2n26n.答案：答案：2n26n6.已知函数已知函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2.数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，点，点(n，Sn)(nN*)均在函数均在函数y f(x)的图象上的图象上.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设
15、设bn ，Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn 对所有对所有nN*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m.解：解：(1)依题意可设依题意可设f(x)ax2bx(a0)，则则f(x)2axb.由由f(x)6x2得得a3，b2，f(x)3x22x.又由点又由点(n，Sn)(nN*)均在函数均在函数yf(x)的图象上，的图象上，得得Sn3n22n.当当n2时，时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当当n1时，时，a1S1312211615.所以所以an6n5(nN*).(2)由由(1)得得bn故故Tn因此，使得因此，使得 (nN*)成立的成立的m必须且仅必须且仅需满足需满足 ，即，即m10，故满足要求的最小正整数，故满足要求的最小正整数m为为10.
