1、河南省淮阳中学探究准备探究准备：1、二面角的概念二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；竖立式竖立式l 横卧式横卧式 ll河南省淮阳中学探究准备探究准备：2.二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。二面角的大小范围：00 ，1800;o oo河南省淮阳中学注意：二面角的平面角的特点二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 lOABAOB(1)(2)河南
2、省淮阳中学探究准备探究准备：2、三垂线定理：、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；就和这条斜线垂直；loAB3、平面的法向量。、平面的法向量。平面的法向量：平面的法向量：直线直线L L垂直平面垂直平面，取直线，取直线L L的方的方向向量，则这个方向向量叫做平面向向量，则这个方向向量叫做平面的法向量。的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）河南省淮阳中学lo棱上一点双垂线法棱上一点双垂线法1.1.作出二面角的平面角求解
3、，主要有作出二面角的平面角求解，主要有3 3种方法：种方法：（1）棱上一点双垂线法棱上一点双垂线法(定义法)：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹的角；oPAB空间一点垂面法空间一点垂面法（2）空间一点垂面法：空间一点垂面法：作垂直于棱的一个平面，这个平面与两个半平面分别有一条交线，这两条交线所成的角；河南省淮阳中学A1B1C1ABC 射影面积法射影面积法 多边形射影多边形SScos1.1.做二面角的平面角主要有做二面角的平面角主要有3 3种方法：种方法：（3）面内一点三垂线法：面内一点三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为
4、B）再做棱的垂线，记垂足为O，连接AO，则AOB即为该二面角的平面角。（4 4）射影面积法射影面积法 loAB面内一点三垂线法面内一点三垂线法这种解法叫做这种解法叫做“射影射影面积法面积法”在选择和在选择和填空题中有时候用起填空题中有时候用起来会很好来会很好2.2.不需做出二面角的平面角主要有不需做出二面角的平面角主要有3 3种方法：种方法：河南省淮阳中学3.3.利用空间向量的方法，主要有利用空间向量的方法，主要有2 2种思路：种思路：（2 2）分别在二面角的两个半平面内找到一）分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量
5、的夹角的大小就是二面角的平面角两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小。的大小。（1 1）通过求平面的法向量，求得二面角的两个）通过求平面的法向量，求得二面角的两个半平面的法向量半平面的法向量 和和 ，则所求二面角的大小，则所求二面角的大小为为 或或 1n2n21,nn21,nn相等相等互补互补oABCD面的法向量夹角法面的法向量夹角法两射线方向向量夹角法两射线方向向量夹角法河南省淮阳中学例例1.1.如图，已知如图，已知P P是是二面角二面角-AB-AB-棱上一点，过棱上一点，过P P分别在分别在、内引内引射线射线PMPM、PNPN，且，且 MPN=60 MPN=60 BPM=BPN=45
6、 BPM=BPN=45，求此二面角的度数。求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC棱上一点双垂线法棱上一点双垂线法河南省淮阳中学例2如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面
7、PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosAPB由余弦定理得由余弦定理得APB=60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO学以致用：学以致用：空间一点垂面法空间一点垂面法例例3.（2012年新课标高考年新课标高考19题题）.,21111111BDDCAADAABCACCBAABC的中点，是棱中，如图，直三棱柱的大小。求二面角；）证明：（111)2(1CBDABCDCABC1A1B1CD45,1ADCACADDACRt中，）证明：在（90,45111CDCDCA同理得DCDC 1BCDDC面1BDDC 1又BCDC 1（2 2）解法一：
8、）解法一：BCCCBCDC11,ACBCAACCBC11面BDHCHCHBDOHO11,，则连接于点作过点1111CBCA中，在直三棱柱111CBAABC OCOBA111,连接的中点取111BAOC111111111111,BABDBACBABDBACBA面面面面BDBAOC111面重合与点点又DHBDDC1的平面角就是二面角111CBDADOCOCaDCaOCaAC11122,22,则设.30,30111的大小为即二面角CBDADOCABC1A1B1CDOH（面内一点三垂线法）（面内一点三垂线法）例例3.（2012年新课标高考年新课标高考19题题）.,21111111BDDCAADAABC
9、ACCBAABC的中点，是棱中，如图，直三棱柱的大小。求二面角；）证明：（111)2(1CBDABCDC评注评注：几何法：几何法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。计算求出相应的角。（2 2）解法二：）解法二：射影面积法射影面积法 ABC1A1B1CDOBCCCBCDC11,ACBCAACCBC11面内的射影在面即为则，连接BDBABDCBODOBOD111,中，在直三棱柱111CBAABC 1111CBCAOCOBA111,连接的中点取11
