1、体积和容积 习题讲解(二)知识点长(正)方体特征顶点个数8个8个面个数6个6个形状正方形长方形或正方形大小关系大小相同相对的两个面大小相等棱条数12条12条长度关系长度相等相对的棱长度相等棱长和棱长12(长+宽+高)4体积容积体积容积含义所占空间部分的大小所能容纳物体的体积测量方法从物体外面测量从容器里面测量单位名称立方米、立方分米、立方厘米固体：立方米、立方分米、立方厘米液体：升、毫升计算方法V长=abh V正=a3 V=S(横截面)h物体有体积，可不一定有容积。既有体积又有容积的物体，它的体积一定大于它的容积。计量表面积要用面积单位，计量长度要用长度单位，计量体积要用体积单位，计量容积，一
2、般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升一瓶墨水约是50mL。一桶色拉油约是5L。一瓶眼药水的容积约是20mL。“神舟五号”载人航天飞船返回舱（是固体，不是液体）的容积为6m3。01 容纳问题目目 录录03 溢出问题02 平面纸板折叠立体图形问题03 体积容积实际应用问题1.一个长6dm、宽4dm、高5dm的盒子，最多可以能放多少块棱长2dm的正方体的木块？解 析一个长6dm、宽4dm、高5dm的盒子。先求出每条棱长上最多能装下的木块的个数，再利用长方体的体积公式即可计算出最多能装下的块数。放
3、置棱长2dm的正方体的木块。以长为边，最多能装62=3(块)。以宽为边，最多能装42=2(块)。以高为边，最多能装52=2(块)1分米高多出的1分米就是浪费，与4分米可以容纳的木块一样多。盒子中一排最多放3个木块，可以放2排，堆两层。322=12(块)注：这种问题不能简单用盒子的体积除以木块的体积的方法计算。因为这种方法计算时，可能一些边角空余体积相加等于一个木块的体积，但木块是一个整体，不能拆开。最多可以能放12块正方体的木块。2.小明买了一个长30cm、宽20cm、高15cm的长方体礼盒，里面装有妈妈爱吃的长方体形状的的花生酥，每块花生酥长5cm，宽3cm，高2cm。这个礼盒最多能装多少块
4、花生酥？解 析一个长30cm、宽20cm、高15cm的长方体礼盒。里面装长方形花生酥，每块花生酥长5cm，宽3cm，高2cm。将花生酥翻转以长5cm，高2cm的面为底面。以长为边，最多能装305=6(块)。以宽为边，最多能装202=10(块)。以高为边，最多能装153=5(块)。这个礼盒最多能装花生酥的块数：6105=300(块)盒子中一排最多放6块，可以放10排，堆5层。花生酥的长5cm，宽2cm，高3cm。3.小明要将长、宽各为30cm，厚为4cm的长方体月饼盒装入棱长为40cm的正方体纸箱，每个纸箱能装几盒？解 析棱长为40cm的正方体纸箱。装入长、宽各为30cm，厚为4cm的长方体月饼
5、盒。以长、宽各为30cm的面为底面放入纸箱。可以摆放个数：404=10(盒)40-30=10(cm)右面和后面还剩下10cm的空余位置。以长为30cm、宽为4cm的面为底面放入纸箱。2+2=4(盒)还可以放4盒。10+4=14(盒)每个纸箱能装14盒。4.一个电梯，从里面量，长18dm，宽15dm，高24dm。如果每人乘电梯时的占地面积是18dm2，占有空间是270dm3，那么这个电梯最多能乘多少人？(不考虑限重)解 析一个电梯，从里面量，长18dm，宽15dm。电梯的底面积为：1815=270(dm2)每人乘电梯时的占地面积是18dm2。27018=15(人)那么这个电梯最多能乘15人。电梯
6、高度远高于人的正常高度，电梯上方是无法容纳人的，所以不考虑电梯的容积和人的体积，只算电梯底面积就可以站多少人就可以了。5.有两个水箱，大水箱长8分米、宽6分米、里面装的水深3分米，小水箱是空着的，它的长是6分米、宽和高都是4分米。现在要从大水箱里抽水到小水箱，一直到两个水箱中水面一样高时为止。这时两个水箱的水面的高是多少分米？解 析最后，两个水箱中水面一样高时。假设把两个水箱并靠在一起，底面积=大水箱的底面积+小水箱的底面积小水箱的底面积：46=24(平方分米)大水箱的底面积:86=48(平方分米)大水箱长8分米、宽6分米、里面装的水深3分米。大水箱中水的体积：863=144(平方分米)底面积
