1、12.4.2 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系相相交交相相切切相相离离0个公个公共点共点一个公一个公共点共点两个公两个公共点共点0 0 0 一一.直线和椭圆的位置关系直线和椭圆的位置关系一一.直线和椭圆的位置关系直线和椭圆的位置关系221.201,7525 ,(1)(2)(3)xyxybb例例 设设直直线线与与椭椭圆圆的的方方程程分分别别为为与与问问为为何何值值时时直直线线与与椭椭圆圆有有一一个个公公共共点点；直直线线与与椭椭圆圆有有两两个个公公共共点点；直直线线与与椭椭圆圆没没有有公公共共点点。2222201312375017525xybxbxbxy解解：联联立立,得得222(12)
2、4 13(375)12(325)bbb 则则 (1)=0 5 13 b 当当即即时时，直直线线与与椭椭圆圆有有一一个个公公共共点点.(2)0 5 135 13 b当当即即时时，直直线线与与椭椭圆圆有有两两个个公公共共点点.(3)0 5 135 13 bb 当当即即或或时时，直直线线与与椭椭圆圆无无公公共共点点.例例2：已知斜率为已知斜率为1的直线的直线L 过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦 AB 之长之长二二.求直线被椭圆所截弦长求直线被椭圆所截弦长练习练习.过点过点A(-1,0)、倾斜角为倾斜角为 的直线的直线 交椭圆交椭圆 于于P,Q两点，求弦两点
3、，求弦PQ的的长。长。3l2212xy2121212221111()4yyyyy ykk直线被二次曲线所截弦长公式直线被二次曲线所截弦长公式222212121 2|1141ABkxxkxxx xka22.12,4,xyyxmm练练习习 已已知知椭椭圆圆与与直直线线当当在在何何范范围围内内时时 椭椭圆圆与与直直线线分分别别相相交交 相相切切 相相离离；20,.17m当当 为为何何值值时时 直直线线被被椭椭圆圆截截得得的的弦弦长长为为1717m当当时时，椭椭圆圆与与直直线线相相交交；17m 当当时时，椭椭圆圆与与直直线线相相切切；1717mm 当当或或时时，椭椭圆圆与与直直线线相相离离.2 3m
4、222212.1,154 ,;.ABFABFxyFA BCS已已知知椭椭圆圆过过作作斜斜率率为为 的的直直线线与与椭椭圆圆交交于于两两点点，求求1F2FAxyOB4 58 1094 554 55221 1 .34xyP求椭圆中斜率为的例平行弦的中点的轨迹方程、oxyPAB1122(,)(,)A xyB xy直线与椭圆的交点、00(,)ABP xy设弦的中点，AByxm解解:设设 平平 行行 弦弦所所 在在 直直 线线 方方 程程 为为：2222584(1)014yxmxmxmxy联联立立,得得222(8)4 5 4(1)16(5)0mmm 当当 55mAB即即时时，直直线线与与椭椭圆圆相相交交
5、，即即弦弦存存在在128 5xxm 且且004,55mxm y 12000 ,2xxxyxm则则00 40mxy消消去去参参数数，得得0044 5 4 555,(,)555mxmx 又又 及及 得得4 5 4 5 40,(,)55Pxyx 点点的的轨轨迹迹方方程程为为 40Pxy即即点点的的轨轨迹迹是是直直线线在在椭椭圆圆内内的的部部分分.三、弦中点相关问题三、弦中点相关问题韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造4 554 55“解法革新”2231 1 .4xyP例、求椭圆中斜率为的平行弦的中点的轨迹方程oxyPAB:解2244xy(,)P x
6、 y设11(,)A x y直线与椭圆的交点、22114 4xy则222244xy两式相减2212xx1212()()xxxx12xx两边同除以12xx2x0 4xy即2244xy代入2544xxP点 的轨迹方程为40,xy4 54 555x2214xy22(,)B x y22124()0yy12124()()0yyyy1221124()0yxyyxy810y 4 55“点差法”解决弦的中点有关问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足曲线方程，利用端点在曲线上，坐标满足曲线方程，作差作差构造出中点坐标和斜率构造出中点坐标和斜率(利用端点在直线上利用端点在直线上)变式：变式：已知椭圆已知椭圆
7、 过点过点P(2，1)引一弦，引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造变式：变式：已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率构造出中点坐标和斜率点点作差作差12121212()4()0yyxxyyxx 480k练习、已知椭圆“点差法”
8、解决弦的中点有关问题221.2xy(1)2 求斜率为的平行弦的中点轨迹。(2)N过点（2,1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹。1 1(3)求过点M(,)且被 M 平分的弦所在的直线方程。2 21）平行弦的中点问题；）平行弦的中点问题；2）过定点的弦的中点轨迹；）过定点的弦的中点轨迹；3）过定点且被定点平分的弦所在的直线方程）过定点且被定点平分的弦所在的直线方程.（2）与弦的中点有关的问题：）与弦的中点有关的问题：（1）“点差法点差法”的关键是巧代的关键是巧代中点坐标中点坐标和和直线斜率直线斜率；注意：点差法（需要检验）注意：点差法（需要检验）222220 xyxy 在已知椭圆内部分0022
