1、1.数学的魅力数学的魅力 数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有魅力的学科，数学美的魅力是诱人的，数学富有魅力的学科，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我们教师可以让数学课堂变成师生寻找美的源泉，们教师可以让数学课堂变成师生寻找美的源泉，妙用现代信息技术手段，让学生采撷数学的美，妙用现代信息技术手段，让学生采撷数学
2、的美，享受数学的美，创造数学的美，领悟数学的魅力，享受数学的美，创造数学的美，领悟数学的魅力，从而培养学生的美感和良好情操，促进学生创新从而培养学生的美感和良好情操，促进学生创新素质的发展。素质的发展。新的数学课程标准指出：在数学教学过程中，新的数学课程标准指出：在数学教学过程中，教师要充分利用教学资源，对学生实施美的教育，教师要充分利用教学资源，对学生实施美的教育，培养学生高尚的审美情趣，培养学生善于发现美、培养学生高尚的审美情趣，培养学生善于发现美、鉴赏美、创造美的能力，使学生在学习过程中充鉴赏美、创造美的能力，使学生在学习过程中充分享受美、从而形成美的心灵、美的灵魂。分享受美、从而形成美
3、的心灵、美的灵魂。1 不管是在中小学数学中，还是大学数学中，不管是在中小学数学中，还是大学数学中，数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有魅力的学科，它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任魅力的学科，它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。正如美国数学家克莱因曾何学科都不能相比的。正如美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰音乐能激发或抚慰
4、情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。学却能提供以上一切。”2这就需要我们教师在课堂教学中，采撷数学这就需要我们教师在课堂教学中，采撷数学的美育因素，妙用现代信息技术，运用色的美育因素，妙用现代信息技术，运用色彩艳丽的插图、创设童话般的学习情境、彩艳丽的插图、创设童话般的学习情境、演示动感十足的数学课件等等这些充满演示动感十足的数学课件等等这些充满“美美”的新鲜事物，紧紧地抓住学生的心的新鲜事物，紧紧地抓住学生的心灵，给学生展现数学中的美，让学生
5、感受灵，给学生展现数学中的美，让学生感受数学中的美，欣赏数学中的美，从而创造数学中的美，欣赏数学中的美，从而创造出数学的美，领悟数学的魅力。出数学的美，领悟数学的魅力。3 1.1.趣味之美趣味之美数学的美，质朴，深沉，令人赏数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝拍案叫绝!数学的趣，醇浓如酒，令人数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。因为它美，才更有趣，因神魂颠倒。因为它美，才更有趣，因为它趣，才更显得美。美和趣的和谐为它趣，才更显得美。美和趣的和谐结合，便出现了种种奇妙。结合，便出现了种种奇妙。下面试举几下面试举几个例子：个例子：4 花
6、瓣与数学花瓣与数学人们在欣赏大自然美丽的景色的时候，往往会被人们在欣赏大自然美丽的景色的时候，往往会被花朵的美丽的颜色和形状吸引住，而数学家在观花朵的美丽的颜色和形状吸引住，而数学家在观察花的时候，不仅注意花的几何形状，还关注到察花的时候，不仅注意花的几何形状，还关注到花的其他的数学特性。花的其他的数学特性。13世纪有一个欧洲数论学世纪有一个欧洲数论学家斐波那契他发现了花瓣的个数有一个规律。家斐波那契他发现了花瓣的个数有一个规律。以前你注意过这些美丽的花儿都有多少个花以前你注意过这些美丽的花儿都有多少个花瓣？如果没有，就请你现在看着图片数一数。瓣？如果没有，就请你现在看着图片数一数。看过之后，
7、你会惊奇地发现这些花瓣的个数，看过之后，你会惊奇地发现这些花瓣的个数，有一个规律，有一个规律，1，2，3，5，8，13，21，34，55，它的特点是从第三项开始每一项都是数，它的特点是从第三项开始每一项都是数列中前两项之和，由于这个数列最早是由数学家列中前两项之和，由于这个数列最早是由数学家斐波那契发现，因此就用他的名字来命名，称之斐波那契发现，因此就用他的名字来命名，称之为为“斐波那契数列斐波那契数列”。自然界大多数花都符合这。自然界大多数花都符合这个规律。个规律。5 从图片中你可以看到有一个花瓣的花，你还能想从图片中你可以看到有一个花瓣的花，你还能想出其他的只有一个花瓣的花吗？有两个花瓣的
