1、2019-2020 学年高三第二学期第二次联考 数学试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D（，1）（3，+） 2已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 3已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb D（）a（）b 4已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值 范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 5若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11
2、（ ） A27 B33 C39 D44 6已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确 的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则 mn D若 m，n，且 ，则 mn 7已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重合，且抛 物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A B C D 8如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实数 m 的 值为（ ） A B C1 D2 9已知实数 a0，b1 满足 a+b5，则+的最小值为（ ） A B C D 10
3、已知集合 A1， 2， 3， 4， 5， 6的所有三个元素的子集记为 B1， B2， B3， Bn， nN* 记 bi为集合 Bi中的最大元素，则 b1+b2+b3+bn（ ） A45 B105 C150 D210 11关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯 实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每 人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与 1 构成钝角三形三边的 数对 （x， y） 的个数 a； 最后再根据统计数 a 估计 的值， 那么可以估计 的值约为 （ ） A B C D 12已知 （2s
4、in，cos）， （cos，2cos），函数 f（x） 在区间0，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B（， C，） D（，2 二、填空题 13实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 14成都市某次高三统考，成绩 X 经统计分析，近似服从正态分布 XN（100，2），且 P（86X100）0.15，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为 15已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对 称的点，则 a 的取值范围为 16在四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC
5、5，E，F 分别是 AD， BC 的中点则下述结论： 四面体 ABCD 的体积为 20； 异面直线 AC，BD 所成角的正弦值为； 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50； 若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 （填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。 17 某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间， 对每个
6、工人组装一个该产品的用时作了 记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本，得到如图 所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过 40（分钟），则称这个工人为优秀员工 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 18如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分 别是 AB，PC 的中点 （1）求证：MN平面 PAD； （2）若 cosPCD，DAB60，求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值
7、 19已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S749，a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 20已知点 P（1，）， （x1，y）， （x+1，y），且| |+| |4，满足条件的点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点
8、， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 21已知函数 f（x）ln（x+1）ax1a（aR） （1）若 f（x）0 对任意 x1 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）求证：ln（x+1）+xex1x+10 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线
9、C2的普通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 的点 B，求线段 AB 的长 选修 4-5：不等式选讲(10 分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D（，1）（3，+） 解
10、：集合 A1，1，3，4， 集合 Bx|x24x+30x|x1 或 x3， AB1，4 故选：A 2已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 解：z， |z| | 故选：C 3已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb D（）a（）b 解：对于 A实数 0ab，（c0 不成立）， 对于 Bc0 不成立 对于 C利用对数函数的单调性即可得出 对于 D. ，因此不成立 故选：C 4已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值 范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 解：命题 p：x2m+1，q：x
