1、解三角形应用举例解三角形应用举例基础知识梳理基础知识梳理1有关概念有关概念(1)仰角与俯角：与目标视线在同仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时的夹角目标视线在水平视线上方时叫叫 ，目标视线在水平视线下方，目标视线在水平视线下方时叫时叫 仰角仰角俯角俯角如图所示如图所示基础知识梳理基础知识梳理(2)方位角：从正方位角：从正 方向沿顺时方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角针到目标方向线的水平角叫方位角(3)坡角：坡面与坡角：坡面与 面的夹角面的夹角叫坡角叫坡角(4)坡比：坡面的铅直高度与水平坡比：坡面的铅直高度
2、与水平长度之长度之 叫做坡比叫做坡比基础知识梳理基础知识梳理比比水平水平北北2解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识解题方面都要用到解三角形的知识解题的一般步骤是：的一般步骤是：(1)分析题意，准确理解题意分分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图基础知识梳理基
3、础知识梳理(3)将需求解的问题归结到一个或将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍意义，对解进行取舍基础知识梳理基础知识梳理有关距离测量问题，主要是测量从有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两点测量，间的距离问题，如海上、空中两点测量，隔着某一障
4、碍物两点测量等由于该问隔着某一障碍物两点测量等由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题通常是根据题意，解三角形问题通常是根据题意，课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一测量距离测量距离例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是100m，BAC45o，ACB75o，求，求A、B两点间的距离两点间的距离.分析：已知两角一边，
5、可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形BACCABsinsin例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。测量高度问题一般是利用地面上测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度；这类问题一般用据计算物体的高度；这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决形加以解决课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二测量高
6、度测量高度课堂互动讲练课堂互动讲练某人在山顶某人在山顶P处观察地面上相距处观察地面上相距2500 m的两个目的两个目标标A、B，测得目标，测得目标A在南偏西在南偏西57，俯角为，俯角为30，同时测得目标同时测得目标B在南偏东在南偏东78，俯角是，俯角是45，求山高，求山高(设设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】(1)依据题意画图是解决三角形应依据题意画图是解决三角形应用题的关键本例中，既有方位角用题的关键本例中，既有方位角(它是在水平面上所它是在水平面上所成的角成的角)，又有
7、俯角，又有俯角(它是铅垂面上所成的角它是铅垂面上所成的角)，因而本，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；图形和平面图形两个图，以对比分析求解；课堂互动讲练课堂互动讲练(2)由本例可知，方位角是相对于在某地而言的，由本例可知，方位角是相对于在某地而言的，因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位角从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解角从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏题意时，应把它看活，
8、否则在理解题意时将可能产生偏差差测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三测量角度测量角度课堂互动讲练课堂互动讲练速度追截走私船此时，走私船正以速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向
9、能最方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？快追上走私船？【思路点拨思路点拨】本例考查正弦、本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在相等，若在D处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD中求中求BCD.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】首先应明确方位首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画分清已知与所求，再根据题意正确画出
10、示意图，这是最关键、最重要的一出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理要注意体会正、余弦定理“联袂联袂”使使用的优点用的优点课堂互动讲练课堂互动讲练1解三角形的一般步骤解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图规律方法总结规律方法
11、总结(3)将需求解的问题归结到一个或将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍意义，对解进行取舍规律方法总结规律方法总结2解斜三角形实际应用举例解斜三角形实际应用举例(1)常见的几种题型常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等
12、问题、物理问题等(2)解题时需注意的几个问题解题时需注意的几个问题要注意仰角、俯角、方位角等要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；名词，并能准确地找出这些角；要注意将平面几何中的性质、要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决题目中的隐含条件，才能顺利解决规律方法总结规律方法总结例例1 海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛岛和和B岛成岛成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视的视角，那么角，那么B岛和岛和C岛间的距离是岛间的距离是 。AC
13、B10海里海里6075 练习练习1.如图如图,一艘船以一艘船以32海里海里/时的速度向时的速度向正北航行正北航行,在在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东200,30分钟后航行到分钟后航行到B处处,在在B处看灯塔处看灯塔S在船的在船的北偏东北偏东650方向上方向上,求灯塔求灯塔S和和B处的距离处的距离.（保留到（保留到0.1海里）海里）解：解：AB=16，由正弦定理知：，由正弦定理知：BS/sin20=AB/sin45 可求可求BS=7.7海里。海里。4、计算要认真，尽量不使用计算器。、计算要认真，尽量不使用计算器。解斜三角形理论应用于实际问题应注意：解斜三角形理论应用于实际问题应注意
14、：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。将已知和未知集中到一个三角形中解决。解：设所需时间为解：设所需时间为t小时，在点小时，在点B处处相 遇（如 图）在相 遇（如 图）在 A B C 中，中，ACB=120,AC=10,AB=21t,BC=9t125,3221 tt由正弦定理：由正弦定理：143332
15、2123)329(sinsin120sin CABCABBCABCAB22航向为北偏航向为北偏东东4545o o+22+22o o=67=67o o时间时间40分钟能营救成功。分钟能营救成功。（舍去）（舍去）由余弦定理：由余弦定理：(21t)2=102+(9t)2 2 1 0 9 t c o s 1 2 0 整理得：整理得：36t2 9t 10=0 解得：解得：练习练习1、我舰在敌岛、我舰在敌岛A南南50西相距西相距12海里海里B处，发现敌舰正由处，发现敌舰正由岛沿北岛沿北10西的方向以西的方向以10海里海里/时的速度航行，我舰要用时的速度航行，我舰要用2小时追小时追上敌舰，则需要的速度大小为
16、上敌舰，则需要的速度大小为 。A南南50 B10 C分析：分析：2小时敌舰航行距离小时敌舰航行距离AC=20，由，由AB=12，BAC=120，余弦定理可解我舰航行距离余弦定理可解我舰航行距离 BC。练习练习2：海中有岛：海中有岛A，已知，已知A岛周围岛周围8海里内有暗礁，今有一海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见货轮由西向东航行，望见A岛在北岛在北75东，航行东，航行20 海里后，海里后，见此岛在北见此岛在北30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。礁危险。2ABCM北北北北220解：解：在在ABC中中ACB=120BAC=45由正弦定理得：由正弦定理得：45sin120sinBCAB由由BC=20 ,可求可求AB 得得AM=8.978265215 无触礁危险无触礁危险ABCM北北北北22075 30 解：解：在在RtABM中，中，AM/BM=tan15 在在Rt ACM中中，AM/CM=tan60 BM=AM/tan15，CM=AM/tan60 2由由BC=BM-CM=20 可解出可解出AM=8.97865215 无触礁危险无触礁危险ABCM北北北北22075 30
