1、固体物理学作业固体物理学作业第一章 思考题1、简述晶态、非晶态、单晶、多晶、准晶的特征和性质答：主要区别在微结构有序度。固体中微观组成粒子(原子、离子、分子)在空间排列有序，具有微米数量级以上的三维平移周期性，这种具有长程有序态的固体称为晶态固体(晶体)，否则为非晶态。晶体中微观组成粒子空间排列有序存在于整个固体中，称为单晶体。多晶体由许多单晶体随机堆砌而成。单晶体，具有以下性质：(1)规则几何外形；(2)各向异性物理性质，(3)确定的熔点。多晶体不具有规则的外形，物理性质不表现各向异性。非晶体不具有确定的熔点。2、晶体结构可分成布拉菲格子和复式格子吗？第一章 思考题答：可以。以原子为结构参考
2、点，可以把晶体分成布拉菲格子和复式格子。任何晶体，以基元为结构参考点，都是布拉菲格子描述。任何化合物晶体，都可以复式格子描述？不是所有的单质晶体，都是布拉菲格子描述？单质晶体，以原子为结构参考点，也可以分成布拉菲格子和复式格子？3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子的倒格子也是复式格子吗？第一章 思考题答：引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里叶变换。布拉菲格子不可以对应于几个倒格子。基矢选择不唯一，但定义的布拉菲格子
3、是唯一确定的；同样，倒基矢选择不唯一，但定义的倒格子是唯一确定的。因此，给定布拉菲格子对应唯一确定的倒格子。倒格子定义在布拉菲格子概念上，而非复式格子。表达晶体结构周期性，以基元为格点的布拉菲格子是唯一的。4、当描述同一晶面时，密勒指数(hkl)与晶面指数(h1h2h3)一定相同吗？第一章 思考题答：不一定相同。密勒指数和晶面指数都定义为晶面在给定坐标轴上的截距倒数互质整数比。但是，密勒指数是在晶胞基矢为坐标轴上定义的，而晶面指数是在原胞基矢为坐标轴上定义的。因此，只当晶胞基矢和原胞基矢一致时，同一晶面的密勒指数和晶面指数才能相同。一般情况下，同一晶面密勒指数(hkl)与晶面指数(h1h2h3
4、)不相同。由于简单立方结构的晶胞基矢和原胞基矢一致，因此，简单立方结构的同一晶面密勒指数(hkl)与晶面指数(h1h2h3)相同。5、试画出体心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格点的分布图。第一章 思考题体心立方面心立方(100)(110)(111)6、怎样判断一个体系对称性的高低？讨论对称性有何物理意义。第一章 思考题答：一个物理体系对称性用其具有的对称操作集合来描述。一个体系具有的对称操作越多，其对称性就越高。在数学上，基本操作的集合构成“群”，每个基本操作称为群的一个元素。由于晶格周期性限制，描述晶体宏观对称性的“点群”只有32种。描述晶体微观对称性的“空间群”只有2
5、30种。一个物理体系，如知道其几何对称性，就可在一定程度上确定它的某些物理性质。例如，若原子结构具有中心反演对称性，则原子无固定偶极矩；若一个体系具有轴对称性，偶极矩必在对称轴上；若有对称面，偶极矩必在对称面上。由此可见，不必讨论体系结构细节，仅从体系的对称性，就可对其物理性质作出某些判断。对称理论已成为定性和半定量研究物理问题的重要方法。第一章 习题1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含几个格点？解：由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点阵。它的特征是每个格点周围的情况(包括周围的格点数目和格点配置的几
6、何方位等)完全相同。基元由相邻的一个Na+和一个Cl构成，基元代表点(如：Na+位置)构成面心立方晶格。每个原胞中含一个格点。第一章 习题1.2 在下面的例子中，其结构是不是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；如果不是，能否挑选合适的格点组成基元，使基元的重心构成布拉菲格子？(1)底心立方格子；(2)边心立方格子；(3)蜂窝二维格子。底心立方格子是简单四方格子边心立方格子PRQ蜂窝二维格子基元基元aijkkajiajiaaaa321)(2)(2不是布拉菲格子不是布拉菲格子a1a2a31.3 对于面心立方晶格，如果取晶胞的三边为基矢，某一族晶面的密勒指数 为(hkl)，问，如果取原胞的三边为基矢，
