1、静静 力力 学学55 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件54 力力 偶偶 矩矩 矢矢52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影5 1 空间共点力系合成的几何法及其空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件平衡的几何条件静静 力力 学学53 空间共点力系合成的解析法及其空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件平衡的解析条件第第 五五章章空空间间基基本本力力系系 空间共点力系合成的几何法 空间共点力系平衡的几何条件iFFR 结论：结论：空间共点力系空间共点力系的合力等于力系中的的合力等于力系中的各个力的矢量和。各个力的矢量和。或者说，合力是由这或者说，合力是由这个力系的
2、力多边形的个力系的力多边形的闭合边来表示。闭合边来表示。公式公式空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。0RiFF空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 力在轴上的投影 力在平面上的投影 在空间情况下，力在空间情况下，力F在在x轴上投影，与平面情形相似，轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与等于这个力的模乘以这个力与x轴
3、正向间夹角轴正向间夹角的余弦。的余弦。cos FFxxxabABF52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影平平行行六六面面体体规规则则52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影引入引入x，y，z轴单位矢轴单位矢i，j，k。则可则可 kFjFiFyyyyxxFFF kjiFyyxFFF 设将力设将力F按坐标轴按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：方向分解为空间三正交分量：Fx，Fy，Fz。则则zyxFFFF力的分解52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影 由力矢由力矢F的始端的始端A和末端和末端B向投影平面向投影平面oxy引垂线，由垂足引垂线，由垂足A到到B所构
4、成的矢量所构成的矢量AB，就是力就是力F在平面在平面Oxy上的投影，记为上的投影，记为Fxy。cosFFxyxyOABABFFxy注意力在轴上的投影是一代数量。力在轴上的投影是一代数量。力在一平面上的投影仍是一矢量。力在一平面上的投影仍是一矢量。力力Fxy的大小：的大小：52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影二次投影法二次投影法力力F的方向的方向xyzFFxFyFzA解：222zyxFFFF222183.65.4kN 6.19力力F的大小的大小,322.06.193.6cos FF y4176,220.06.195.4 cosFFx
5、 771,919.06.1918cos FF z 23 例例5-15-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的的力力F的三个正交分量的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN。试求力试求力F的大小和方向。的大小和方向。52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影 合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件 共 点 力 系 的共 点 力 系 的合力在某一轴上的合力在某一轴上的投影，等于力系中投影，等于力系中所有各力在同一轴所有各力在同一轴上投影的代数和。上投影的代数和。53 空间共点力系合成
6、的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。0 xF 0yF 0zF53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 例例5-2 5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。的作用。已知斜齿轮的啮合角已知斜齿轮的啮合角(螺旋角螺旋角)和压力角和压力角，试求力试求力Fn沿沿x，y 和和 z 轴的分力。轴的分力。53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其
7、平衡的解析条件运运 动动 演演 示示53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件将力将力Fn向向 z 轴和轴和Oxy 平面投影平面投影cos sinnnFFFFxyz解：53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件将力将力Fxy向向x，y 轴投影轴投影 coscos cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyxkFjFiF)sin()coscos()sincos(nnnFFFzyxcossinnnFFFFxyz53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的
8、解析条件 例5-3 5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点点O，其上作用有铅直载荷其上作用有铅直载荷F。钢丝钢丝OA和和OB所构成的平面垂直于铅直平面所构成的平面垂直于铅直平面Oyz，并与该平面相交于并与该平面相交于OD，而钢丝而钢丝OC则沿水平轴则沿水平轴y。已知已知OD与轴与轴z间的夹间的夹角为角为，又，又AOD=BOD=，试求各钢丝中的拉力试求各钢丝中的拉力。53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 取取O点点为研究对象，受力分为研究对象，受力分析如图所示，这
