1、mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111形如)1.1.3(个方程的线性方程组的个未知数称为mxxxnn,21一.线性方程组,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211,21nxxxx设的常数项称为方程组的系数矩阵称为方程组)1.1.3(,)1.1.3(21mbbbA则上述方程组（则上述方程组（3.1.1）可写成向量方程）可写成向量方程.bAx mbbbb21（3.1.2）;)1.3.1(),2,1(0;)1.3.1(,000,为非齐次线性方程组则称方程组若至少有一个为齐次线性方程组称方程组时当特别地mibbi能使每个
2、方程变为恒等式的能使每个方程变为恒等式的n个数个数 称为称为方程组的解方程组的解.nxxx,21具有惟一解的方程组称为具有惟一解的方程组称为确定确定方程组方程组.具有多于一个解的方程组称为具有多于一个解的方程组称为不定不定方程组方程组.至少有一个解的方程组称为至少有一个解的方程组称为相容相容的的.如果方程组没有解如果方程组没有解,就称这个方程组就称这个方程组不相容不相容.解向量解向量.)2.1.3(,)1.1.3(,)1.1.3(,1211111212111的解它也就是向量方程的解向量称为方程组则的解为若nnnxxxx1.下面讨论齐次方程组下面讨论齐次方程组,在什么条件下在非零解在什么条件下在
3、非零解?021nxxx所以齐次方程组总是相容的所以齐次方程组总是相容的.显然齐次方程组总有解显然齐次方程组总有解00),(0221121nnnxxxAxAAx变为则的系数矩阵分块对齐次线性方程组二.齐次方程组002211nnxxxAx则齐次方程组有非零解的充要条件是则齐次方程组有非零解的充要条件是:.,21线性相关nnrankARn),()(21即定理定理3.1.1 设设A是是m n矩阵矩阵,则则齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0有有非零解非零解的充要条件是的充要条件是R(A)n.推论推论3.1.2 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0只有零解的充只有零解的充要条件是要条件是R(A)=n=A
4、的列数的列数.特别地特别地,当当A为方阵时为方阵时,Ax=0只有零解只有零解(有非零解有非零解)|A|0(|A|=0)齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解.证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
5、所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间S0 Ax证毕证毕.因此因此,若可求出若可求出S的一个基的一个基,21t则方程组则方程组AX=0的通解可以表示为的通解可以表示为,2211ttkkkx.,21为任意常数其中tkkkbxxxbAxAbAxnnn221121),(变为则的系数矩阵分块对非齐次线性方程组),(),(,2121nnrankbrankAbbAx即的列向量组线性表示可由有解则有1.1.非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解的条件三非齐次线性方程组的解三非齐次
6、线性方程组的解),()(,)(5.1.3bARARbABAbAx即的秩相等与增广矩阵它的系数矩阵有解的充分必要条件是非齐次线性方程组定理.),()(6.1.3无解则若推论bAxbARAR).(),()(7.1.3未知量的个数有惟一解的充要条件是方程组推论nbARARbAxbAxAbAxnA1,0|,8.1.3且惟一解为有惟一解的充要条件是则方程组阶方阵为设推论2.2.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质.0,1)(2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 .021 bbA .021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA
7、 21,证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)(的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 3.3.非齐次线性方程组的解的结构定理非齐次线性方程组的解的结构定理:定理定理3.1.113.1.11若若非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b有解有解,则其通解为则其通解为 00001001,1,111rnrrrnbbbbA设齐
8、次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA四齐次线性方程组解空间四齐次线性方程组解空间S S的基的求法的基的求法00000100121,1,111 nrnrrrnxxxbbbb nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入.,100,010,001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111,0102122 rbb.
9、bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn.bb,rn,rrn,1,bbr 212,bbr 111,下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn,21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn rn 线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn nrn,21.,)1(21线线性性无无关关证证明明n .,2)(21线线性性表表示示可可由由证证明明解解空空间间的的任任一一解解都都rn .11方程组的一个解方程组的一个解为上述为上述设设Tnrrx ,rn的的线线性性组组合
10、合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn,210 Ax 0 Ax,.下下面面来来证证明明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn,rrn,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程与与由由于于0 又又等等价价于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都都是是此此方方程程组组的的解解与与所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方程组方程组.故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线
11、性方程组解空间的一个基.rn,1说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 rn,210 Ax.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组);0,(,)(维向量空间维向量空间为为向量向量此时解空间只含一个零此时解空间只含一个
12、零系系故没有基础解故没有基础解方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR .,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空间可表示为解空间可表示为为任意实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩
13、作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A3.2线性方程组的求解 .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 000
14、00000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令,010,001.100所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为,001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依次得依次得.12,31,010312.100123 例例3 3).()(ARAART 证明证明证证
15、.,维列向量维列向量为为矩阵矩阵为为设设nxnmA;0)(,0)(,0 xAAAxAAxxTT即即则有则有满足满足若若 .0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因此因此例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,00000212100211011 并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见,2)
16、()(BRAR .212,2143421xxxxx ,042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622,2323,75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 121
17、34382362120231213711111B例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解 0000000000002362120711111 .,知知方方程程组组有有解解由由BRAR ,3,2 rnAR又又所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 236227543254321xxxxxxxxx求基础解系求基础解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29,021543
18、 xxxxx得得令令所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系.0002232910032000100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk另一种解法另一种解法 12134382362120231213711111B 0000000000002362120711111 00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.0002232
19、910032010100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn,rrrn,bbbbA四、小结四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn,bbr 0011111,bb
20、r 0102122.bb,rn,rrn,rn 1001 故故,bb,bb,bbxxrn,rrn,rrr 12121111得得为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.有解有解0 Ax nAR 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有无穷多解有无穷多解bAx BRAR.无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,.1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考题思考题,1)(,3 ARmA矩阵矩阵是是解解 思考题解答思考题解答.2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba ,21231)(211 bca,23230)(213 acb,25210)(212 cba ,21121 23131 .0的基础解系中的解向量的基础解系中的解向量为为 Ax的通解为的通解为故故bAx ,2123123121121321 kkxxx.,21为任意实数为任意实数其中其中kk54321,81548078:PP习题例习题课