10、1BAOC111111111111,BABDBACBABDBACBA面面面面BDBAOC111面的平面角的大小为设二面角11CBDAaBDaDCaAC32,1，则设.30,3011的大小为即二面角CBDA21BDC12621S1aBDDCBDDC又2OBD423S1111aSSSSABDBOBODABABA四边形2326423cos221aaSSBDCOBDABC1A1B1CD（2 2）解法三：）解法三：平面的法向量夹角法平面的法向量夹角法 例例3.（2012年新课标高考年新课标高考19题题）.,21111111BDDCAADAABCACCBAABC的中点，是棱中，如图，直三棱柱的大小。求二面
11、角；）证明：（111)2(1CBDABCDCBCCCBCDC11,ACBCAACCBC11面)2,0,0(),2,1,0(),2,0,1(),0,1,0(),0,0,1(,1111CBABAAC则设如图）建立空间直角坐标系（轴所在直线为，为原点，分别以故以zyx,CCBCACC1)2,1,0()1,1,1()1,0,1(1BCBDD，则),(BDC11zyxn 的法向量为设面zyzxzyzyxBCnBDn2,020,00111则)1,2,1(BDC11n的法向量为所以面1z令)0,1,1(BD211nBA的法向量为同理得，面xyz23|,cos212121nnnnnn.30,30,1121的大
12、小为即二面角CBDAnnABC1A1B1CD（2 2）解法四：）解法四：两射线方向向量夹角法两射线方向向量夹角法例例3.（2012年新课标高考年新课标高考19题题）.,21111111BDDCAADAABCACCBAABC的中点，是棱中，如图，直三棱柱的大小。求二面角；）证明：（111)2(1CBDABCDCBCCCBCDC11,ACBCAACCBC11面)2,0,0(),2,1,0(),2,0,1(),0,1,0(),0,0,1(,1111CBABAAC则设如图）建立空间直角坐标系（轴所在直线为，为原点，分别以故以zyx,CCBCACC1)1,0,1()1,1,1()1,0,1(1DCBDD
13、，则xyz23|,cos111111FBDCFBDCFBDC.30,30,1111的大小为即二面角CBDAFBDC),BDBF,11，（设于作过FBDFBBBDDC1又)2,(),1,(1FBFF)34,32,32FB320111（，得，即由BDFBBDFB评注：评注：通过此例可以看出通过此例可以看出：利用：利用作出二面角的平面角（即作出二面角的平面角（即几何法几何法）来）来构造构造三角形三角形求二面角的大小，求二面角的大小，其关键又是作出二面角的平面角，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间往往很不简单。利用建立空间直角坐标系（即直角坐标系（即代数法代数法），），避开了避开
14、了“作、证作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。河南省淮阳中学二面角的几种主要常用的求法：1 1、棱上一点双垂线法棱上一点双垂线法。见例一；2 2、空间一点垂面法。空间一点垂面法。见例一、例二；2 2、面内一点三垂线法面内一点三垂线法。见例三的解法一；3 3、射影面积法射影面积法。见例三的解法二；4 4、面的法向量夹角法。面的法向量夹角法。见例三的解法三；5 5、两射线方向向量夹角法。两射线方向向量夹角法。见例三的解法四。这几
15、种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系合理建系。本着“左右对称左右对称 就地取材就地取材”的建系原则。2、视图取角视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面角的大小，我们要根据原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。河南省淮阳中学ACBD1A1D1B1CE的大小。试求二面角）若（；平面证明：平面。平面的中点，为是平行四边形，且的底面如图，四棱柱EDAAEADEDEAAEAABCDAABCEABCBCABABCDDCBAABCD1111
16、11111,2)1(,60,2,1.1DEA AEADEADEAEADEAAEAAAADEABCDDEABCDAAAEDE90AEB-CED-180AED30ECD-18021CDECED60AEBABECDABBC21ECBE11111111平面平面平面平面平面，平面）（是正三角形，）依题意，解：（要求要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。河南省淮阳中学（2）解法一：）解法一：ACBD1A1D1B1CEFH.45E-DA-A45EHF222623EHEFEHFsinEFHR26EHEDAR6DA2AA AEAA3EADEEADEAEDE DEADE11BEAE23EF
17、2BC1,AB60ABCABCDE-DA-AEHFDAEHEHHDAFHFDDAAEFEFAAABCDAAFADEFE111111111111111的大小为故所求二面角中，在等腰中，得在等腰，又，面）知，由（，中，在平行四边形的平面角就是二面角故，所以，连接于作过面面，于作如图，过tt（面内一点三垂线法）（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学QP（2）解法二：）解法二：ACBD1A1D1B1CE.45E-DA-A45EHF2233236AQAPAQPsinAPQR332AQDAAR36APEAAR6DA2AA AEAA3EADEEADEAEDE DEADE11BEAEBCE2BC1,AB60ABC