7、该族晶面的晶面指数是多少？解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指数(hkl)，求该晶面指数(h1h2h3)。aijk。，晶面指数，密勒指数截距倒数的关系根据晶面指数是在基矢332211:hhhlkhaaacbaABCDkcjbiaaaa，晶胞基矢：)(2)(2)(2321jiaikakjaaaa，原胞基矢：a3abkbha33ha设晶面(hkl)在底面截线 0，DBDC0)()(333323333333khhhkhhhhkhabaaabaaaaba即：第一章 习题aijkABCDa3abkbha33ha晶面在底面截线kijab2 aaa，代入jbiaaa )(2 3jiaa和033332333kh
8、hhkhhabaaabaa DBDC求解022 2323233332333kkkabaaabaakhahhakhakhhhkhh得到，即，012121 33khhhkhkjijab2)(2 23aaa，hkhkhkh123，123hkh,2 3khh得到同理 ,033aa 2)(223，kijiaaaaa,21lkh22hlh第一章 习题1.4 如果基矢 a,b,c 构成正交晶系，试证明晶面族(hkl)的面间距为第一章 习题222)()()(1clbkahdhkl证明：设 n 为该晶面系的法线方向，密勒指数(hkl)与 n,a,b,c 及 d 有如下关系。)/(),cos(1lcdnc对于正交
9、晶系，)/(),cos(1hadna),/(),cos(1kbdnb1),cos(),cos(),cos(222ncnbna,1)()()(222222lcdkbdhad即，2222222222)()()()()()()()()(kbhalchalckblckbhad，222)()()(1clbkahd证毕。1.5 试求面心立方结构和体心立方结构具有最大面密度的晶面族，并写出计算这个最大面密度的表示式。第一章 习题解：由格点面密度 与面间距 d 关系式 hkl=dhkl，知晶体格点体密度 和面间距 d，可求晶面族(hkl)格点面密度表达式。已知，面心立方和体心立方晶胞格点体密度分别为 4/a3
10、 和 2/a3。密勒指数简单的晶面系，其面间距 d 较大，格点面密度也较大。比较(100)，(110)，(111)晶面，可知面心立方(111)晶面和体心立方(110)晶面的格点面密度最大。根据，222lkhadhkl2 110ad体心立方，有面心立方3 111ad21102232 aaa体心立方，面心立方2111334334 aaa表达式，因此，最大格点面密度321321/2 hhhhhhGd1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。第一章 习题 证明：根据 BCC和 FCC 基矢表达式，)(2)(2)(2)(321jibikbkjbaaaBCC倒基矢)(2)(2)-(2)(321kj
11、iakjiakjiaaaaBCC 正基矢)(2)(2)(2)(321jiaikakjaaaaFCC 正基矢)(2)(2)-(2)(321kjibkjibkjibaaaFCC倒基矢)(2321321aaaaab要求同学通过矢量运算，证明得出结论：和倒格子基矢定义)(2321213aaaaab)(2321132aaaaab第四章 思考题1、能带理论作了哪些近似和假定？得到哪些结果？答：能带理论是近似理论。它作了绝热近似、平均场近似和周期势场假定。绝热近似视固体中原子核(离子实)静止不动，价电子在固定不变的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核(离子实)系统分开考虑。平均场近似视固体中每个
