1、第第7课时抛物线课时抛物线第八章平面解析几何第八章平面解析几何回归教材回归教材 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1定义定义平面内与一定点平面内与一定点F和一条定直线和一条定直线l(不经过不经过F)的的距离距离_的点的轨迹叫做抛物线，的点的轨迹叫做抛物线，相等相等即即_.点点F叫做抛物线的叫做抛物线的_，直线直线l叫做抛物线的叫做抛物线的_焦点焦点准线准线思考探究思考探究当定点在定直线当定点在定直线l上时，动点的轨迹是上时，动点的轨迹是什么图形？什么图形？提示：提示：是一条直线，过定点与是一条直线，过定点与l垂直的垂直的直线直线2抛物线的标准方程、类型及几何性质抛物线的标准方程、类型及几何性质x
2、轴轴O(0,0)e1向右向右向上向上课前热身课前热身1经过点经过点(2,4)的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是_答案：答案：y28x或或x2y2(2012盐城质检盐城质检)抛物线抛物线y2x2的的焦点坐标为焦点坐标为_3抛物线抛物线y28x的焦点到准线的距离的焦点到准线的距离是是_答案：答案：44(2011高考辽宁卷改编高考辽宁卷改编)已知已知F是抛是抛物线物线y2x的焦点，的焦点，A，B是该抛物线上是该抛物线上的两点，的两点，|AF|BF|3，则线段，则线段AB的的中点到中点到y轴的距离为轴的距离为_考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1抛物线的定义及标准方程的求法抛物线的定义及
3、标准方程的求法例例1(1)设斜率为设斜率为2的直线的直线l过抛物线过抛物线y2ax(a0)的焦点的焦点F，且和，且和y轴交于点轴交于点A.若若OAF(O为坐标原点为坐标原点)的面积为的面积为4，则抛物线方程为，则抛物线方程为_(2)若点若点P到点到点F(0,2)的距离比它到直线的距离比它到直线y40的距离小的距离小2则点则点P的轨迹方程为的轨迹方程为_(2)由题意知由题意知P到到F(0,2)的距离比它到的距离比它到y40的距离小的距离小2，因此，因此P到到F(0,2)的距离的距离与到直线与到直线y20的距离相等，故的距离相等，故P的的轨迹是以轨迹是以F为焦点，为焦点，y2为准线的抛为准线的抛物
4、线，所以物线，所以P的轨迹方程为的轨迹方程为x28y.【答案答案】(1)y28x(2)x28y【名师点评名师点评】求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程常采用待定系数法或轨迹法，利用题常采用待定系数法或轨迹法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离的距离p的值的值【解解】法一：设动圆半径为法一：设动圆半径为r，动圆，动圆圆心圆心O(x，y)，因动圆与圆因动圆与圆(x2)2y21外切，外切，则则O到到(2,0)的距离为的距离为r1，动圆与直线动圆与直线x10相切，相切，O到直线到直线x10的距离为的距离为r.所以所以O到到(2,0)的距离与到直线的距离与到直线
5、x2的距离相等，的距离相等，故故O的轨迹是以的轨迹是以(2,0)为焦点，直线为焦点，直线x2为准线的抛物线，方程为为准线的抛物线，方程为y28x.变式训练变式训练1已知抛物线已知抛物线C的顶点为坐标原点，的顶点为坐标原点，焦点在焦点在x轴上，直线轴上，直线yx与抛物线与抛物线C交交于于A，B两点若两点若P(2,2)为为AB的中点，的中点，则抛物线则抛物线C的方程为的方程为_答案：答案：y24x考点考点2抛物线的几何性质抛物线的几何性质设抛物线设抛物线y22px(p0)的焦点为的焦点为F，经过点，经过点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A，B两点，点两点，点C在抛物线的准线上，且在抛物线的准线上
6、，且BCx轴证明直线轴证明直线AC经过原点经过原点O.例例2法二：如图，记准线法二：如图，记准线l与与x轴的交点为轴的交点为E，过，过A作作ADl，垂足为，垂足为D.则则ADEFBC，连结连结AC交交EF于点于点N，【名师点评名师点评】证直线证直线AC经过原点经过原点O，即证，即证O，A，C三点共线，为此只需三点共线，为此只需证证kOCkOA.本题也可结合图形特点，本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决去解决2.如图，抛物线关于如图，抛物线关于x轴对称，它的顶轴对称，它的顶点是坐标原点，点点是坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(
7、x2，y2)均在抛物线上均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方写出该抛物线的方程及其准线方程；程；(2)当当PA与与PB的斜率存在且倾斜角的斜率存在且倾斜角互补时，求互补时，求y1y2的值及直线的值及直线AB的的斜率斜率解：解：(1)由已知条件可设抛物线的方程由已知条件可设抛物线的方程为为y22px(p0)，点点P(1,2)在抛物线上，在抛物线上，222p1，得得p2，故所求抛物线的方程为故所求抛物线的方程为y24x，准线，准线方程是方程是x1.考点考点3直线和抛物线的位置关系直线和抛物线的位置关系(2011高考福建卷高考福建卷)如图，直线如图，直线l：yxb与抛物线与抛物线C：x24
