1、在第一、二章中已研究过方程个数在第一、二章中已研究过方程个数=未知数个数且系数行列未知数个数且系数行列式不等于零的情形的方程组：式不等于零的情形的方程组：11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb在本章将研究一般的线性方程组：在本章将研究一般的线性方程组：11 11221121 1222221 122,nnnnmnmnnma xa xa xba xa xa xbaxa xaxb需研究：需研究：无解无解有解有解唯一解唯一解无穷解无穷解解的结构解的结构在在本本节节中中我我们们将将学学习习如如何何通通过过初初等等行
2、行变变换换解解线线性性方方程程组组的的方方法法 设有设有n元线性方程组元线性方程组 ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa (4.1)其其系系数数矩矩阵阵A和和增增广广矩矩阵阵B分分别别为为：令令12nxxxx，12mbbbb，则线性方程组，则线性方程组(4.1)可写为：可写为：Axb (4.2)称称(4.2)为为方方程程组组(4.1)的的矩矩阵阵形形式式 如如果果nncxcxcx,2211可可以以使使(4.1)中中的的m个个等等式式都都成成立立，则则称称有有序序数数组组),(21nccc为为方方程程组组(4.1)的的一一个个解
3、解 方方程程组组(4.1)的的解解的的全全体体称称为为方方程程组组的的解解集集合合 对对(4.1)(4.1)需研究：需研究：无解无解有解有解唯一解唯一解无穷解无穷解（称方程组不相容）（称方程组不相容）（方程组相容）（方程组相容）解的结构解的结构解解 为为观观察察消消元元过过程程，将将消消元元过过程程中中每每个个步步骤骤的的方方程程组组及及其其对对应应的的增增广广矩矩阵阵一一并并列列出出：这里先介绍线性方程组的解法：加减消元法这里先介绍线性方程组的解法：加减消元法对线性方程组用消元法对线性方程组用消元法对应方程组的增广矩阵对应方程组的增广矩阵11 1211 3B12122(1)3(2)xxxx消
4、去消去1,x(1)-(2)(1)-(2)得：得：21221(3)3(4)xxx 1(3)2得：得：2121(5)23(6)xxx 202111 3B31012113B对线性方程组用消元法对线性方程组用消元法对应方程组的增广矩阵对应方程组的增广矩阵(5)(6)得：得：122312xxx41131012B7（）（8）得方程组的解为：得方程组的解为：125212xx 比较发现：比较发现：增广矩阵增广矩阵B上阶梯形矩阵上阶梯形矩阵初等初等 行变换行变换原方程组原方程组同解方程组同解方程组其其中中ricii,2,1,0 111211122222100000000Brnrnrrrnrrccccdcccdc
5、cdd 不不妨妨设设 .0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc（4.34.3）讨论：讨论：（1 1）若）若01rd()()rR AR B，即，即 无解无解（2 2）若）若10rd()()rR AR B，即，即 有解有解 自自下下而而上上可可依依次次求求出出11,xxxnn的的值值，从从而而方方程程组组有有惟惟一一解解；.,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc ()()rR AR Bn2 2、当、当 1 1、当、当()()rR AR Bn其其中中nrxx,1为为自自由由未未知知量量 当自
6、由未知量任意取一组值时，可惟一确定当自由未知量任意取一组值时，可惟一确定rxxx,21的值，从而得到方程组的一个解的值，从而得到方程组的一个解 因此因此方程组有无穷多组解方程组有无穷多组解 (rn个个)总总结结：无解无解有解有解唯一解唯一解无穷解无穷解（4.14.1）()()R AR B()()R ArR Brnrn有有nr个自由未知量个自由未知量r 1rB上阶梯形矩阵上阶梯形矩阵增广矩阵增广矩阵求解（求解（4.14.1）的步骤）的步骤行变换行变换判断判断()()rR AR B？唯一解唯一解（无穷解）（无穷解）rnrn不成立，即无解不成立，即无解成立，即有解成立，即有解同解方程组同解方程组确定
7、出确定出nr个自由未知量个自由未知量写出通解写出通解121301121127B 例例 3 解线性方程组：解线性方程组：.72,2,3232132321xxxxxxxx 解解 对增广矩阵作初等行变换：对增广矩阵作初等行变换：例例 4 解线性方程组：解线性方程组：.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx 因因 ()()2ABRR，故方程组有无穷多组解，故方程组有无穷多组解 其其同解方程组为同解方程组为：.142,0434321xxxxxx 取取42,xx作作为为自自由由未未知知量量，将将自自由由未未知知量量移移到到等等式式右右端端，得得 .142,434231xxxxx
8、x 21121kkx，23221kx 因此方程组的一般解为：因此方程组的一般解为：,221,21242312211kxkxkxkkx 其中其中21,kk为任意常数为任意常数 .142,434231xxxxxx 令令2412,kxkx，得得 解解 对增广矩阵作初等行变换：对增广矩阵作初等行变换：22112121112B 例例 5 问问取何值时，取何值时，下列下列线性方程组线性方程组有解，并求其解有解，并求其解 .22222321321321xxxxxxxxx，当当1或或2时时，()()2ABRR，方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解 当当1时时，原原方方程程组组的的同同解解方方程程组组为为 .0,1232321xxxxx 当当1且且2时时，()()ABRR，方方程程组组无无解解；.)2)(1(000132110121）（取取3x为为自自由由未未知知量量，得得其其解解为为,2,2321kxkxkx k为为任任意意常常数数 .2,2232321xxxxx .0,1232321xxxxx 取取3x作为自由未知量，得其解为作为自由未知量，得其解为 ,1321kxkxkx k为为任任意意常常数数 当当2时时，原原方方程程组组的的同同解解方方程程组组为为 本本节节完完