11、25x+60，即：2x3， p 是 q 的必要不充分条件， （2，3）（2m+1，+）， 2m+13，解得 m1 实数 m 的取值范围为 m1 故选：D 5若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11（ ） A27 B33 C39 D44 解：设等差数列an的公差为 d，且满足 3+a5a3+a8， a63 Sn为数列an的前 n 项和，则 S1111a633 故选：B 6已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确 的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则
12、mn D若 m，n，且 ，则 mn 解：对于 A，当 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不定，故错； 对于 B，当 mn 时，不能判定 ，故错； 对于 C，若 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不定，故错； 对于 D，由 m， 可得 m，又 n，则 mn 故正确 故选：D 7已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重合，且抛 物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A B C D 解：由抛物线 y220x，可得 2p20，则 p10，故其准线方程为 x5， 抛物线 y220x 的准线过双曲线 1（a0，b0）的左焦点， c5 抛物线
13、y220x 的准线被双曲线截得的线段长为 ， ，又 c225a2+b2， a4，b3， 则双曲线的离心率为 e 故选：A 8如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实数 m 的 值为（ ） A B C1 D2 解：依题意， 又 B，P，N 三点共线， ，解得 故选：B 9已知实数 a0，b1 满足 a+b5，则+的最小值为（ ） A B C D 解：因为 a0，b1 满足 a+b5， 则+（+）a+（b1）， ， 当且仅当时取等号， 故选：A 10 已知集合 A1， 2， 3， 4， 5， 6的所有三个元素的子集记为 B1， B2， B3， Bn， nN* 记 bi为集合 Bi中
14、的最大元素，则 b1+b2+b3+bn（ ） A45 B105 C150 D210 解：集合 M 含有 3 个元素的子集共有20，所以 k20 在集合 Bi（i1，2，3，k）中： 最大元素为 3 的集合有1 个； 最大元素为 4 的集合有3； 最大元素为 5 的集合有6； 最大元素为 6 的集合有10； 所以 b1+b2+b3+b4+b531+43+56+610105 故选：B 11关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯 实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每 人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y）；再统计
15、两数能与 1 构成钝角三形三边的 数对 （x， y） 的个数 a； 最后再根据统计数 a 估计 的值， 那么可以估计 的值约为 （ ） A B C D 解：根据题意知，m 名同学取 m 对都小于 l 的正实数对（x，y），即， 对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1， 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边，则有， 其面积 S； 则有， 解得 故选：D 12已知 （2sin，cos）， （cos，2cos），函数 f（x） 在区间0，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B（， C，） D（，2 解：， 令，解得， 令，解得， 又函数 f（x）在区间恰有
16、 3 个极值点， ，解得 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 解：作出可行域如图所示， 则当直线 z2x+y 过点 C 时直线的截距最大，z 取最大值 由， C（，），z 取最大值：2+ 故答案为： 14成都市某次高三统考，成绩 X 经统计分析，近似服从正态分布 XN（100，2），且 P（86X100）0.15，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为 3400 解：根据正态分布 XN（100，2），且 P（86X100）0.15， 所以 P（X114）， 故该
17、市有8000人参考， 则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为80000.425 3400 故答案为：3400 15已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对 称的点，则 a 的取值范围为 2，e32 解：根据题意，若函数 f（x）x3+x+a（xe）与 g（x）3lnxx1 的图象上存 在关于 x 轴对称的点， 则方程x3+x+a3lnx+x+1 在区间 ，e上有解， 即方程 a1x33lnx 在区间，e上有解， 设函数 g（x）x33lnx，其导数 g（x）3x2 ， 又由 x，e，可得：当 x1 时，g（x）0，g（x）为减函数，
18、当 1xe 时，g（x）0，g（x）为增函数， 故函数 g（x）x33lnx 有最小值 g（1）1， 又由 g（）+3，g（e）e33；比较可得：g（）g（e）， 故函数 g（x）x33lnx 有最大值 g（e）e33， 故函数 g（x）x33lnx 在区间，e上的值域为1，e33； 若方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解， 必有 1a1e33，则有 2ae32， 即 a 的取值范围是2，e32； 故答案为：2，e32； 16在四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC5，E，F 分别是 AD， BC 的中点则下述结论： 四面体 ABCD 的体积为 20； 异面直线 AC，BD
19、所成角的正弦值为； 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50； 若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 （填写所有正确结论的编号） 解：补成长，宽，高分别为 3，4，5 的长方体，在长方体中： ，四面体 ABCD 的体积为 V345420，故正确 ，异面直线 AC，BD 所成角的正弦值等价于边长为 5，3 的矩形的对角线夹角正弦值， 可得正弦值为，故错； ，四面体 ABCD 外接球就是长方体的外接球，半径 R，其表面 积为 50，故正确； ，由于 EF，故截面为平行四边形 MNKL，可得
