1、黄克智张量分析习题解析kjivwuzyxzzyyxxvvvwuwuwukjiwvuzyxzzyyxxwwwvuvuvukjikjikjiwvuvwuyzzyyzxxzxxyyxxyzzyzzxxzzxyyxyzyxzzyyxxzyxzzyyxxwvwvuwvwvuwvwvuwvwvuwvwvuwvwvuwwwvuvuvuvvvwuwuwu wvuvwuwvu第1页/共51页kjikjivuxyyxzxxzyzzyzyxzyxvuvuvuvuvuvuvvvuuukjikjiwvuzxxzxyzzyyyzzyzxyyxxxyyxyzxxzzzyxxyyxzxxzyzzyvuvuwvuvuwvuvu
2、wvuvuwvuvuwvuvuwwwwvuvuvuvuvuvuwvuwvu第2页/共51页1.2 求证：求证：(AB)(CD)=B(ACD)A(BCD)=C(ABD)D(ABC)证明：证明：kjikjiBAxyyxzxxzyzzyzyxzyxBABABABABABABBBAAAkjikjiDCxyyxzxxzyzzyzyxzyxDCDCDCDCDCDCDDDCCC第3页/共51页kjikjiCBxyyxzxxzyzzyzyxzyxCBCBCBCBCBCBCCCBBBkjikjiDBxyyxzxxzyzzyzyxzyxDBDBDBDBDBDBDDDBBB第4页/共51页 xyyxzxxzyzzy
3、xyyxzxxzyzzyDCDCDCDCDCDCBABABABABABAkjiDCBA第5页/共51页xyyxzzxxzyyzzyxDCDCADCDCADCDCADCAxyyxzzxxzyyzzyxDCDCBDCDCBDCDCBDCBkjikjikjiDCBADCABzxxzyyzzyxzzxxzyyzzyxzxyyxzyzzyxyxyyxzyzzyxyxyyxzzxxzyxxyyxzzxxzyxzyxxyyxzzxxzyyzzyxzyxxyyxzzxxzyyzzyxDCDCBDCDCBADCDCADCDCABDCDCBDCDCBADCDCADCDCABDCDCBDCDCBADCDCADCDC
4、ABAAADCDCBDCDCBDCDCBBBBDCDCADCDCADCDCA第6页/共51页xyyxzzxxzyyzzyxDCDBADBDBADBDBADBAxyyxzzxxzyyzzyxCBCBACBCBACBCBACBAkjikjikjiCBADDBACyxxyzxyyxzzyxxyzxyyxzzxzzxyzxxzyyxzzxyzxxzyyzyyzxyzzyxxzyyzxyzzyxxzyxxyyxzzxxzyyzzyxzyxxyyxzzxxzyyzzyxCACABCBCBADDADABDBDBACCACABCBCBADDADABDBDBACCACABCBCBADDADABDBDBACDDD
5、CBCBACBCBACBCBACCCDBDBADBDBADBDBA第7页/共51页1.3 求证矢量的非退化性求证矢量的非退化性。即：若矢量。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间与它所属的矢量空间中的任意矢量中的任意矢量 u 都正交，即：都正交，即：uv=0，则矢量，则矢量 v=0。证明：证明：因为因为 u 为任意，所以可为任意，所以可取取 u1，u2，u3，使得，使得0det333222111zyxzyxzyxuuuuuuuuuU由由 uv=0 得得000333222111zzyyxxzzyyxxzzyyxxuvuvuvuvuvuvuvuvuv因为因为 detU0，所以，所以 vx=vy=vz=
6、0 是唯一零解，即：是唯一零解，即：v=0。第8页/共51页1.4 已知：矢量已知：矢量 u，v，求证：，求证：vuvu证明：证明：vuvuvuvu,sin1.5 求证：求证：a，b 线性相关。线性相关。0ba0kjikjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyxbababababababbbaaa证明：证明：000 xyyxzxxzyzzybabababababa即即 第9页/共51页或或 cbababazzyyxx故故 bac即，即，a，b 线性相关。线性相关。1.6 求证：求证：a，b，c 线性相关。线性相关。0cba证明：证明：0cbacba 即即 cba或或 a，b，c 共面。三维空
7、间中共面的三矢量线性相关。共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。第10页/共51页1.7 已知：矢量已知：矢量 b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k 为笛卡儿基；为笛卡儿基；若将若将 c 分解为与分解为与 b 平行的矢量及垂直于平行的矢量及垂直于 b 的矢量的矢量 a 之和，即之和，即c=a+mb。求求 a；m(其中其中 ba=0)解解：kjikjikjibcammmmm232212232 09223222122322122mmmmmmmkjikjiab92mkjia923920913第11页/共51页1.8 利用利用 证明证明gij 是对称正定的。是对称正定的。，iixddgr