12、电子所处的势场都相同，使每个电子所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。第四章 思考题2、周期场是能带形成的必要条件吗？答：周期场是由布洛赫函数描述的能带结构的必要条件。布洛赫定理推导出周期场中单电子状态的一般属性(主要是能带结构，参见图4.2-1 一维能带结构的表示图式)，而晶格周期势场是布洛
13、赫定理的前提条件。在晶体周期性结构(平移对称性)中，电子波函数(k)是布洛赫函数，能量本征值和本征函数在 k 空间具有倒格矢反演和周期性，电子波矢 k 是与平移对称性相联系的量子数。非晶态也具有相似的基本能带结构，即：导带、价带和禁带。但非晶态的电子态与晶态比较有本质区别。非晶态不存在周期性，因此 k 不再是具有类似特征的量子数。非晶态能带中电子态分扩展态和局域态二类。扩展态的电子为整个固体共有，可在整个固体内找到，在外场中运动类似晶体中电子；局域态的电子基本局限在某一区域，状态波函数只能在围绕某一不大的尺度内显著不为零，它们依靠声子协助，进行跳跃式导电。第四章 思考题3、按自由电子近似，禁带
14、产生的原因是什么？紧束缚近似呢？答：按自由电子近似，零级近似波函数是平面波，它在晶体中传播如同X射线。当波矢 k 不满足布拉格条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当 k=n/a(处在布里渊区边界)，波长 =2/k=2a/n 正好满足布拉格反射条件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成驻波，使电子分布密度发生变化。一部分主要分布在离子实之间，受离子实吸引较弱，势能较高，一部分主要分布在离子实周围，受离子实吸引较强，势能较低。由此出现能隙。按紧束缚近似，原来孤立原子的每一能级，当原子相互接近组成晶体时，由于原子间的相互作用就构成一个能带，若原子间距离越小，原子波函数间交叠越多
15、，相互作用越大，能带宽度就越宽。由于晶体原胞数 N 很大，倒格子原胞体积很小，k 在波矢空间准连续取值，因此，同一能带中相邻 k 值的能量差别很小，所以 En(k)可近似看成是 k 的准连续函数。第四章 思考题4、一个能带有 N 个准连续能级的物理原因是什么？答：能量本征值 En(k)与 n 和 k 有关；对给定 n，En(k)在波矢空间具有倒格子周期性，因此，电子波矢 k 可限制在第一布里渊区；在周期性边界条件下，k 分立取值个数为晶体原胞数 N；En(k)包含由于 k 的不同取值所对应的许多能级，称为一个能带。Nk*第四章 思考题5、近自由电子模型和紧束缚模型有何特点？它们有共同之处吗？答
16、：近自由电子近似模型是当晶格周期势场起伏很小，电子的行为很接近自由电子时采用的处理方法。作为零级近似，用晶格平均势场代替晶格势场，以自由电子的波函数为零级近似波函数。将晶格势场与平均势场的差，作为微扰求解薛定鄂方程。紧束缚近似模型是当晶格周期势场起伏显著，电子在某一个原子附近主要受到该原子势场作用时采用的处理方法。作为零级近似，用孤立原子势场代替晶格势场，以自由原子中电子的波函数为零级近似波函数。将其它原子势场的作用作为微扰求解薛定鄂方程。它们共同之处，将电子所受主要势场代替晶格势场，并以此选择零级近似波函数，将主要势场以外的其它势场的影响作为微扰，采用量子力学微扰理论求解薛定鄂方程。第四章
17、思考题6、试述晶体电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。答：量子力学采用准经典模型来描述晶体电子对外场的响应，并用布洛赫波组成波包，用波包群速度对应经典粒子在外场中的运动。22)()(),(kkkktkxikdkexutx由此可见，用准经典模型描述晶体电子对外场响应的条件：这一外场相对波包范围变化缓慢，从而相对晶体原胞范围变化更为缓慢。根据波包定义：这是因为，从测不准原理xk 1，ka/2。即：当波包波矢范围 k 比布里渊区尺度小得多，则波包在晶体空间的范围将覆盖许多原胞。只要令波包的波矢范围 k 相对布里渊区尺度为小量，即：k2/a，则 En(k)可代表这一波包内所有电子的状态？第四