8、海棠，出其他的只有一个花瓣的花吗？有两个花瓣的海棠，有三个花瓣的百合花、铁兰、鸢尾花。最常见的花有三个花瓣的百合花、铁兰、鸢尾花。最常见的花瓣数就是五个，像蝴蝶兰、梅花、洋紫荆、黄蝉、瓣数就是五个，像蝴蝶兰、梅花、洋紫荆、黄蝉、桃、李、樱花、杏、苹果、梨、毛良等都是有五个桃、李、樱花、杏、苹果、梨、毛良等都是有五个花瓣，还有八个花瓣的飞燕草；有十三花瓣的瓜叶花瓣，还有八个花瓣的飞燕草；有十三花瓣的瓜叶菊和万寿菊；紫莞有二十一瓣。向日葵的花瓣有的菊和万寿菊；紫莞有二十一瓣。向日葵的花瓣有的是是21枚，有的是枚，有的是34枚。而大多数的雏菊都是三十四枚。而大多数的雏菊都是三十四瓣、五十五瓣或八十九
9、瓣。瓣、五十五瓣或八十九瓣。以后当你学植物课和在观赏花的时候，除了看以后当你学植物课和在观赏花的时候，除了看它的美，可别忘了数一数它有几个花瓣呀。来检验它的美，可别忘了数一数它有几个花瓣呀。来检验一下这种花有几个花瓣，它是否符合一下这种花有几个花瓣，它是否符合“斐波那契数斐波那契数列列”呢。当然大自然中也会有一些植物不符合呢。当然大自然中也会有一些植物不符合“斐斐波那契数列波那契数列”，因为人们也发现了符合另外数列的，因为人们也发现了符合另外数列的花朵。你也可以找到这样的例子。花朵。你也可以找到这样的例子。6 虽然存在有少数花朵不符合虽然存在有少数花朵不符合“斐波那契数斐波那契数列列”，但是大
10、部分花朵都符合，但是大部分花朵都符合“斐波那契数斐波那契数列列”，这也给我们提出了一个新的问题，为什，这也给我们提出了一个新的问题，为什么大多数花朵的花瓣数会符合么大多数花朵的花瓣数会符合“斐波那契数斐波那契数列列”，而为什么会有少数花朵不符合，而为什么会有少数花朵不符合“斐波那斐波那契数列契数列”呢，造成这种不同选择的原因是什么？呢，造成这种不同选择的原因是什么？大自然太奇妙了，目前我们对它的研究还很不大自然太奇妙了，目前我们对它的研究还很不充分，需要研究的课题还有很多呢。充分，需要研究的课题还有很多呢。还有人在研究花朵的几何形状，发现花瓣还有人在研究花朵的几何形状，发现花瓣对称地排列在花托
11、边缘，整个花朵几乎完美无对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称形状，除了颜色的丰富多缺地呈现出辐射对称形状，除了颜色的丰富多样，五颜六色之外，那就花瓣的形状也是有很样，五颜六色之外，那就花瓣的形状也是有很大的差异。但是花瓣形状之美以及整个花朵呈大的差异。但是花瓣形状之美以及整个花朵呈现出来的对称之美，实在是让人看了之后赞叹现出来的对称之美，实在是让人看了之后赞叹不已。不已。7 人们可以看到在花的世界有很多的数学特征可以研究。例如，人们可以看到在花的世界有很多的数学特征可以研究。例如，创立坐标法的著名数学家笛卡尔，他很早就在研究的一簇花瓣和创立坐标法的著名数学家笛卡尔，他很早
12、就在研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了叶形曲线特征，列出了x3y33axy0的方程式，这就是现代数学中有名的的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线笛卡尔叶线”（或者（或者叫叫“叶形线叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字），数学家还为它取了一个诗意的名字茉莉花茉莉花瓣曲线。瓣曲线。为什么花瓣的数目经常是特定的这几种？如果是遗传决定了为什么花瓣的数目经常是特定的这几种？如果是遗传决定了花朵的花瓣数，那么为什么它们会与花朵的花瓣数，那么为什么它们会与“斐波那契数列斐波那契数列”如此的巧如此的巧合呢合呢?科学家们认为这是植物在大自然长期生存中，不断地适应和科学家们认为这是植物在大自然长期
13、生存中，不断地适应和进化的结果。进化的结果。而我们想知道的是，为什么大自然的花朵会有这样的数学特而我们想知道的是，为什么大自然的花朵会有这样的数学特性，在呈现出来的数学特性背后的科学的机理又是什么？这些都性，在呈现出来的数学特性背后的科学的机理又是什么？这些都是留给人们要去深入研究和解决的问题。是留给人们要去深入研究和解决的问题。8 数学、分形与龙数学、分形与龙 分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、三角形、）。但许多随意
14、性的自然现象似乎难于由欧几）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得几何发祥于古代的希腊（约于公元前几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下年，欧几里得写下了了几何原本几何
15、原本），而分形出现的时间则要迟至），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事世纪。事实上，分形这个术语在实上，分形这个术语在1975年年B曼德勃罗之前还没有被造曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与与2之之间的分数，而在空间里分形维数在间的分数，而在空间里分形维数在2与与3之间。在分形的世界之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是里，我们不能把它说成是2维或维或3维的，而应说它是维的，而应说它是1.75维或维或2.3