9、222020(,)1.xyykxmxyabyakxb 一一般般的的，若若是是直直线线被被椭椭圆圆截截得得的的弦弦的的中中点点，那那么么由由点点差差法法可可得得：1FxyOB2F1P2P00(,)A xy.,(0,5 2),1 322 Fyx变变式式 已已知知椭椭圆圆中中心心在在原原点点 焦焦点点直直线线被被椭椭圆圆所所截截弦弦中中点点横横坐坐标标为为，求求椭椭圆圆标标准准方方程程。2212575xy2F1FyxOM224.01,43 ,.xyxymP QOmOPOQ 例例 已已知知直直线线交交椭椭圆圆于于两两点点为为原原点点,求求为为何何值值时时,2 427m 解圆锥曲线与直线相关的问题时，最
10、常用的方法是解圆锥曲线与直线相关的问题时，最常用的方法是:韦达定理韦达定理225.12,O2,3AByxykxA BOA OB例 已知椭圆与直线交于两点，是坐标原点，当直线的斜率之和为 时，求直线的方程226.:3412,:4,Cxyml yxm例已知椭圆试确定 的取值范围，使得对于直线椭圆上有不同的两个点关于这条直线对称.oxyABlD1122(,)(,)A x yB x y解：设椭圆上的两个不同点分别为、00(,)ABD x y中点22113412xy则22223412xy两式相减222212123()4()0 xxyy121212123()()4()()0 xxxxyyyy12xx两边同
11、除以212121213()4()0 xxyyyyxx1212003 24 20 xyyyxx 003 24 20ABkxy 0030 xyDl直线004yxm003yx0 xm03ym22:3412DCxy点 在椭圆的内部22003412xy23912m2 13 2 13(,)1313m 224(1)(4,0):(4)100,.ACxyM例已知一个动圆过点且与圆相内切 求动圆圆心的轨迹方程oxyCAM解：BBC连接MA连接22:(4)100Cxy圆C圆心r 半径|CB|CM|CM.M点 的轨迹是椭圆A C以、为焦点,10长轴长为5a4c b3M点 的轨迹方程是221259xyB设切点为(4,0
12、)1010|MB|MA22ac四四.应用椭圆的定义求轨迹方程或求轨迹应用椭圆的定义求轨迹方程或求轨迹222212(2):(1)36,:(1)4.MCxyCxyM例4已知动圆与圆圆均相切，求动圆圆心 的轨迹方程oxy1C 2CMr解：设动圆半径为11MC动圆与圆 内切，2.C与圆外切1|6MCr2|2MCr12|8MCMC12|CCM点 的轨迹是12CC、以为焦点,8.长轴长为 的椭圆4a1c 22bac15M点 的轨迹方程是2211615xyoxy1C 2C12MC动圆与圆 内切，2.C与圆 内切M1|6MCr2|2MCr 12|4MCMC12|CCM点 的轨迹是12CC、以为焦点,4.长轴长
13、为 的椭圆2a1c 22bac3M点 的轨迹方程是22143xy2212125(1)141 xyFFPFPQPQPFQ例已知椭圆的焦点是，是椭圆上的一个动点。如果延长到，使得，求动点的轨迹方程.oxy1F2FPQ2214xy解：椭圆1(3,0)F 12|4PFPF2|PQPF1|4PFPQ1|4QF 即Q动点 的轨迹为1F以 为圆心，4.为半径的圆Q动点 的轨迹方程为22(3)16xy22122125(2)1 41 .xyFFPFFPFQQ例已知椭圆的焦点是，是椭圆上任一点。从向的外角平分线引垂线，垂足为求点的轨迹方程oxyP1F2FQ21FQFPE解：延长交于E2|QEQF2|PEPF12|
14、4PFPF1|4PFPEOQ连接11|2|OQEF1|4EF 即2Q动点 的轨迹为O以 为圆心，2.为半径的圆Q动点 的轨迹方程为224xy22221212(1)1,:(1)9,OxyOxyMOOM2.2.圆圆：圆圆动动圆圆与与圆圆外外切切，与与圆圆内内切切，求求动动圆圆圆圆心心的的轨轨迹迹方方程程。练习：练习：1.求过点求过点A(2,0)且与圆且与圆C:内切的圆的圆心内切的圆的圆心P的轨迹方程。的轨迹方程。224320 xyx1.当当K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有两个公共点有两个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?2.无论无论k为
15、何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点22194xy D变式变式练习：练习：1、如果椭圆、如果椭圆 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0 B、x+2y-4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恒有公共点，则恒有公共点，则m的范围的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左