18、章 思考题6、试述晶体电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。因此，准经典模型是将变化周期远大于波包范围和晶体原胞尺度的外场采用经典理论处理，将变化周期远小于波包范围的晶格周期势场采用量子理论结果。准经典运动的基本公式：波包的群速度等于晶体电子作为经典粒子后的平均速度；并由此导出晶体电子在外场作用下的动力学方程、加速度、准动量和有效质量。第四章 思考题7、试述有效质量、空穴的意义，引入它们有什么用处？答：关于有效质量：有效质量是在讨论晶体电子在外场作用下的加速度时引入的物理量，F=m*a。有效质量是张量，因此电子的加速度一般与外力方向不一致，这是因为电子除了受外力作用外，还受到晶格周期势
19、场的作用，这个作用由有效质量概括。有效质量与电子状态有关，是波矢 k 的函数 me*(k)；有效质量可以取正值，也可以取负值。引入有效质量，概括了晶格周期势场，晶体电子在外力下运动，在形式上仍有经典动力学方程。引入有效质量，在能带极值附近的电子可以看成是具有有效质量的自由电子。第四章 思考题7、试述有效质量、空穴的意义，引入它们有什么用处？关于空穴：空穴是在讨论半导体满带(价带)电子受激发到达空带，使满带留下一个空状态成为近满带的导电行为时引入的概念。一个 k 状态空着的能带所产生的电流与一个带正电荷 e，以该状态的电子速度 V(k)运动的粒子所产生的电流相同，我们称这种空的状态为“空穴”。空
20、穴在外场下的运动，可以看成是一个带正电荷 e，具有正的有效质量 mh*(k)的粒子。引入空穴，使得对一个近满带(2N-1)电子在外场下行为的描述转化为对一个空穴的描述。引入空穴，对于解释半导体及一些物理现象起着重要作用，如：可以用来解释某些材料霍尔系数为正的实验结果。第四章 习题4.1 周期场中电子的波函数 k(r)应是布洛赫波，若一维晶格常数为 a，电子波函数为 试求这些电子态的波矢。解：根据布洛赫定理lkkkflaxfxxaixxax)()()()3()3cos()()2()sin()()1(是一个确定的函数)()(rRrRknine)sin()()1(xaxk 1 ，即，要求ikae)(
21、)sin()sin()(sin()(xxaxaaxaaxkk第四章 习题)3cos()()2(xaixk.3,2,1 ,.)12(.53 1 nanaaakeika，即应有，若要求.3,2,1 .,)12(.53 1 nanaaakeika，即应有，若要求)()(rRrRknine 1 ，即要求ikae)()3cos()33cos()(3cos()(xxaixaiaxaiaxkk第四章 习题.210 ,.2.420 1 ，即应有，若要求nanaakeikalklaxfx)()()3()()(rRrRknine 1 ，即要求ikae)()()1()()(xmaxfalxflaaxfaxkmllk
22、第四章 习题4.2 电子在周期场中的势能为其中 a=4b，为常数。(1)试画出势能曲线，并求其平均值。(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一和第二禁带宽度。解：(1)示意势能曲线bnaxbanbnaxbnanaxbmxV)1(0 )(21)(222当当a-bb-a2a-2axV(x)2221bm周期为 a=4b第四章 习题(1)求平均值2222261)(81bmdxxdxbmbbbbba-bb-a2a-2axV(x)2221bm根据周期性dxxbmbdxxbmLVbbL21412112220222第四章 习题(2)求 第 1 个能隙宽度3222222222021114)2sin()2cos(
23、812141)(12bmdxxbixbxbmbdxexbmbdxexVLVVEbbbbxbiLxaiga-bb-a2a-2axV(x)2221bm32218bmEg第四章 习题(2)求 第 2 个能隙宽度2222bmEga-bb-a2a-2axV(x)2221bm22222222202222221)sin()cos(812141)(12bmdxxbixbxbmbdxexbmbdxexVLVVEbbbbxbiLxaig第四章 习题4.6 一维晶格中，用紧束缚近似及最近邻近似，求 S 态电子的能谱 E(k)的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。解：已知，在紧束缚近似及最近邻近似下nnmiimeE