7、：48+24=72(平方分米)水的体积除以合并后的底面积就得出水的共同高度。14472=2(分米)这时两个水箱的水面的高是2分米。水始终是这些水，水的体积没变。6.一个棱长为10厘米的正方体容器装满了水，把这些水全部倒入长25厘米，宽10厘米，高6厘的长方体容器中，这时水面离长方体容器口有多少厘米?解 析一个棱长为10厘米的正方体容器装满了水。水的体积：101010=1000(立方厘米)把这些水全部倒入长方体容器中，这时候水的体积没变。2510水的高度=1000(立方厘米)10002510=4(厘米)水面高度4厘米。6-4=2(厘米)这时水面离长方体容器口有2厘米。长方体容器高6厘。7.一个长
8、方体的容器，里面的水深5cm。把这个容器盖紧，竖放后使长10cm、宽8cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘米?解 析一个长方体的容器，长20cm，宽10cm，里面的水深5cm。一个长方体不论怎样放置，里面的水的体积都是不变的。水的体积为：20105=1000(cm3)把这个容器盖紧，竖放后使长10cm、宽8cm的面朝下。1000108=12.5(cm)这时里面的水深是12.5厘米。1.用一张边长是16cm的正方形硬纸板，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒(不考虑接缝及损耗，长、宽、高取整厘米数)，使这个纸盒的容积大于200cm3。(1)请你在这张正方形纸上画出裁剪草图，并标明有关数据；(2)计算你
9、设计的纸盒的容积是多少cm3？解 析用一张边长是16cm的正方形硬纸板，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒。在正方形硬纸板的四角截去四个相同边长的小正方形，将多余的部分向上翻折组成四个侧面。若要使折叠后的无盖的长方体纸盒的容积最大需满足：剪去(黄色)正方形的边长是正方形纸板的1/6。正方形硬纸板的边长是16cm。1662.7(cm)长、宽、高取整厘米数，所以剪去(黄色)正方形的边长是3cm。16-3-3=10(cm)折叠后的无盖的长方体纸盒长和宽10cm，高是3cm。剪去(黄色)正方形的边长是3cm。正方形硬纸板的边长是16cm。折叠后的无盖的长方体纸盒容积是：10103=300(cm3)200c
10、m32.有一张正方形硬纸板，边长是15cm。如果在硬纸板的四个角上各剪去一个正方形，将它做成一个无盖的正方体纸盒，这个纸盒的棱长是什么cm，容积是什么cm3？解 析在正方形硬纸板的四个角上各剪去一个正方形，将它做成一个无盖的正方体纸盒。正方体纸盒长、宽和高是相等的。展开图中红色线条都是相等。将边长15cm正方形硬纸板每边平分成3份。153=5(cm)正方体纸盒的棱长是5cm。555=125(cm3)正方体纸盒的容积是125cm3。3.小明准备用下图的长方形纸板做一个体积最大的无盖长方体纸盒，纸盒的高是4cm。做成的纸盒的容积是多少立方厘米？解 析长方形纸板做一个体积最大的无盖长方体纸盒。无盖长
11、方体纸盒高是4cm的。24-4-4=16(cm)无盖长方体纸盒长是16cm。18-4-4=10(cm)无盖长方体纸盒宽是10cm。无盖长方体纸盒的容积：10164=640(cm3)1.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？解 析有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米,箱中水面高10厘米。长方体水箱放进去正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时候水的体积没变，但是水的底面积变小了。箱中水的体积：403010=12000(立方厘米)棱长20厘米的正方体铁块。水的底面积
12、=长方体水箱底面积-正方体铁块底面积4030-2020=800(平方厘米)水的体积=水的底面积水高度水的高度=水的体积水的底面积12000800=15(厘米)这时水面高15厘米。2.一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米，水面离池口3厘米，如果放入一块棱长2分米正方体石料。此时水会溢出吗?若会，那溢出多少升水?解 析一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米，水面离池口3厘米。题目中数字单位不统一，首先要进行单位的换算，保证题目中所有单位是统一的，才能进行计算。3厘米=0.3分米在长方体水槽放入一块棱长2分米正方体石料。正方体石料的体积：222=8(立方分米)水中体积增加8立方分米。水