16、焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线，则弦长则弦长|AB|=_,DC193622yx1522myx165思考：思考：不不能能确确定定个个个个个个）的的交交点点个个数数与与椭椭圆圆直直线线D.C.2 B.1 A.0(14y16x1mxy22 3、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程作差可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程作差可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方
17、法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线）（适用于任何曲线）21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结.AB,BA,1yx4mxy122的的最最大大值值求求两两点点交交于于与与椭椭圆圆：直直线线 .d,d52xy:LP,1yx4P222的的最最值值求求的的距距离离为为到到直直线线上上一一点点是是椭椭圆圆：设设 的的方方程程。求求直直线线两两点点，且且、于于交交椭椭圆圆若若直直线线迹迹；所所截截得得的的弦弦的的中中点点的的轨轨被被椭椭圆圆求求直直线线及及直直线线已已知知椭椭圆圆：L,OQOPQPCL)2(CL)1(.Rm,mxy:L1y
18、x4.322 4、中心在原点，一个焦点为、中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被）的椭圆被 直线直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是所截得弦的中点横坐标是 ，求椭圆，求椭圆 方程。方程。5021的的方方程程。，求求直直线线的的面面积积为为若若两两点点，作作直直线线与与椭椭圆圆交交于于过过中中心心，和和的的左左右右焦焦点点分分别别为为椭椭圆圆AB20ABFB,AOFF120y45x.522122 由由。理理的的值值，若若不不存存在在，说说明明若若存存在在，求求的的圆圆过过点点为为直直径径的的值值，以以是是否否存存在在试试判判断断若若，交交于于点点和和椭椭圆圆已已知知直直线线k.CABk:)
19、,0,1(CB,A1y3x2kxy.622 6.,(8,0),(8,0),30(1)ABCBCABACABCG 例例已已知知中中、边边上上中中线线长长之之和和为为，求求重重心心 的的轨轨迹迹方方程程；221(0)10036xyy定定义义法法：(8,0)B (8,0)CxyOANMG(2)A顶顶点点 的的轨轨迹迹方方程程。221(0)900324xyy代代入入法法：(8,0)B (8,0)CxyOANMG221(0)10036xyy222212127.(1)1,:(1)9,CxyCxyMCCM例例 已已知知圆圆：圆圆动动圆圆与与外外切切 与与内内切切 求求圆圆心心的的轨轨迹迹方方程程。22143
20、xy1C2CxyO(,)M x y定定义义法法：2.判别方法判别方法(代数法代数法)通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论通常消去方程组中的一个变量，得到个数进行讨论通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程关于另一变量的一元二次方程1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离小结：直线与椭圆的位置关系小结：直线与椭圆的位置关系(3)0有两个公共点有两个公共点直线与椭圆相交；直线与椭圆相交；练习、已知椭圆:解2222xy(,)P x y设中点11(,)A x y弦与椭圆的交点、221122xy则22222
21、2xy两式相减2212xx1212()()xxxx12xx两边同除以12xx(1)2x40 xy 在椭即直线圆内部分2212xy22(,)B x y22122()0yy12122()()0yyyy1221122()0yxyyxy420y“点差法”解决弦的中点有关问题221.2xy(1)2 求斜率为的平行弦的中点轨迹。(2)N过点（2,1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹。1 1(3)求过点M（,）且被M平分的弦所在的直线方程。2 2(2)12NPykx即为平行弦斜率为平行弦斜率1202yxyx222220 xyxy 在已知即椭圆椭圆内部分(3)1120k 22设弦斜率为k。1k2111()y
22、x2222430 xy 即121220yyxyxx练习练习.如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心轨道是以地心(地球的中心地球的中心)F2为一个焦点的椭圆，已为一个焦点的椭圆，已知它的近地点知它的近地点A(离地面最近的点离地面最近的点)距地面距地面439km，远地，远地点点B(离地面最远的点离地面最远的点)距地面距地面2384km，并且，并且F2、A、B在同一直线上，设地球半径约为在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运，求卫星运行的轨道方程行的轨道方程(精确到精确到1km)a a-c ca a+c cF F2 2F F1 1B BA AO解：由题意可知解：由题意可知ac=6371+439 ac=6371+2384 解得：解得：a=7782.5，c=972.5227721.5bac 222217728.57721.5xy卫星轨道方程为