24、,)()(RkRk对于一维晶格，令晶格常数为 a，S态相互作用积分为，)cos(2)()(kaeekEiaikaiki4)(kE能谱表示式2)cos(2)(2)0cos(2)(0 maxminiiiiaakEakkEk，带宽第四章 习题4.6 一维晶格中，用紧束缚近似及最近邻近似，求 S 态电子的能谱 E(k)的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。)cos(2)()(kaeekEiaikaiki2221)(1*)(dkkEdm)cos(1222kaa222*am底有效质量表示式222*am顶2222112)cos(12*)(aamak，带顶有效质量2222112)0cos(12*)(0aam
25、k，带底有效质量根据第四章 习题4.7 二维正方格子的晶格常数为 a，用紧束缚近似及最近邻近似，求 S 态电子的能谱 E(k)的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。解：已知，在紧束缚近似及最近邻近似下nnmiimeE,)()(RkRk令 S 态相互作用积分为，)cos(cos2)()(akakeeeeEyxiaikaikaikaikiyyxxk4 )cos()(cos(2)(4)11(2)(0 maxminiiyxiiyxaaaaEakkEkkkk，能谱表示式带宽8)()()(minmaxkkkEEE第四章 习题)cos(cos2)(akakEyxik4.7 二维正方格子的晶格常数为 a，用
26、紧束缚近似及最近邻近似，求 S 态电子的能谱 E(k)的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。根据有效质量表示式)cos(00)cos(222akakayx22222221)()()()(1*yExyEyxExEmkkkk第四章 习题4.7 二维正方格子的晶格常数为 a，用紧束缚近似及最近邻近似，求 S 态电子的能谱 E(k)的表示式，带宽以及带顶和带底的有效质量。10012)cos(00)cos(2*22221aakakamakkyxyx带顶10012)cos(00)cos(2*220221aakakamyxkkyx带底第四章 习题4.9 用紧束缚近似证明，若只计算最近邻的相互作用，面心立方
27、晶体的 S 态能谱 E(k)的表达式为：用同样方法处理，证明体心立方晶体的 S 态能谱 E(k)的表达式为：证明：根据)21cos()21cos()21cos()21cos()21cos()21cos(4)(akakakakakakEzyzxyxifcck)21cos()21cos()21cos(4)(akakakEzyxibccknnzkykxkiinniizyxmeeE,)(,)(Rkk第四章 习题4.9nnzkykxkiizyxeE,)()(kijk面心立方晶体12个最近邻位矢：(a/2,a/2,0)(-a/2,-a/2,0)(a/2,-a/2,0)(-a/2,a/2,0)(a/2,0,
28、a/2)(-a/2,0,-a/2)(a/2,0,-a/2)(-a/2,0,a/2)(0,a/2,a/2)(0,-a/2,-a/2)(0,a/2,-a/2)(0,-a/2,a/2)体心立方晶体 8 个最近邻位矢：(a/2,a/2,a/2)(a/2,a/2,-a/2)(a/2,-a/2,-a/2)(-a/2,-a/2,-a/2)(-a/2,a/2,a/2)(-a/2,-a/2,a/2)(-a/2,a/2,-a/2)(a/2,-a/2,a/2)代入证明（略），可得结果。第四章 习题4.10 采用紧束缚近似计算一维晶格中电子速度，证明在布里渊区边界电子的速度为零。解：)cos(2)()(kaeekEiaikaiki根据dkkdEkV)(1)()sin(21)cos(21)(kaakadkdkVi在布里渊区边界，0)sin(21)sin(21)(aaaakVak