13、随着长方体水槽长5分米，宽4分米。854=0.4(分米)=4(厘米)这部分增加的体积使水要上升4厘米。水面离池口3厘米。4厘米3厘米此时水会溢出。4-3=1(厘米)=0.1(分米)水会溢出1厘米高度。(天蓝色部分)溢出(天蓝色)部分水的体积：0.154=2(立方分米)=2(升)那溢出2升水。3.一个长方体的容器，底面是正方形，容器中的水面高1dm，如果放入6个体积一样的鸡蛋后(鸡蛋完全浸入水中)，水面升高2cm，要求1个鸡蛋的体积，只需再知道（）即可。A.6个鸡蛋的表面积 B.长方体容器的表面积C.长方体容器的高 D.长方体容器的底面周长解 析要求1个鸡蛋的体积。需要知道6个鸡蛋的体积。需要知
14、道水面上升部分的高度和长方体容器的底面积。用排水法解题即：放入物体后水的体积-放入物体前水的体积=物体的体积。需要知道6个鸡蛋放入水中，水面升高部分的体积。放入6个鸡蛋后(鸡蛋完全浸入水中)，水面升高2cm。高度已知，需知道长方体容器的底面积。长方体的容器底面是正方形。若知道长方体的容器底面周长，除以4就是正方形底面的边长。需知道长方体容器的长和宽。需知道长方体容器底面的边长。只需再知道D选项内容即可。4.一个长方体容器，长5dm、宽5dm、高6dm，里面水深5.6dm。把一个南瓜放入(南瓜全部浸没在水中)后，从容器里溢出4L水。这个南瓜的体积是多少？一个长方体容器，长5dm、宽5dm、高6d
15、m，里面水深5.6dm。解 析4L=4dm36-5.6=0.4(dm)水离长方体容器顶端还有0.4dm。把一个南瓜放入(南瓜全部浸没在水中)后，从容器里溢出4L水。把一个南瓜放入水后，水先上升到容器顶端，然后多余的水从容器里溢出。南瓜的体积=上升到容器顶端水的体积+溢出水的体积上升到容器顶端水的体积：0.455=10(dm3)容器里溢出4L水，也就是4dm3。10+4=14(dm3)这个南瓜的体积是14dm3。1.下图是一种用长方体纸盒包装的饮料，外包装上标着净含量1200mL。小明从外面量得长方体纸盒长10cm，宽8cm，高15cm。请你判断这种饮料的净含量是否符合真实情况，说说你的理由。解
16、 析从外面量得长方体纸盒长10cm，宽8cm，高15cm。长方体纸盒的体积：10815=1200(cm3)外包装上标着净含量1200mL，也就是1200cm3。长方体纸盒的容积肯定小于纸盒外包装的体积，容积小于1200cm3。这种饮料的净含量不符合真实情况。2.一个长6cm、宽4cm、高12cm的长方体盒子装满了牛奶。小明在喝牛奶时不小心把盒子弄歪了，洒出了一些牛奶，也就是图中的空白部分。盒子里还剩牛奶多少毫升？(盒子厚度忽略不计)解 析一个长6cm、宽4cm、高12cm的长方体盒子装满了牛奶。盒子倾斜后空白部分的横截面是一个(黄色)三角形。盒子中原有牛奶的容积：6412=288(cm3)黄色
17、三角形是一个直角三角形，两个直角边长度分别是6cm和4cm。642=12(cm2)空白部分的横截面面积是12cm2。空白部分的高度是4cm。空白部分的体积是124=48(cm3)=48(毫升)288-48=240(cm3)=240(毫升)盒子里还剩牛奶240毫升。小明洒出了48毫升牛奶。3.一个长方体，它前面的面积是40平方厘米、侧面的面积是20平方厘米，底面的面积是8平方厘米，求这个长方体的体积是多少立方厘米？解 析长方体前面(黄色)的面积是40平方厘米。长方体前面的面积=长高长方体侧面(红色)的面积是20平方厘米。长方体侧面的面积=宽高长方体底面(蓝色)的面积是8平方厘米。长方体底面的面积
18、=长宽 (长高)(宽高)(长宽)=(长宽高)(长宽高)=40208=6400=8080这个长方体的体积是80立方厘米。4.一个无盖的玻璃鱼缸，它的长、宽、高分别是6分米、5分米和4分米，在鱼缸里放一些水，水面高3分米，现在鱼缸玻璃和水的接触面积是多少？还需要再加入多少升水，鱼缸里的水的就满了？解 析鱼缸玻璃和水的接触面。通过观察右图可以发现水的上面是空气，与玻璃没有接触。水与玻璃在前面、后面、左面、右面和底面都有接触。将蓝色部分看作一个长6分米、宽5分米、高3分米长方体。用这个长方体的表面积减去上表面的面积就可。(65+53+63)2-56=96(平方分米)鱼缸玻璃和水的接触面积是96平方分米。水面里容器顶端的距离6-5=1(分米)还需要添加1分米高度的水。还需要再加入30升水，鱼缸里的水的就满了。水的底面就是容器的底面，长6分米、宽5分米。651=30(立方分米)=30(升)