9、些力构成了空间析如图所示，这些力构成了空间共点力系。共点力系。解：yzxABCDFF1OF2F353 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 力力F2，F3的方向通过的方向通过角和角和角来表示，角来表示，是这是这两力各自对坐标平面两力各自对坐标平面Oyz 的的倾角，倾角，是这两力在坐是这两力在坐标平面标平面Oyz上的投影对上的投影对z轴轴的偏角。的偏角。故求这两力在故求这两力在y轴和轴和z轴上的投影时，须先将轴上的投影时，须先将它们投影到它们投影到Oyz 平面上。平面上。53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平
10、衡的解析条件 cos2FF 力力F2 在平面在平面Oyz上的投影为：上的投影为：并与并与 z 轴成轴成角。角。FzyF12FO故力故力F2在在y，z 轴上的投影分别为轴上的投影分别为:F2 cossin 和和 F2 coscos。力力F3的投影可用同样方法求出。的投影可用同样方法求出。yzxABCDFF1OF2F3F53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件sin 22FFx 力力F2与与x轴之间的轴之间的夹角为夹角为90o，故它在故它在该轴上的投影为：该轴上的投影为：53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平
11、衡的解析条件 cos cos232FFF tan1FF 0 cos cos cos cos32FFF0 sin sin32FF,0yF0 sin cos sin cos321FFF，0 xF,0zF列平衡方程列平衡方程yzxABCDFF1OF2F3F53 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 力偶矩矢 力偶作用面的平移 力偶等效定理 空间力偶作空间力偶作用面的平移并不用面的平移并不改变该力偶对刚改变该力偶对刚体的作用效应。体的作用效应。54 力力 偶偶 矩矩 矢矢力偶作用面的平移力偶作用面的平移54 力力 偶偶 矩矩 矢矢(3)符号：符号：M(1
12、)概念：概念：用来表示力偶矩的大小、转向、作用面用来表示力偶矩的大小、转向、作用面方位方位的有向线段。的有向线段。(2)力偶的三要素：力偶的三要素：力偶矩的大小。力偶矩的大小。力偶的转向。力偶的转向。力偶作用面的方位力偶作用面的方位M1M254 力力 偶偶 矩矩 矢矢 矢量矢量M的模表示力偶矩的大小；方的模表示力偶矩的大小；方位垂直于力偶作用平面；指向表示力偶位垂直于力偶作用平面；指向表示力偶的转向，符合右手螺旋规则。的转向，符合右手螺旋规则。M1M2 力偶矩矢是自由矢量，一般从力偶力偶矩矢是自由矢量，一般从力偶矩中点画出。矩中点画出。空间力偶可用一个矢量空间力偶可用一个矢量M 表示，表示，该
13、矢量该矢量M称为力偶矩矢。称为力偶矩矢。54 力力 偶偶 矩矩 矢矢作用在刚体上的作用在刚体上的力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。54 力力 偶偶 矩矩 矢矢力偶矩矢与力矢的区别3.3.力偶等效定理 空间两个力偶等效的充要条件是：这两个力偶的空间两个力偶等效的充要条件是：这两个力偶的力偶矩力偶矩矢矢相等。相等。力偶矩矢指向人为规定，力矢指向由力本身所决定。力偶矩矢指向人为规定，力矢指向由力本身所决定。空间力偶系的合成空间力偶系平衡的充要条件 空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和
14、。矩矢的矢量和。55 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件 即即iMMMMMn21 力偶矩矢多边形自行闭合，即力偶系中各力偶矩矢的矢量力偶矩矢多边形自行闭合，即力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。和等于零。0iM000zyxMMM空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程iMMMMMn2155 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件xzyF1F2F31F3F2F 例5-4 5-4 图示的三角柱刚体是正方图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩的矩M1=20 N
15、m；力偶（力偶（F2，F 2）的矩的矩M2=20 Nm；力偶（力偶（F3，F 3）的的矩矩M3=20 Nm。试求合力偶矩矢试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。样一个力偶。55 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件0321xxxxMMMMmN 2.11321yyyyMMMMmN 2.41321zzzzMMMM 1.画出各力偶矩矢。（单画出各力偶矩矢。（单击图面演示平移动画）击图面演示平移动画）2.合力偶矩矢合力偶矩矢M 的投影。的投影。解：55 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件3.合力偶矩矢合力偶矩矢M
16、 的大小和方向。的大小和方向。mN 7.42222zyxMMMM90,0,cosiMiMMMx8.74,262.0,cos jMjMMMy2.15,965.0,coskMkMMMz 4.为使这个刚体平衡，为使这个刚体平衡，需加一力需加一力偶，其力偶矩矢为偶，其力偶矩矢为 M4=M。xzy45M145M2M355 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件 例题例题5-5 5-5 工件如图工件如图所示，它的四个面上同所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为受的切削力偶矩均为80 Nm。求工件所受合力偶求工件所受合力偶的矩在的矩在x，y，z轴上的投轴
17、上的投影影Mx，My，Mz，并求合并求合力偶矩矢的大小和方向。力偶矩矢的大小和方向。29 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点点。（单击图（单击图面演示平移动画）面演示平移动画）mN 1.19345 cos45 cosmN 80mN 1.19345 cos45 cos5412543MMMMMMMMMMzyx可得可得mN 6.284222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦解：解：29 空间力偶系的合成和平衡条件空间力偶系的合成和平衡条件A空间力在轴上的投影空间力在轴上的投影52 力在轴上和平面上的投影力在轴上和平面上的投影