8、 证明：证明：0ddddddd2ijjijiijjjiixxgxxgxxggr即即 gij 是对称正定的。是对称正定的。1.9 求证：对于一组非共面的求证：对于一组非共面的gi，存在唯一的，存在唯一的 gj，gj 也是非也是非共面的。共面的。证明：证明：参见：参见：1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量 式（式（1.2.17）及式（）及式（1.2.25 ）。）。第12页/共51页1.10 已知：以已知：以i，j，k 表示三维空间中笛卡坐标基矢量，表示三维空间中笛卡坐标基矢量，jigkigkjg321,（1）按公式（）按公式（1.2.17），求），求 g1，g2，g3
9、以以 i，j，k 表示的式子；表示的式子；（2）求）求grs。解：解：2011101110321ggg第13页/共51页kjikjigg01110132kjikjigg11001113kjig213kjig211kjig212kjikjigg10111021第14页/共51页 212112333223223113211211jijijikikikijikjkikjkjkjggggggggg第15页/共51页1.11 根据上题结果验算公式根据上题结果验算公式：gj=gjigi解：解：kjkjikjikjigggg21212123132121111gggkikjikjikjigggg2121221
10、3232221212gggjikjikjikjigggg21221213332321313ggg第16页/共51页1.12 已知：已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。运用，基矢量同上题。运用1.11 题求得的题求得的 grs 计算：计算：（1）uv；（；（2）u，v 的协变分量。的协变分量。解：解：2211121311223232333231232221131211321321gggggggggggggggvu376132211121112,321333231232221131211321uuuggggggggguuugvvguuijjiijji第17页/共51
11、页202111211121112321333231232221131211321vvvgggggggggvvv22021322111376iiiivuvuvu第18页/共51页1.13 已知已知:（1）圆柱坐标系如图（）圆柱坐标系如图（a），），r=x1，=x2，z=x3。（2）球坐标系如图（）球坐标系如图（b），），r=x1，=x2，=x3。x3O x2 x1 z rx3O x2 x1 r 求：两种坐标系中：求：两种坐标系中：（1）gi 通过笛卡儿基通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。的表达式，画出简图。（2）求）求 gi，说明，说明 gi 和和 gi 的大小与方向有何关系。的大小
12、与方向有何关系。（3）由）由 gi 求求 gij，gij，。2dr第19页/共51页解：解：（1）kjigkjigkjig333231323222121312111xxxxxxxxxxxxxxxxxx圆柱坐标系：圆柱坐标系：33212211sinsincoscosxzxxxrxxxrxkgjigjig321212221cossinsincosxxxxxx第20页/共51页jigkjigkjig3213213213213212232321cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinxxxxxxxxxxxxxxxxxxx球坐标系：球坐标系：213321232
13、11coscossinsinsinsincossincossinxxrxxxxrxxxxrxx3O x2 x1 z rg1g2g3x3O x2 x1 r g1g2g3第21页/共51页（2）圆柱坐标系：圆柱坐标系：321213321132321321,gggggggggggggggggg rrrrrkkkkjijigggggg22321321sincoscossinsincos11cossincossin1gijkjigrrr2221sincos1sincos1gijjikgrrr 3223sincoscossinsincos1gkkkjijigrrr第22页/共51页球坐标系：球坐标系：si
14、ncossinsinsincossinsinsincossincossinsinsinsincoscoscossinsincossincossincossincossincossincossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossin222222222321321rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrjijijiijikjkjikjikjigggggg第23页/共51页1222221cossinsincossincossinsinsinsincossincoscossinsin1cossinsinsinsinsincoscoscossin1gkjiijkkji