16、维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子是塞沙洛曲线。是塞沙洛曲线。9 分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数分形的新应
17、用不断被发现。由于分形能够用递推函数加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理想的。像电影想的。像电影星际旅行星际旅行：可汗的愤怒：可汗的愤怒中新行星的中新行星的诞生以及诞生以及吉地的返回吉地的返回中行星在空间飘浮等壮观的场中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克
18、芬诺沼泽地和生态变化。注：（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H哈斯哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。留下来）。10 事实上，生态系统用分形来处理已成为当前事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散
19、和研究的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以是
20、如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家JE亥亥威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。11 这里所用的方法与生成雪花曲线一样。在雪花曲线中，这里所用的方法与生成雪花曲线一样。在雪花曲线中，我们从一个等边三角形开始，然后在它三分边的中段加我们从一个等边三角形开始，然后在它三分边的中段加上一个较小的等边三角形，并持续同样的过程。而龙的上一个较小的等边三角形，并持续同样的过程。而龙的曲线是由一个等腰直角三角形开始的，以该等腰直角三曲线是由一个等腰直角三角形开始的，以该等腰直角三角形的直角边为
21、斜边作另外的等腰直角三角形，再以这角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形，再以这些新等腰直角三角形的直角边为斜边作另一些等腰直角些新等腰直角三角形的直角边为斜边作另一些等腰直角三角形，如此等等。并将所有的斜边删除掉，如上图所三角形，如此等等。并将所有的斜边删除掉，如上图所示。现在，你可以尝试创造你自己的分形。从一些其他示。现在，你可以尝试创造你自己的分形。从一些其他类型的几何对象开始，并设计一种类似的程序。类型的几何对象开始，并设计一种类似的程序。12 海湾战争是海湾战争是“数学战争数学战争”海湾战争背后的数学战当代战争史上赫赫有名的海湾战争的海湾战争背后的数学战当代战争史上赫赫有名的海湾战
22、争的背后，就是一场不动声色的数学战。背后，就是一场不动声色的数学战。1990年，伊拉克入侵科威特之后，为阻挡以美国为首年，伊拉克入侵科威特之后，为阻挡以美国为首的多国部队的军事进攻，点燃油田成为伊拉克的手中利器。的多国部队的军事进攻，点燃油田成为伊拉克的手中利器。当时许多科学家发出警告：如果海湾发生战争，伊拉克引爆当时许多科学家发出警告：如果海湾发生战争，伊拉克引爆科威特数以千计的油井，人类将面临一场前所未有的生态大科威特数以千计的油井，人类将面临一场前所未有的生态大灾难，气候会发生灾难性的变化，灾难，气候会发生灾难性的变化，10亿人赖以生存的粮食生亿人赖以生存的粮食生长将受到严重威胁。长将受
23、到严重威胁。打还是不打？美国必须考虑伊拉克点燃所有油井的后果。打还是不打？美国必须考虑伊拉克点燃所有油井的后果。为此，五角大楼要求太平洋为此，五角大楼要求太平洋赛拉研究公司研究此问题。赛拉研究公司研究此问题。这家公司利用这家公司利用NavierStokes方程和有热损失能量方程作方程和有热损失能量方程作为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：这些油井为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：这些油井的烟雾可能招致一场重大的污染事件，可能波及波斯湾、伊的烟雾可能招致一场重大的污染事件，可能波及波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失