18、ABCDE-DA-AAQPDAAQAQQDAPQPEDAAPEAEDAEAAEDAEAAPEAAPA1111111111111111111的大小为故所求二面角中，在中，得，在中，得在，又，面）知，由（的中点为，中在平行四边形的平面角就是二面角故，所以，连接于作过面面，面面面，于作如图，过ttt（面内一点三垂线法）（面内一点三垂线法）河南省淮阳中学ACBD1A1D1B1CEF（2 2）解法三：）解法三：射影面积法射影面积法 .45E-DA-A45EHF22cos423AA21S2AA AEAA23SEDAR3EADEEADEAEDE DEADE125DF 1BEAE23EF2BC1,AB60AB
19、CABCDE-DA-ADAAEDADFAFADDAAEFEFAAABCDAAFADEFE1EDA1DFA11EDA11111111111111111的大小为故所求二面角又中，得在等腰，面）知，由（，中，在平行四边形的大小为设二面角上的射影在面就是面，则连接面面，于作如图，过SSDFtDFA河南省淮阳中学ACBD1A1D1B1CEyxz（2 2）解法四：）解法四：面的法向量夹角法面的法向量夹角法),(ADA11zyxn 的法向量为设面yzyxzyyxnDn23,02202323,0DA0E11则)2,1,3-(BDC11，的法向量为所以面n1y令)0,0,23(AFADA21n的法向量为易得，面
20、22-|,cos212121nnnnnn.45,135,121的大小为故所求二面角EDAAnn如图）建立空间直角坐标系（轴所在直线为，为原点，分别以以面又zyx,CCBCADAABCDAA11ADAFFBCABE1，则的中点为等边三角形，取）知由（2AA AEAA3EADEEADEAEDE DEADE111111又，面）知，由（),0,21,23(),2,0,0(),0,2,0(),0,23,23(),0,21-,23(),0,0,0(1EADCBA)2,2-,0(DA)0,23,23(DE1，则河南省淮阳中学ACBD1A1D1B1CEyxz（2 2）解法五：）解法五：两射线方向向量夹角法两射
21、线方向向量夹角法如图）建立空间直角坐标系（轴所在直线为，为原点，分别以以面又zyx,CCBCADAABCDAA11ADAFFBCABE1，则的中点为等边三角形，取）知由（2AA AEAAQAEQQ DADEA3EADEEADEAEDE DEADE111111111又，则为的中点取等腰直角三角形，面）知，由（),0,21,23(),2,0,0(),0,2,0(),0,23,23(),0,21-,23(),0,0,0(1EADCBA)2,2-,0(DA)22,21,23(QE1，则22|PA|QE|PAQEPA,QEcos.45,45PA,QE1的大小为即二面角EDAA)2,20DADP,PDAA
22、PA11，（设于作过)2,2-2,0(PA)2,22,0(P)322,32,0PA320AAPAAP11（，得，即由DD河南省淮阳中学2.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF河南省淮阳中学A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB,又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD,故DBA=600,P=
23、ABP=300,DBP=900,即PBDB；又因为是直棱柱，DD1 PB,PB面DD1B,故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,DBD1=450。即为所求.解法一：解法一：河南省淮阳中学A1D1C1B1FADCBPE解法二：解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EFPB,AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰APB,P=300，RtAPB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF
24、=1,AEF=450，即为所求。河南省淮阳中学解法三：解法三：面的法向量夹角法面的法向量夹角法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，0）F（-1，1）=（-2，0，1）=（1，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量 =(x0,y0,z0)。则 且 2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即 =（1，2）设所求二面角的平面角为，则COS=,所以所求二面角大小为450A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DDBFBD1uuFBuBD1u33河南省淮阳中学解法四：解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面积关系可得COS=ABDB1 （是所求二面角的平面角）以下求面积略。ABC1A1B1CD（2012年新课标高考年新课标高考19题题变式练习变式练习）.,21.3111111BDDCAADAABCACCBAABC的中点，是棱中，如图，直三棱柱的余弦值。求二面角；）证明：（DBCCBCDC11)2(1河南省淮阳中学。的余弦值为）答：二面角（6621DBCC要求要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。变式：河南省淮阳中学河南省淮阳中学
