1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一一、内容小结内容小结 二、二、实实例分析例分析 向量代数与向量代数与空间解析几何空间解析几何 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、向量相等、负向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、一一、内容小结内容小结 向量代数向量代数向量的夹角、向径.目录 上页 下页 返回 结束(1)加法：cba 2、向量的线性运算dba ab(2)减法：cba dba (3)向量与数的乘法：,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa 目录 上页 下页 返回 结束
2、向量的分解式：(,)xyzaaaa.,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,3、向量的表示法目录 上页 下页 返回 结束 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式(,)xyzaaaa(,xyzbbbb）(,)xxyyzzabababab(,)xxyyzzabababab(,)xyzaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(目录 上页 下页 返回 结束 222|zyxaaaa
3、 向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点目录 上页 下页 返回 结束 4、数量积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式目录 上页 下页
4、返回 结束 5、向量积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式ba xyzxyzijkaaabbbba/zzyyxxbababa 目录 上页 下页 返回 结束 cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6、混合积目录 上页 下页 返回 结束 利用向量运算解决下列问题(1)判定两个向量平行0 baba 0 ba(2)判定两个向量垂直(3)判定A,B,C三点共线 0BCAB(4)判定四点共面或 三个向量共面0)(ADACAB(5)平行四边形面积 三角形面积 平行六面体的体积
5、四面体的体积|baS 2/|baS 6/|)(|cbaV|)(|cbaV 目录 上页 下页 返回 结束 例1 设 cba,为任意三个向量,则下列等式正确的为;abba A.B.C.D.);()(cbacba ()();abccba.|baba C目录 上页 下页 返回 结束 例例 2 2 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4|m，2|n，3|p，计计算算pnm )(.解),sin(|nmnmnm ,8124 0),(pnm pnm )(cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，目录 上页 下页 返回 结束 例3.已知.0 cba证明ac
6、cbba 例 4.证明三角形三条高线交于一点.目录 上页 下页 返回 结束 空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1.1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),(:000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量空间解析几何空间解析几何 目录 上页 下页 返回 结束 为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(p
7、nms 为直线上一点;目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系),(,0:111111111CBAnDzCyBxA),(,0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 目录 上页 下页 返回 结束,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 0
8、21ss021ss2121cosssss 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(,0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin目录 上页 下页 返回 结束 3.相关的几个问题相关的几个问题(1)过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12目录 上页 下页 返回 结束 0M(2)点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D=0),(0000
9、zyxMdnnnMMd011M),(1111zyxMnMM01)()()(101010zzCyyBxxADzCyBxA000目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3)点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms),(1111zyxM),(0000zyxML目录 上页 下页 返回 结束 1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称之转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.0),()2(
10、0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线方程特点方程特点:4.曲面目录 上页 下页 返回 结束（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx目录 上页 下页 返回 结束 2 柱面柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之为柱面所形成的曲面称之为柱面.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，
11、动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.柱面的特征：柱面的特征：只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),(yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.目录 上页 下页 返回 结束(1)平面平面 xy (3)抛物柱面抛物柱面)0(22 ppyx(4)椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2)圆柱面圆柱面 222Ryx 目录 上页 下页 返回 结束 3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqy
12、px 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号与与qpzqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp目录 上页 下页 返回 结束（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（6）圆锥面）圆锥面222zyx Ozxy（5）双叶双曲面）双叶双曲面2222221xyzabc 目录 上页 下页 返回 结束 5 5、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程目录 上页 下页 返回 结束 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121c
13、os21tztytx如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为目录 上页 下页 返回 结束 3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz目录 上页 下页 返回 结束 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面目录 上
14、页 下页 返回 结束 4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面目录 上页 下页 返回 结束 二二、实实例分析例分析例例1 1 求点求点M(-1,2,0)在平面在平面 x+2y-z+1=0上的投影上的投影.解解:平面的法向量平面的法向量1,2,1 n过过M M且与平面垂直的直线方程且与平面垂直的直线方程12211:zyxL下面只需求直线下面只需求直线L与平面的交点与平面的交点N即可即可.利用直线的参数方程利用直线的参数方程目录 上页 下页 返回 结束 则直线则直线L L的参数方程：的参数方程：122xtytzt 代入平面方程得代入平面方程得01)(
15、)22(21 ttt解得解得23t 从而所求投影为从而所求投影为5 2 2(,)3 3 3N 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,503cos504cos,505cos1nsn)4,1,7(1n)2,1,1(s417211kji)4,5,3(2所求为目录 上页 下页 返回 结束 n例例3.求过直线0405:zxzyxLzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示提示:过直线 L 的平面束方程04)1(5)1(zyx其法向量为已知
16、平面的法向量为选择使43.012720zyx从而得所求平面方程4012 114cosnnnn).1,5,1(1nL)8,4,1(n1n目录 上页 下页 返回 结束 思路:先求交点例例4.求过点)1,1,1(0M,12:1xzxyL且与两直线1243:2xzxyL都相交的直线 L.提示提示:21,LL将的方程化为参数方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设 L 与它们的交点分别为.)12,43,(2222tttM 再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111tttM目录 上页 下页 返回 结束 2,021tt)3,2,2(,)1,0,0(21MM2111
17、11:zyxL210,MMM1)12(1)1(1)43(1211212121tttttt三点共线2010/MMMML1L2L0M1M2M),1,1,1(0M),1,2,(1111tttM)12,43,(2222tttM目录 上页 下页 返回 结束 r例例5.直线1101:zyxL绕 z 轴旋转一周,求此旋转曲面的方程.提示提示:在 L 上任取一点),1(000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,LxOzy0MM则有0zz 0y22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 01目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,2)1(2xy 抛物柱面0z
18、平面;1224zyx及P50 题21 画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx抛物柱面;10,0yxzy及平面,)4(222xyzyx柱面旋转抛物面0z平面.1x及目录 上页 下页 返回 结束 P53 题21(1)解答解答:xyzOxy 220z1224zyx)0,1,2()0,2,8(4xyzO2目录 上页 下页 返回 结束 11xyzP53 21(2)1zx121 yx0y0zO1xyz1111O面xOz面xOy目录 上页 下页 返回 结束 1)1,1()1,1(zxyOzyx22xy 20z1xP53 21(4)目录 上页 下页 返回 结束 作业（作业（3-19）P52 4,5,9,10,12,16;17;18,19,21,22(1)(3).