24、去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这个计算结论最终促成美国下定决心攻打伊拉挽回的损失。这个计算结论最终促成美国下定决心攻打伊拉克。克。13 一、方程在海湾战争中的应用一、方程在海湾战争中的应用1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光不能照到地面，就会的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光
25、不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研究成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于
26、产生全球性的后果。这对美国军方计划和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。这对美国军方计划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化第一次世界大战是化学战争学战争(炸药炸药)，第二次世界大战是物理学战争，第二次世界大战是物理学战争(为原子弹为原子弹)，而海，而海湾战争是数学战争。湾战争是数学战争。”14 二、巴顿的战舰与浪高二、巴顿的战舰与浪高军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、天侯、波浪、水文等自然情况和学和模拟试验为基础，通过对地形、
27、天侯、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。科学依据。1942年年10月，巴顿将军率领月，巴顿将军率领4万多美军，乘万多美军，
28、乘100艘战舰，直奔距艘战舰，直奔距离美国离美国4000公里的摩洛哥，在公里的摩洛哥，在11月月8日凌时晨登陆。日凌时晨登陆。11月月4日，海面日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42。直到。直到11月月6日天日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。我将按原计划行动。15 11月月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划
29、登日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军血胆将军”拿将士的生命作赌注。拿将士的生命作赌注。其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月月4日至日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整个舰队造成危险。相反，个舰队造成危险。相反，1
30、1月月8日却是一个有利于登陆的日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会可怕的机会”，突然出现在敌人面前。，突然出现在敌人面前。16 三、山本五十六输在换弹的五分钟三、山本五十六输在换弹的五分钟在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局的失利。二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位的失利。二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢，要么全赢，要么输个精光要么输个精光”的的“拼命将军拼命将军”。在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭
31、失利，海面出现在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭敌方，根本不考虑美军敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭到美机攻击的后果，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。到美机攻击的后果
32、，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和“躺在甲板上的躺在甲板上的飞机飞机”变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的“全面屠杀全面屠杀”。日本舰队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战日本舰队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战略防御。战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败略防御。战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败原因之一归咎于那原因之一归咎于那“错误的五分钟错误的五分钟”。可见，忽略了这个看似很小。可见，忽略了这个看似很小的时