15、kjigrrrrrr222222221sinsincoscoscos1coscossincossinsincossinsinsinsin1cossinsincossincossinsinsinsin1gkjiikjkkjijigrrrrrr第24页/共51页3222223sin1cossinsinsinsin1cossinsin1gjijigrrrrrrr（3）332313322212312111332313322212312111ggggggggggggggggggggggggggggggggggggijijggjiijjjiixxgxxddddddd2ggrrr第25页/共51页圆柱坐标系
16、：圆柱坐标系：100010001,1000000122rgrgijij222222dddddd10000001ddddzrrzrrzrr第26页/共51页球坐标系：球坐标系：222222sin100010001,sin0000001rrgrrgijij2222222222dsindddddsin0000001ddddrrrrrrrr第27页/共51页x3O x2 x1x3O x2 x1 r z rddrdzdddrrdrdrr第28页/共51页1.14 斜圆锥面上坐标系斜圆锥面上坐标系 x1=，x2=z，R，H，C 为已知（如图）。为已知（如图）。求：求：g，g，g（，=1，2）。）。yz H
17、x O rg1 g2 R C z解：解：动点所在圆周的半径为动点所在圆周的半径为 RHzR 1圆心至圆心至 z 轴的距离轴的距离CHzC 1在在 xy 平面上，该圆以平面上，该圆以 为参数的方程为为参数的方程为sincos111RyRCx第29页/共51页于是，动点的矢径为于是，动点的矢径为 kjir21212sincosxxRHxxRCHxkjikjiggHRRCRzRzHxxxxxxxxxxxx0sincoscossin123132221121121第30页/共51页 gg gHRRCRzRzHRRCRzRzHsincos0cossin0sincoscossin12cos2sinsin12
18、22222RCCRHRCzRCzzRH22222222221sinsincos2coszRRCzRCzRCCRHzCRHRHgg第31页/共51页 gggkjiHRRCRzRzH0sincoscossin12222222222sinsincos2coszRRCzRCzRCCRHzCRHRHcoscossincoscos22222222zCRRzRCRHRzCRHRHkji222222222sincossincos1coszHRzCRRHRCzCzRzCRHR第32页/共51页1.15 二维空间为半径为二维空间为半径为R的半的半球面，如图，球面，如图，x1=，x2=。用两种方法求用两种方法求 g
19、，g，g，g (，=1，2)。zR g2 g1 O y R Rx解：解：kjikjircossinsincossincossinsincossin13213213RRRxxxxxxxxkjigg23132221121121xxxxxxxxxxxx第33页/共51页kjigg0cossinsinsinsinsincoscoscos21R gg g222sin0010sincossinsincossinsincoscos0cossinsinsinsinsincoscoscosRR221sin10011Rgg第34页/共51页 gggkji0cossinsinsinsinsincoscoscossi
20、n1001122RRkji0sincossinsinsinsincoscoscos1R第35页/共51页1.16 已知：圆柱坐标系中已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。利用题利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi。解：解：jijigvv（1）圆柱坐标系）圆柱坐标系3221321232110000001vvrvvvvrvvv（2）球坐标系）球坐标系3222132122321sinsin0000001vrvrvvvvrrvvv第36页/共51页1.17 求：题求：题 1.13 所示圆柱坐标和球坐标所示圆柱
21、坐标和球坐标 xi，与笛卡儿坐标，与笛卡儿坐标 xj的转换系数的转换系数 。与与jiij解：解：1,jiijijijjixx圆柱坐标系：圆柱坐标系：33212211sincosxxxxxxxx1000cossin0sincosrrji1000cossin0sincosrrij第37页/共51页球坐标系：球坐标系：21332123211cossinsincossinxxxxxxxxxxx0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrrji0sincossincossincossinsinsinsincoscoscossinrrrrrij第38页/共