8、y相切于相切于点点A.(1)求实数求实数b的值；的值；(2)求以点求以点A为圆心，且与抛物线为圆心，且与抛物线C的准的准线相切的圆的方程线相切的圆的方程例例3(2)由由(1)可知可知b1，故方程，故方程(*)即为即为x24x40，解得解得x2.将其代入将其代入x24y，得，得y1.故故点点A(2,1)因为圆因为圆A与抛物线与抛物线C的准线相切，的准线相切，所以圆所以圆A的半径的半径r等于圆心等于圆心A到抛物线到抛物线的准线的准线y1的距离，的距离，即即r|1(1)|2，所以圆所以圆A的方程为的方程为(x2)2(y1)24.变式训练变式训练3直线直线l：ykx1，抛物线，抛物线C：y24x，当，
9、当k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线C有有一个公共点、两个公共点、没有公共一个公共点、两个公共点、没有公共点？点？直线直线l与抛物线与抛物线C有两个公共点，此时有两个公共点，此时称直线称直线l与抛物线与抛物线C相交；相交；当当0,即即k1时，直线时，直线l与抛物线与抛物线C有有一个公共点，此时称直线一个公共点，此时称直线l与抛物线与抛物线C相切；相切；当当1时，直线时，直线l与抛物线与抛物线C没没有公共点，此时称直线有公共点，此时称直线l与抛物线与抛物线C相相离离综上所述，可知当综上所述，可知当k1或或k0时，直时，直线线l和抛物线和抛物线C有一个公共点；当有一个公共点；当k1时
10、，直线时，直线l和抛物线和抛物线C没有没有公共点公共点方法技巧方法技巧1重视定义在解题中的应用，灵活地重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的相互转化；注意确准线的距离之间的相互转化；注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦距、通径与抛物线标准方程中系的焦距、通径与抛物线标准方程中系数的关系；数的关系；2复习中应紧抓抛物线的定义、标准复习中应紧抓抛物线的定义、标准方程及几何性质方程及几何性质(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为物线，可设为y22ax或
11、或x22ay(a0)，此时，此时a不具有不具有p的几何意义的几何意义(2)抛物线的离心率抛物线的离心率e1，体现了抛物，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化，这样就可以使问题简单化(3)求抛物线标准方程常用的方法是待求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不确定系数法或轨迹法，为避免开口不确定而分成定而分成y22px(p0)或或y
12、22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以两种情况求解的麻烦，可以设成设成y2mx或或x2ny(m0，n0)，若若m0，开口向右若，开口向右若m0，开口向，开口向左左m有两解，则抛物线的标准方程有两解，则抛物线的标准方程有两个有两个3直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为设抛物线方程为y22px(p0)，直线，直线AxByC0，将直线方程与抛物线，将直线方程与抛物线方程联立，消去方程联立，消去x得到关于得到关于y的方程的方程my2nyq0，(1)若若m0，当，当0时，直线与抛物线有时，直线与抛物线有两个公共点；两个公共点；当当0时，直线与抛物线只有一个公共时，直线与抛物线只有
13、一个公共点；点；当当0)的直线交抛物的直线交抛物线线C于于D、E两点，两点，ME2DM，设，设D和和E两点间的距离为两点间的距离为f(m)，求，求f(m)关于关于m的表达式的表达式【解解】(1)由题意，可设抛物线由题意，可设抛物线C的的标准方程为标准方程为y22px.(p0)因为点因为点A(2,2)在抛物线在抛物线C上，上，所以所以p1.因此，抛物线因此，抛物线C的标准方程为的标准方程为y22x.4分分【得分技巧得分技巧】本题前本题前2小题难度较小小题难度较小，第，第3小题思路也较清晰但对运算能力小题思路也较清晰但对运算能力要求较高，解决本题的关键在于：要求较高，解决本题的关键在于：(1)明确抛物线相关概念能正确利用代点明确抛物线相关概念能正确利用代点法求出抛物线标准方程及焦点坐标；法求出抛物线标准方程及焦点坐标；(2)能根据已知条件正确求出直线斜率能根据已知条件正确求出直线斜率进而求出直线方程；进而求出直线方程；(3)能正确求出含能正确求出含参数的二元二次方程组的解参数的二元二次方程组的解【失分溯源失分溯源】本题造成失分的主要本题造成失分的主要原因是运算能力不达标，不能正确解原因是运算能力不达标，不能正确解出含参数的方程的解并对含参数的恒出含参数的方程的解并对含参数的恒等式进行变形等式进行变形