33、间因素的损失是多么重大。的时间因素的损失是多么重大。17 中国科学院院士、著名数学家王梓坤说：中国科学院院士、著名数学家王梓坤说：“人人们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次世们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次世界大战是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。界大战是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。”在海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，在海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间，效率惊人，这是因为他们只用了短短一个月时间，效率惊人，这是因为他们运用了数学中的统筹学和优化技术。运用了数学中的统筹学和优化技术。18 1.2.形象之美形象之美高度抽象的数学知
34、识，要激起学生的学习兴趣，并能享受到喜高度抽象的数学知识，要激起学生的学习兴趣，并能享受到喜悦，产生美感，教师就应根据学生的认知水平，尽可能的选择一些悦，产生美感，教师就应根据学生的认知水平，尽可能的选择一些直观教学手段，尤其是充分利用现代信息技术教学手段，使抽象的直观教学手段，尤其是充分利用现代信息技术教学手段，使抽象的数学知识形象化，使数学中的美看得见、摸得着，从而触动学生的数学知识形象化，使数学中的美看得见、摸得着，从而触动学生的情趣，起到潜移默化的作用。情趣，起到潜移默化的作用。在现代化教学手段相当普遍的今天，可以把情景图等教学内容在现代化教学手段相当普遍的今天，可以把情景图等教学内容
35、制作成动画课件，充分利用它的形、声、色、动、静等功能，使静制作成动画课件，充分利用它的形、声、色、动、静等功能，使静态的画面动作化，抽象的知识形象化，渲染气氛，创设学习情境。态的画面动作化，抽象的知识形象化，渲染气氛，创设学习情境。例如，在中学数学课本例如，在中学数学课本“三角形的面积三角形的面积”这一内容教学时，教师可这一内容教学时，教师可以充分利用计算机课件的鲜艳色彩、旋转的画面、直观形象地把两以充分利用计算机课件的鲜艳色彩、旋转的画面、直观形象地把两个三角形通过旋转、平移等一系列动态的画面拼成了一个平行四边个三角形通过旋转、平移等一系列动态的画面拼成了一个平行四边形或长方形，课件生动逼真
36、地显示了图形的剪拼、旋转、平移的过形或长方形，课件生动逼真地显示了图形的剪拼、旋转、平移的过程，活跃了课堂气氛创设了美的情境。真是一幅动感画面激起千层程，活跃了课堂气氛创设了美的情境。真是一幅动感画面激起千层浪，使同学们自然而然地展开了联想和讨论，三角形面积的计算公浪，使同学们自然而然地展开了联想和讨论，三角形面积的计算公式已呼之欲出，同学们已经进入教师创设的教学情境之中，强烈的式已呼之欲出，同学们已经进入教师创设的教学情境之中，强烈的求知欲和创新意识已然写在脸上。学生在不知不觉中感受到了数学求知欲和创新意识已然写在脸上。学生在不知不觉中感受到了数学的形象之美，有效地突破了重难点。的形象之美，
37、有效地突破了重难点。19 谈到形象美，人们便联想到文学艺术，如：影视、谈到形象美，人们便联想到文学艺术，如：影视、雕塑、绘画等，似乎数学中的数与形只是抽象的孪生兄雕塑、绘画等，似乎数学中的数与形只是抽象的孪生兄弟。其实，数学中数与形的有机结合，可以组成许多绚弟。其实，数学中数与形的有机结合，可以组成许多绚丽的景象。阿拉伯数字本身就有着极美的形象：丽的景象。阿拉伯数字本身就有着极美的形象：“l”像像小棒，小棒，“2”像小鸭，像小鸭，“3”像睇朵，像睇朵，“4”像小旗像小旗瞧，瞧，多么生动。多么生动。“=”(等于号等于号)两条同样长短的平行线，表达了运算两条同样长短的平行线，表达了运算结果的唯一性
38、，体现了数学的清晰与精确；结果的唯一性，体现了数学的清晰与精确；“-”(约等于约等于号号)是等于号的变形，表达了两种量问的相似性，体现了是等于号的变形，表达了两种量问的相似性，体现了数学的模糊与朦胧；数学的模糊与朦胧；“”(大于号大于号)和和“”(小于号小于号)，一，一端张开，一端收紧，形象地表明了两个量之间的大小关端张开，一端收紧，形象地表明了两个量之间的大小关系。系。看到看到“”“”(垂直线条垂直线条)，我们可以想起屹立街头的高楼，我们可以想起屹立街头的高楼，它给我们的是挺拔感；看到它给我们的是挺拔感；看到“-”(水平线条水平线条)，我们可以，我们可以想起无风的海面，它给我们的是沉静感；看