22、51页1.18 （1）已知）已知:笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：圆柱坐标中求：圆柱坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。（2）已知）已知:笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：球坐标中求：球坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。解：解：jjiijijivvvv,（1）3213213332312322211312113211000cossin0sincosvvvrrvvvvvv（2）3213213323133222123121113210cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsinco
23、ssinvvvrrrrrvvvvvv第39页/共51页1.19 试求线元试求线元 dxk 的长度的长度 dsk。解：解：kkkkkkkkkkkxgxxsdddddddggsss1.20 试求线元试求线元 dxk 与与 dxl 的夹角的夹角kl。解：解：l lkklkll lkkkllkklklkklgggxgxgxxddddddddcosggssssl lkklkklggg1coskkkkxddd31gsrkkkxddgs 第40页/共51页1.27 设一动点轨迹为设一动点轨迹为xi(t)（t0，标量），定义，标量），定义。txttxttxviiitiddlim0求证：求证：vi 为矢量分量。
24、为矢量分量。第41页/共51页1.28 由应变由应变 ij 的定义的定义 出发，出发，求证：求证：ij 是对称二阶张量的分量。式中是对称二阶张量的分量。式中dxi 是介质的拉格是介质的拉格朗日坐标的微分。朗日坐标的微分。jiijxx dd2ddddrrrr第42页/共51页1.38 在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为 3131221133332323113322221212332211111,11,11,1EEEEEE （1）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式，写出其实体形式，
25、说明等式中各阶张量的阶数。运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。（2）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。（3）写出任意坐标系中的协变分量）写出任意坐标系中的协变分量Dijkl 用用E，及度量张量及度量张量分量表达的形式，以及分量表达的形式，以及 D 的并矢表达式。的并矢表达式。第43页/共51页解解:(:(1)ijijkkijEg1 :DGEkk1klijklkliljkjlikklijl kjiijijkkijijkkijDggggEggEgEg21211(2)第44页/共51页jkiljlikklijijklgggg
26、EggED21IGGDEE1lkjijkiljlikggggggggI21(3)第45页/共51页1.39 已知：矩阵已知：矩阵A，B，C=AB，a=detA，b=detB，c=detC。求：利用置换符号证明：。求：利用置换符号证明：c=ab。证明：证明：kjikijbacabbeaaaebababaecccclmnnmlrstntnmsmlrlrsttsr321321321或或 abaebbbebababaecccclmnnmlrstntnmsmlrlrsttsr321321321第46页/共51页1.40 已知：矩阵已知：矩阵 中某两列的元素成比例，例如：中某两列的元素成比例，例如：ija
27、 ，k 为一个实数。求：利用置换符号证明为一个实数。求：利用置换符号证明:。0detijaiikaa21证明：证明：ijlnmnmllmnnmllmnnmlijaeaakaeaakaeaaaadetdet3223223210detija第47页/共51页1.41 质量为质量为m，绕定点，绕定点O 以角速度以角速度 转动的质点（如图），转动的质点（如图），其动量矩矢量的定义为其动量矩矢量的定义为L=mrv，其中，其中，r 为定点为定点O 至质点的至质点的矢径，矢径，v 为质点的线速度。为质点的线速度。求证：求证：L=I ，式中，式中I 为惯性矩张量，为惯性矩张量，I=m(r r)Grr v m
28、r O证明：证明：rrrrrrvrLmmmkikkkimmikkkimmiiIrrrrmrrrrmL rrGrrLm第48页/共51页1.42 求图求图1.11所示球坐标系中的面元矢量所示球坐标系中的面元矢量da1，da2，da3。解：解：kjissaddd2332221132132122321321333231232221131211321333231232221131211321sindddd000d000dsin100010001d000d000dddddddrxrxxxxxrrxxxgggggggggggggggggggggggggggssssss第49页/共51页22321233222321sinddsindddddrxxrxrxgggssa213211233132sindddsinddddrxxxrxgggssa221322211213dddddddrxxrxxgggssa第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页