20、KL+KN5， 设异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ，则 sinsinHFBsinLKN，算得 sin， S四边形MNKLNK KL sinNKL（ ）26故正确 故答案为： 三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。 17 某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间， 对每个工人组装一个该产品的用时作了 记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本，得到如图 所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过 40（分钟），则称这
21、个工人为优秀员工 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 解：（1）中位数为 43，众数为 47； （2）被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0，1，2，3，4， 任取一名优秀员工的概率为，故 xB（4，）， P（xk），k0，1，2，3，4， x 的分布列如下： x 0 1 2 3 4 P 故 E（x） 18如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分 别是 AB，PC 的中点 （1）求证：MN平面 PAD
22、； （2）若 cosPCD，DAB60，求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值 【解答】（1）证明：取 PD 的中点 H，连接 NH，AH N 是 PC 的中点，NHDC，又 AMDC， NHAM，四边形 AMNH 是平行四边形 MNAH，又 MN平面 PAD，AH平面 PAD， MN平面 PAD （2）解：PC5，DC4，cosPCD，PD3，PC2PD2+CD2，PDDC， 同理可得：PDAD，又 ADCDD，PD平面 ABCD 连接 AC，BD，设 ACBDO，则 ACBD，建立空间直角坐标系 Oxyz A（2，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），P（0，2，3），N（，
23、 1，），（3，1，），（2，2，0），（0，0，3） 设平面 PAD 的法向量为 （x，y，z）， 则 0，则2x2y0，3z0，取 （1，0） sin|cos， | 直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 19已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S749，a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 解：（1）任意 nN*都有 2an+1an+an+2， 数列an是等差数列
24、， S749，7a449，a47， 又a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2，设数列an的公差为 d，且 d0， 则（7d）2（73d）（7+9d），解得 d2， a173d1， an1+2（n1）2n1； （2）由题意可知， ， ， 得：， ， 4n+122n+2， 由1000 得，22n+21000， 2n+210， n4， 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 20已知点 P（1，）， （x1，y）， （x+1，y），且| |+| |4，满足条件的点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C 相交于 A，
25、B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 解：（1）设 F1（1，0），F2（1，0）， 由 （x1，y）， （x+1，y），| |+| |4， 可得+4，即为|QF1|+|QF2|4， 由 4|F1F2|，可得 Q 的轨迹是以 F1（1，0），F2（1，0）为焦点，且 2a4 的椭圆， 由 c1，a2，可得 b，可得曲线 C 的方程为+1； （2）假设存在过点（0，1）的直线 l 符合题意 当直线 l 的斜率不存在，设方程为 x0，可得 M，N 为短轴的两个端点， |PM|PN|不成立；
26、当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，A（x1，kx11），B（x2，kx21）， 由|PM|PN|，可得 kPM+kPN0，即 kPA+kPB0， 可得+0，化为 2kx1x2（k+）（x1+x2）+50， 由可得（3+4k2）x28kx80， 由（0，1）在椭圆内，可得直线 l 与椭圆相交， x1+x2，x1x2， 则 2k（）（k+）（）+50， 化为16k8k（k+）+5（3+4k2）0，即为 4k212k+50，解得 k 或 k， 所以存在直线 l 符合题意，且方程为 yx1 或 yx1 21已知函数 f（x）ln（x+1）ax1a（aR） （1）若 f（x）0 对任意 x1
27、 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）求证：ln（x+1）+xex1x+10 解：（1）问题等价于对任意 x1 恒成立， 令 tx+1（x1），则 t0， 令，则， g（t）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数， g（t）有最小值 g（1）1， a1； （2）由（1）知，ln（x+1）+x0，要证ln（x+1）+xex1x+10，即证ln（x+1） +x+xex12x+10， 令 h（x）xex12x+1（x1），h（x）（x+1）ex12，h（x）（x+2）ex1 0， h（x）在（1，+）是增函数， 又 h（1）0， h（x）在（1，1）是减函数，在（1，+）是增函数， h（
28、x）h（1）0，即 xex12x+10， ln（x+1）+x+xex12x+10，即得证 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 的点 B，求线段 AB 的长 解：（1）曲线 C1的参数方程
29、为（ 为参数，转换为直角坐标方程为 x2+ （y2）24 曲线 C2的极坐标方程为 4cos转换为直角坐标方程为（x2）2+y24 （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A， 所以，解得 12 与曲线 C2交于不同于极点的点 B， 所以，解得， 所以 选修 4-5：不等式选讲(10 分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 解：（1）当 a1 时，不等式 f（x）4 即为|x+1|+|x1|4， 可得或或， 解得 x2 或 x或 x2， 则原不等式的解集为（，22，+）； （2）若对任意 x一、选择题都有 f（x）2， 即为 f（x）min2， 由|x+a|+|x1|x+ax+1|a+1|，当（x+a）（x1）0 取得等号， 则 f（x）min|a+1|，由|a+1|2，可得 a1 或 a3， 则 a 的取值范围是（，31，+）