39、到想起无风的海面，它给我们的是沉静感；看到“”(曲曲线线条线线条)，我们可以想起波涛滚滚的江水，它给我们的是，我们可以想起波涛滚滚的江水，它给我们的是流动感流动感几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目：三角形的稳定性，平行四边形的易变性，圆形的广目：三角形的稳定性，平行四边形的易变性，圆形的广阔性阔性都给人以无限遐想。都给人以无限遐想。20 1.3.简洁之美简洁之美 世事再纷繁，加减乘除算尽；世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完。宇宙虽广大，点线面体包完。这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简
40、洁明了，微言大义。数学和诗歌一样，有着独特的简洁明了，微言大义。数学和诗歌一样，有着独特的简洁美。美。诗歌的简洁，众所周知诗歌的简洁，众所周知着寥寥几字，却为读者着寥寥几字，却为读者创造出了广阔的想象空间，这大概正是诗歌的魅力所创造出了广阔的想象空间，这大概正是诗歌的魅力所在。在。美国著名心理学家美国著名心理学家L？布隆菲尔德（？布隆菲尔德（L.Bloonfield）说：说：“数学是语言所能达到的最高境界。数学是语言所能达到的最高境界。”如果说，诗如果说，诗歌的简洁，是写意的，是欲言还休的，是中国水墨画中歌的简洁，是写意的，是欲言还休的，是中国水墨画中的留白，那么数学语言的微言大义，则是写实的
41、，是简的留白，那么数学语言的微言大义，则是写实的，是简洁精确、抽象规范的，是严谨的科学态度的体现。数学洁精确、抽象规范的，是严谨的科学态度的体现。数学的简洁，不仅使人们更快、更准确地把握理论的精髓，的简洁，不仅使人们更快、更准确地把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前，数学作为自然科学的语言和工具，已经成了性。目前，数学作为自然科学的语言和工具，已经成了所有科学所有科学包括社会科学在内的语言和工具。包括社会科学在内的语言和工具。21 最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领域的
42、的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被域的的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的译做明确的01数字串，这是多么伟大的一个构想。数字串，这是多么伟大的一个构想。可以说，没有数学的简化，就没有现在这个互联可以说，没有数学的简化，就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。网四通八达、信息技术飞速发展的时代。数学科学的严谨性，决定它必须精炼，准确，数学科学的严谨性，决定它必须精炼，准确，因而简洁美是数学的又一特色。数学中的简洁之因而简洁美是数学的又一特色。数学中的简洁之美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有美无处不在，从自然数到哥德巴赫猜想，只要有数学的地方，你总会采撷到数学
43、的简洁美。数学数学的地方，你总会采撷到数学的简洁美。数学和符号的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了和符号的使用可以替代语言文字，同时又浓缩了语言文字的全部含义。语言文字的全部含义。22 有一首诗写道：世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点有一首诗写道：世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完。这首诗，用字不多，却概括出了数学的简洁明了，目线面体包完。这首诗，用字不多，却概括出了数学的简洁明了，目前，数学作为自然科学的语言和工具，已经成了所有科学前，数学作为自然科学的语言和工具，已经成了所有科学包包括社会科学在内的语言和工具。最为典型的例子，莫过于二进制在括社会科学在内的语言和工具。
44、最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领域的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的计算机领域的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的01数字串，这是多么伟大的一个构想。可以说，没有数学的简化，数字串，这是多么伟大的一个构想。可以说，没有数学的简化，就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。谈到就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。谈到二进制，据说与二进制，据说与周易周易中的八卦有着十分密切的联系。众所周知，中的八卦有着十分密切的联系。众所周知，现代电子计算机最基本的数学基础是二进制数。二进制符号是德国现代电子计算机最基本的数学基础是二进制数。二进制符号
