1、完备事件组完备事件组2定义定义1 1.4 4已知事件A1,A2,An,若它们同时满足:(1)两两互斥(2)和事件A1+A2+An=则称事件A1,A2,An构成一个完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组3设事件A1,A2,An构成一个完备事件组,考虑任意事件B,它发生的概率与事件A1,A2,An发生的概率有什么关系?完备事件组完备事件组4在试验E中,若区域A1,A2,An两两分离,且它们的并集是长方形桌面,则小球不可能同时落入其中任何两个区域,但一定落入其中一个区域,意味着事件A1,A2,An两两互斥,且它们的和事件是必然事件,因此它们构成一个完备事件组区域B被分成n个部分,它们分别是区域B与
2、A1,A2,An的交集,即区域B为交集A1B,A2B,AnB的并集,如图完备事件组完备事件组5根据1.1中的讨论,事件B为积事件A1B,A2B,AnB的和事件,即B=A1B+A2B+AnB注意到交集A1B,A2B,AnB两两分离,说明积事件A1B,A2B,AnB两两互斥全概公式全概公式6根据1.2加法公式特殊情况的推广与1.3乘法公式,于是得到全概公式全概公式P(B)=P(A1B+A2B+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)贝叶斯公式贝叶斯公式7如果还求条件概率条件概率P(Ai|B)(i=1,2,n),
3、则根据1.3乘法公式P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)得到逆概公式即贝叶斯(Bayes)公式例例1 18某村麦种放在甲、乙、丙三个仓库保管某村麦种放在甲、乙、丙三个仓库保管,其保管数其保管数量分别占总数量的量分别占总数量的40%,35%,25%,所保管麦种发芽所保管麦种发芽率分别为率分别为0.95,0.92,0.90.现将三个仓库的麦种全部混现将三个仓库的麦种全部混合合,求其发芽率求其发芽率解:设事件A1表示甲仓库保管的麦种,事件A2表示乙仓库保管的麦种,事件A3表示丙仓库保管的麦种,事件B表示发芽麦种例例1 19P(A1)=40%P(A2)=35%P(A3)=25%P(B|A1
4、)=0.95P(B|A2)=0.92P(B|A3)=0.90由于事件A1,A2,A3构成一个完备事件组,从而对于事件B,有关系式B=A1B+A2B+A3B例例1 110注意到发芽麦种包括甲仓库保管的发芽麦种、乙仓库保管的发芽麦种及丙仓库保管的发芽麦种三个部分即事件B发生意味着积事件A1B发生或积事件A2B发生或积事件A3B发生于是事件B当然等于积事件A1B,A2B,A3B的和事件例例1 111根据全概公式,得到概率P(B)=P(A1B+A2B+A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=40%0.95+35%
5、0.92+25%0.90=0.927所以麦种全部混合后的发芽率为0.927特殊情况下的全概公式特殊情况下的全概公式12于是全概公式化为例例2 213市场上供应的某种商品只由甲厂与乙厂生产市场上供应的某种商品只由甲厂与乙厂生产,甲厂甲厂占占80%,乙厂占乙厂占20%,甲厂产品的次品率为甲厂产品的次品率为4%,乙厂产乙厂产品的次品率为品的次品率为9%,求求:(1)从市场上任买从市场上任买1件这种商品是次品的概率件这种商品是次品的概率(2)从市场上已买从市场上已买1件次品是乙厂生产的概率件次品是乙厂生产的概率例例2 214由题意得到概率例例2 215根据全概公式的特殊情况,得到概率=80%4%+20
6、%9%=5%所以从市场上任买1件这种商品是次品的概率为5%例例2 216得到条件概率所以从市场上已买1件次品是乙厂生产的概率为36%例例3 317100张彩票中有张彩票中有7张有奖彩票张有奖彩票,甲先乙后各购买甲先乙后各购买1张彩张彩票票,问甲、乙中奖的概率是否相同问甲、乙中奖的概率是否相同?根据1.1古典概型计算概率的公式,得到甲中奖的概率例例3 318例例3 319同时注意到甲无论中奖与否,都不把所购买彩票放回,从而乙是从剩余99张彩票中购买1张彩票根据全概公式的特殊情况,得到乙中奖的概率例例3 320例例4 421(2)概率概率P(AB);(3)条件概率条件概率P(A|B);(4)概率概
7、率P(A+B)例例4 422解:(1)根据1.3乘法公式与1.2加法公式的特殊情况,得到概率例例4 423(2)根据全概公式的特殊情况得到概率例例4 424(3)根据1.3乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)得到条件概率例例4 425(4)根据1.2加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)全概公式总结全概公式总结26全概公式全概公式如果事件A1,A2,An构成一个完备事件组,则对于任意事件B,都有概率P(B)=P(A1B+A2B+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)全概公式总结全概公式总结27全概公式的特殊情况全概公式的特殊情况对于任意两个事件A,B,都有概率28
