1、栏目索引高考导航第第6 6讲三角恒等变换与解三角形讲三角恒等变换与解三角形栏目索引高考导航考情分析栏目索引高考导航总纲目录总纲目录考点一 三角恒等变换考点二 正弦定理与余弦定理考点三 解三角形与三角函数的交汇问题栏目索引高考导航考点聚焦考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=sin cos cos sin;(2)cos()=cos cos sin sin;(3)tan()=.tantan1tantan栏目索引高考导航考点聚焦2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2=2sin cos;(2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(
2、3)tan 2=.22tan1tan栏目索引高考导航考点聚焦例例 (2018四川成都第一次诊断性检测)已知sin=,则cos的值为()A.B.C.D.10100,2264 33104 331043 3103 3410栏目索引高考导航考点聚焦答案答案 A解析解析sin=,cos=,sin 2=2sin cos=2=,cos 2=1-2sin2=1-2=1-=,cos=-=.10100,23 101010103 10106103521010154526453235124 3310栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+co
3、s2=tan 45等;(2)项的拆分与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.栏目索引高考导航考点聚焦1.若=-,则sin的值为()A.B.-C.D.-cos2sin422412122424答案答案 C =-2sin=-,所以sin=.cos2sin422cossin2(sincos)2422424栏目索引高考导航考点聚焦2.已知tan=2,tan=-3,则tan(-)=()A.1 B.-C.D.-15455757答案答案 D tan=tan=tan=-3,而-=
4、-,所以tan(-)=tan=-1.故选D.454555555tantan551tantan552(3)12(3)栏目索引高考导航考点聚焦考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径).变形:a=2Rsin A,sin A=,a b c=sin A sin B sin C.sinaAsinbBsincC2aR栏目索引高考导航考点聚焦2.余弦定理及其变形在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=,a2+c2-b2=2acco
5、s B,cos B=,a2+b2-c2=2abcos C,cos C=.2222bcabc2222acbac2222abcab3.三角形面积公式SABC=absin C=bcsin A=acsin B.121212栏目索引高考导航考点聚焦命题角度一命题角度一:利用正利用正(余余)弦定理进行边角计算弦定理进行边角计算例例1 (2018课标全国,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.2栏目索引高考导航考点聚焦解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所
6、以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.sinBDAsinABADB5sin452sinADB25212523525225所以BC=5.栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.【注意】应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.栏目索引高考导航考点聚焦例例2在ABC中,角A,B,C的对边分别是
7、a,b,c,已知c=,sin A=sin C,cos 2A=-.(1)求a的值;(2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积.3613命题角度二命题角度二:利用正利用正(余余)弦定理进行面积计算弦定理进行面积计算栏目索引高考导航考点聚焦解析解析(1)在ABC中,因为c=,sin A=sin C,由=,得a=c=3.(2)由cos 2A=1-2sin2A=-得,sin2A=.由0A得,sin A=,则cos A=,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得(3)2=b2+()2-2b,化简得,b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍).36sinaAsincC6632132326321
8、 sin A3323333所以SABC=bcsin A=5=.12123635 22栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.121212栏目索引高考导航考点聚焦例例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米ABBC,所以60A,故A=45.故选B.2sin A6sin6022栏目索引高考导航考点聚焦2.(2018课标全国,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的
9、面积为,则C=()A.B.C.D.2224abc2346答案答案 C本题考查解三角形及其综合应用.根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absin C,所以tan C=1,因为C(0,),所以C=.故选C.2224abc2cos4abC124栏目索引高考导航考点聚焦3.(2018河南郑州第一次质量检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b.(1)求角C;(2)若ABC的面积S=c,求ab的最小值.32栏目索引高考导航考点聚焦解析解析(1)解法一:由2ccos B=2a+b及余弦定理,得2c=2a+b,
10、得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,cos C=-,又0C,C=.解法二:=,由已知可得2sin Ccos B=2sin A+sin B,则有2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Bcos C+sin B=0,2222acbac2222abcab2abab1223sinaAsinbBsincC栏目索引高考导航考点聚焦B为三角形的内角,sin B0,cos C=-.C为三角形的内角,C=.(2)S=absin C=c,sin C=,c=ab.又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,=a2+b2+ab3ab,ab12,当且仅当a
11、=b时取等号.故ab的最小值为12.122312323212224a b栏目索引高考导航考点聚焦考点三解三角形与三角函数的交汇问题例例设函数f(x)=cos2x-sin xcos x+.(1)求f(x)在上的值域;(2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b+c=7,求ABC的面积.312,4 4 325栏目索引高考导航考点聚焦解析解析(1)f(x)=cos2x-sin xcos x+=cos+1,因为x,所以2x+,所以-cos1,所以cos+12,所以函数f(x)在上的值域为.(2)由f(B+C)=cos+1=,31223x,4 4 35,663223
12、x23223x,4 4 23,222()3BC32栏目索引高考导航考点聚焦得cos=,又A(0,),得A=,在ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc,又a=,b+c=7,所以5=49-3bc,解得bc=,所以ABC的面积S=bcsin=.23A12335443123124433211 33栏目索引高考导航考点聚焦方法归纳方法归纳与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.栏目索引高考导航考点聚焦已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x)=a
13、b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求ABC面积的最大值.cos,sin22xx32A3栏目索引高考导航考点聚焦解析解析(1)易得a=(-sin x,cos x),则f(x)=ab=sin2x+sin xcos x=-cos 2x+sin 2x=sin+,所以f(x)的最小正周期T=,当2x-=+2k,kZ时,即x=+k,kZ时,f(x)取最大值.(2)因为f=sin+=1,所以sin=A=.312123226x1222623322A6A126A123栏目索引高考导航考点聚焦因为a2=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=bc+122bc,所以bc12(当且仅当b=c时等号成立),所以SABC=bcsin A=bc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值3.123433