45、是德国数学家莱布尼茨（数学家莱布尼茨（Leibniz，16461716）发明的。莱布尼茨于）发明的。莱布尼茨于1679年撰写了年撰写了二进制算术二进制算术，阐述了二进制理论。莱布尼茨自，阐述了二进制理论。莱布尼茨自称，他之所以会想到二进制数，就是因为受到了八卦符号的启发。称，他之所以会想到二进制数，就是因为受到了八卦符号的启发。他还说：他还说：“可以让我加入中国籍了吧可以让我加入中国籍了吧”。23 1.4.对称之美对称之美数学是一种文化，凝聚并积淀了一代代人创造和智慧的结晶，数学是一种文化，凝聚并积淀了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生感受数学我们有理由
46、向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生感受数学的博大、精深和美丽，领略人类的智慧与文明。的博大、精深和美丽，领略人类的智慧与文明。对称是美学的基本法则之一，它广泛地存在于我们的日常生对称是美学的基本法则之一，它广泛地存在于我们的日常生活中，存在于千姿百态的动植物中，存在于人类创建的文明史中，活中，存在于千姿百态的动植物中，存在于人类创建的文明史中，存在于数学教学中。如数学中众多的轴对称、中心对称图形，镜存在于数学教学中。如数学中众多的轴对称、中心对称图形，镜面对称现象以及等量关系都赋予了平衡，协调的对称美。面对称现象以及等量关系都赋予了平衡，协调的对称美。读，都是情景交融、清新可读的好诗。类似
47、的又如读，都是情景交融、清新可读的好诗。类似的又如“香莲碧香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长。长日夏凉风动水，凉风动水碧莲水动风凉，水动风凉夏日长。长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香香”。这些诗凭着精巧的构思，给人以奇妙的感受，每每读之，。这些诗凭着精巧的构思，给人以奇妙的感受，每每读之，读者都会中国的文学讲究对称，这点可以从历时百年的楹联文化读者都会中国的文学讲究对称，这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。而更胜一筹的对称，就是回文了。苏轼有一首著名中窥见一斑。而更胜一筹的对称，就是回文了。苏轼有一首著名的七律的七律游金山寺游金山寺，便是这方面的上乘之作：，便是这方面的上乘之作：24 游金山寺游金
48、山寺 潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。/桥对寺门松径小，槛当泉桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。眼石波清。/迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。/遥望四边云接水，遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。碧峰千点数鸥轻。不难看出，把它倒转过来，仍然是一首完整的七律诗：不难看出，把它倒转过来，仍然是一首完整的七律诗：轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。/晴日晚霞红霭霭，晓天江晴日晚霞红霭霭，晓天江树绿迢迢。树绿迢迢。/清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。/明月钓舟渔浦远，明月钓舟渔浦远，倾山雪
49、浪暗随潮。倾山雪浪暗随潮。这首回文诗无论是顺读或倒暗自叫绝。这首回文诗无论是顺读或倒暗自叫绝。而数学中，也不乏这样的回文现象，如：而数学中，也不乏这样的回文现象，如：1212=144，2121=441；1313=169，3131=961；102102=10404，201201=40401；103103=10609，301301=90601；9+5+4=8+7+3，92+52+42=82+72+32.而数学中更为一般的对称，则体现在函数图象的对称性和几何而数学中更为一般的对称，则体现在函数图象的对称性和几何图形上。前者给我们探求函数的性质提供了方便，后者则运用在建图形上。前者给我们探求函数的性质
50、提供了方便，后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感。筑、美术领域后给人以无穷的美感。25 1.5.生活之美生活之美著名的数学家华罗庚曾这样说道：著名的数学家华罗庚曾这样说道：“宇宙之大，粒子之宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。数学。”这是对数学与生活紧密联系的最完美的诠释。数学这是对数学与生活紧密联系的最完美的诠释。数学来源于生活来源于生活,数学课不仅要教师带领学生们走进数学课不仅要教师带领学生们走进“数数”的海洋的海洋,它还要再现生活数学的美丽图景。只有教师把所要教的数学它还要再现生活数学的美丽
